还剩9页未读，
继续阅读
2023-2024学年河南省郑州市优胜实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2023-2024学年河南省郑州市优胜实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=m+1+(m−1)i纯虚数，则实数m=( )
A. 0B. −1C. 1D. 2
2.如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b( )
A. 共面B. 平行C. 异面D. 平行或异面
3.点C在线段AB上，且ACCB=52，则下列选项正确的是( )
A. AC=57ABB. AC=25CBC. BC=27ABD. BC=−52BA
4.下列命题正确的是( )
A. 如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b的任何平面
B. 如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行
C. 如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b
D. 如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α，b⊄α，那么b//α
5.若一个球体的体积与其表面积相等，则该球体的半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 3
6.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CD=n，则CB=( )
A. 3m−2nB. −2m+3nC. 3m+2nD. 2m+3n
7.如图，在三棱锥A−BCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是( )
A. EF//GH
B. BD//GH
C. GH//平面ABD
D. AC//平面EFHG
8.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. − 34BC
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. 若a与b都是单位向量，则a=bB. 直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量
C. 若a与b是平行向量，则a=bD. 海拔、温度、角度都不是向量
10.下列命题正确的是( )
A. 一个棱锥至少5个面
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
11.三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有( )
A. a=2，b=3，c=4B. AB⋅BC=−2a
C. sinA−sinBsinC+sinB=ca+bD. b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▱ABCD中，AB=a，AD=b，用a，b表示向量DB，则DB= ______．
13.在复数范围内，方程x2+x+1=0的一个解为ω，则ω3= ______．
14.已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z2=2csθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)(2+3i)(2−3i)；
(2)(1+i)2；
(3)1+2i3−4i．
16.(本小题15分)
(1)求证：(a+b)2−(a−b)2=4a⋅b；
(2)已知在△ABC中，M是BC的中点，证明：AB⋅AC=|AM|2−|MB|2；
(3)已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a−kb互相垂直？
17.(本小题15分)
(1)在△ABC中，已知a=5，b=2，C=π3，求c；
(2)在△ABC中，已知B=30°，b= 2，c=2，解这个三角形．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1//平面BCHG．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+bcsA=2ccsA．
(1)求角A；
(2)若向量m=(csB,2csA)，n=(0,cs2C2)，求|m−2n|的取值范围；
(3)若a=2，求c−b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z=m+1+(m−1)i纯虚数，
则m+1=0m−1≠0，解得m=−1．
故选：B．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵两条直线a和b没有公共点，
∴a和b平行或异面．
故选：D．
利用空间中两直线间的位置关系直接求解．
本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线间的关系的合理运用．
3.【答案】A
【解析】解：由点C在线段AB上，且ACCB=52，
可得AC=57AB，
由向量数乘运算的定义可知，
AC=52CB，BC=−27AB，BC=27BA，故BCD均不正确．
故选：A．
根据向量的数乘运算即可得到结论．
本题考查向量的数乘运算，属基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了线与面的位置关系，属于基础题．
对线面位置关系的认识，对于线面、线线的平行关系是学生学习的重点，要熟练掌握．
【解答】
解：A选项：a可能在经过b的平面内；
B选项：a还可以与平面α内的直线异面；
C选项：a可以与直线b平行，异面，相交．
D选项：过直线a作平面β，设α∩β=c，
又∵a//α，∴a//c，
又∵a//b，∴b//c，
又∵b⊄α且c⊂α
∴b//α.因此D正确．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：假设球体的半径为R，由已知条件球体的体积与其表面积相等，
得43πR3=4πR2，解得R=3．
故选：C．
根据球体的体积和表面积相等的条件得到等式关系，解方程即可求出球的半径．
本题考查了球的表面积和体积的计算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
直接利用平面向量的线性运算可得12CB=32CD−CA，进而得解．
【解答】
解：如图，
CD=CA+AD=CA+12DB=CA+12(CB−CD)=CA+12CB−12CD，
∴12CB=32CD−CA，即CB=3CD−2CA=3n−2m．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF//BD，
∵过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，
∴GH//BD，∴EF//GH，故A正确；
对于B，∵过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，
∴GH//BD，故B正确；
对于C，∵GH//BD，BD⊂平面ABD，GH⊄平面ABD，∴GH//平面ABD，故C正确；
对于D，∵GH的位置不确定，∴AC与平面EFHG有可能相交，故D错误．
故选：D．
对于A，推导出EF//BD，GH//BD，从而EF//GH；对于B，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，从而GH//BD；对于C，由GH//BD，得GH//平面ABD；对于D，AC与平面EFHG有可能相交．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，△ABC中，2AO=AB+AC，则O是BC的中点，
又由O是BC的中点，则BC为圆O的直径，则有|AO|=|BO|=|CO|，
又由|OA|=|AB|，则△ABO为等边三角形，∠ABO=π3，
则向量BA在向量BC上的投影向量为|BA|csπ3×BC|BC|=14BC．
故选：A．
根据题意，分析可得O是BC的中点，进而可得BC为圆O的直径，由此可得△ABO为等边三角形，由投影向量的定义分析可得答案．
本题考查投影向量，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；
B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；
C错误，若a与b是平行向量，则a与b的方向不确定，不一定有a=b；
D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
故选：ABC．
根据向量的概念逐项判断即可．
本题考查向量的概念，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，一个棱锥至少4个面，A错误；
对于B，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，B正确；
对于C，由棱锥的定义，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，C正确；
对于D，由正棱锥的定义，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确．
故选：BCD．
根据题意，由棱锥的定义分析A、C和D，由平行六面体的定义分析B，综合可得答案．
本题考查棱锥、棱柱的结构特征，涉及正棱锥的定义，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为a2+b2−c2=4+9−16=−3<0，
故csC<0，即C为钝角，A符合题意；
因为AB⋅BC=−2a<0，
故cs(π−B)=−csB<0，
所以B为锐角，其他角无法确定，B不符合题意；
sinA−sinBsinC+sinB=a−bc+b=ca+b，
整理得b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−12，
故A为钝角，C符合题意；
因为b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC，
由正弦定理得sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcsBcsC，
所以sinBsinC=csBcsC，
所以cs(B+C)=0，
所以B+C=π2，A=π2，故△ABC为直角三角形．
故选：AC．
由已知结合余弦定理，正弦定理，和差角公式分别检验检验各选项即可判断．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式及向量数量积的定义在三角形形状判断中的应用，属于中档题．
12.【答案】a−b
【解析】解：由题意，AB=a，AD=b，
则DB=AB−AD=a−b．
故答案为：a−b．
由向量减法的意义进行计算即可．
本题考查向量减法的意义，属基础题．
13.【答案】1
【解析】解：方程x2+x+1=0的一个解为ω，
则ω2+ω+1=0，
故ω3−1=(ω−1