河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高三下学期开学数学试题

这是一份河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高三下学期开学数学试题，共17页。试卷主要包含了设集合，，则，已知设，则，则的最小值为，已知，，，则，函数的定义域为，已知，，则，若复数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

试卷考试时间：120分钟 满分：150

第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比（ ）
A．B．C．D．
3．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知设，则，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
8．某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（ ）
A．B．C．D．
二．多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点在第四象限B．的虚部为
C．D．的共轭复数
11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ）

A．
B．点E到直线的距离为
C．直线与平面所成的角的正弦值为
D．点到平面的距离为
12．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．设，则 .
14．已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则 .
15．从3名男医生和6名女医生中选出5人组成一个医疗小组．如果这个小组中男女医生都不能少于2人则不同的建组方案共有种 ．
16．已知，，则
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．（1）已知圆经过，两点，且被直线截得的线段长为．求圆的方程．
（2）已知点和圆，过点的动直线与圆交于，两点，求线段的中点的轨迹方程．
18．函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且，求.
19．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)若对任意，总存在使得成立，求的取值范围．
20．某学校从4名男生和3名女生中任选3人作为志愿者．
（1）求所选的3人中至少有2名男生的概率；
（2）设随机变量表示所选3人中女生的人数，求的分布列及数学期望．
21．已知函数，．
（1）若函数在区间内的单调递增，求的取值范围；
（2）证明：对任意，
22．已知，函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设表示不超过x的最大整数，证明：，．
参考答案：
1．C
【分析】由分步计数原理，把选择26个不同英文字母的排列数与选择2个不同数字的排列数相乘即可.
【详解】因为英文字母有26个，所以2个不同英文字母的排列有种，
因为数字有10个，所以2个不同数字的排列有种，
由分步计数原理，所以该密码可能的个数是.
故选：C
2．C
【解析】用和表示出已知条件后可解得．
【详解】由已知，
则，解得．
故选：C．
3．D
【分析】根据交集的定义由条件求.
【详解】∵ ，，
∴ ，
故选：D.
4．A
【分析】先求得复数实部与虚部的关系，再去求的最小值即可解决.
【详解】由，可得，可令，
则
（为锐角，且）
由，可得
则的最小值为3.
故选：A
5．D
【分析】由题可得和各有两个解，利用数形结合即得.
【详解】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，
由图可知，得或，
所以和各有两个解，
要使和各有两个解，必须满足，
由，则，
由图可知，当时，有两个解(一解为，一解为3)，
当时，有三个解(为，3)，
当时，有两个解(为)，
所以，存在四个互不相等的实数根，实数的取值范围是.
故选：D．
6．A
【解析】利用三角函数、指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【详解】解：，，
，，，
，
，
．
故选：A ．
【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查三角函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，解答的关键时利用函数的性质比较其与中间值的大小，即可判断．
7．C
【分析】由题可得，即得.
【详解】由题意得，
解得，
所以所求函数的定义域为.
故选：C.
8．B
【分析】利用左边的矩形面积之和为列等式可求得实数的值.
【详解】优秀人数所占的频率为，
测试结果位于的频率为，测试结果位于的频率为，所以，，
由题意可得，解得.
故选：B.
9．BC
【分析】根据得到，计算，再利用二倍角公式得到和，对比选项得到答案.
【详解】，则，，故，，
，
，得到，A错误；
，得到，C正确；
，B正确；
，D错误.
故选：BC.
10．AD
【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出共轭复数判断D作答.
【详解】对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A正确；
对于B，的虚部为，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，的共轭复数，D正确.
故选：AD
11．AC
【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.
【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
，
则，所以，故A正确；
，则，
所以，
所以点E到直线的距离为，故B错误；
因为平面，所以即为平面的一条法向量，
则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；
设平面的法向量为，
则有，可取，
则点到平面的距离为，故D错误.
故选：AC.

12．ABC
【分析】先求出，根据诱导公式及二倍角公式化简求值判断A，根据两角差的正弦公式化简求值判断B，根据两角和的正切公式化简求值判断C，根据诱导公式化简判断D.
【详解】，
A选项：，故A对；
B选项：，故B对；
C选项：，故C对；
D选项：，故D错.
故选：ABC
13．2020
【详解】解析：注意到，
故，
所以.
故答案为：2020.
14．
【分析】结合函数的周期性和奇偶性求得正确答案.
【详解】，所以是周期为的奇函数，
所以.
故答案为：
15．75
【分析】分两种情况：一种是3名男医生2名女医生，另一种是2名男医生3名女医生，利用分类计数原理求解即可
【详解】解：由题意可知有两种情况：
一种是选3名男医生2名女医生，有种，
另一种是选2名男医生3名女医生，有，
所以由分类计数原理可得共有种建组方案，
故答案为：75
16．或
【分析】先求，值，再代入即得结果
【详解】，所以，，
解得，，所以，即为或.
故答案为：或.
17．（1）或．（2）．
【分析】（1）设圆方程为，代入，，利用圆被直线截得的线段长为，即可求圆的方程．
（2）设点，圆的圆心坐标为，由题意当且可得，即可得到方程，整理可得．
【详解】解：（1）设圆方程为．
因为点，在圆上，代入可得，，
又由已知，联立，解得，
由韦达定理知，．
所以
即．即．
则，或，．
则所求圆方程为：或．
（2）设点，若，此时，即，
若，则，即，
圆，即，所以圆心坐标为．
若且，则，即，整理得，
即，显然和也满足
所以点的轨迹方程为．
18．（1）（2）
【分析】（1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式.
（2）利用两角和与差公式求解.
【详解】解：（1）由图像可知,则，代入点，
得，得，由，
得 ，故.
（2）由题意知,得，
由，则，则，
.
【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换技巧.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据分段函数解析式，结合指数运算，将自变量代入求值即可；
（2）将问题化为在上值域是在上值域的子集，讨论参数m，结合指对数函数、分式型函数的性质求函数值域，进而确定参数范围.
【详解】（1）由题设，则，
所以.
（2）若在上的值域为，在上的值域为，
由题意知：，即是的子集，
而，且仅当时等号成立，则在上，
当时，；当时，；当时，；
对于的值域：
当时，由指数函数的性质恒成立，不是的子集，不合题意；
时，，则，故；
时，，只需，即，
移项得：，由在上为单调增函数，故；
综上，.
20．（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）记“所选3人至少有2名男生”事件为A，利用组合分别求出事件总的个数和事件A所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式即可求解；
（2）先分别求出X=0, X=1, X=2, X=3的概率，写出分布列，即可求出数学期望.
【详解】（1）记“所选3人至少有2名男生”事件为A，
从4名男生和3名女生中选3人，总选法为：，
至少2名男生即2名男生或3名男生：
所造3人中至少有2名男生概率为．
（2）的所有可能取值为：0，1，2，3…
，

∴的分布列：
.
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】(1)对求导得，对的取值分类讨论即可.
(2)由(1)可得，即，结合，
可得，
由不等式的放缩法可得，进而得出结果.
【详解】（1）因为，
所以．
因为，所以，则．
（ⅰ）当时，则，，
∴，即此时在上单增．
∴符合题意．
（ⅱ）当时，此时，在上单减．
∴要使在上单增，只需要对恒成立，
即只需要恒成立即可，∴，
∴．
综上可知，当时，函数在上单调递增．
（2）由（1）知，当时，，即，
所以．
令，所以，从而，
所以，
首先，当时，，所以；
其次，
因为
，
所以，
所以．
故可得到对恒成立．
【点睛】(1)导函数中常用的转化方法：利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
(2)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，分和，讨论导函数的符号，即可得出函数的单调性.
（2）当时，由（1）可知，，由此可得，由裂项相消法结合题意放缩可证明，即可证明.
【详解】（1）因为，，所以．
当时，恒成立，故在上单调递减．
当时，由，解得，则在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：当时，由（1）可知，，即，当且仅当时，等号成立，
则，则，
则．
又，所以，
故，
从而．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
0
1
2
3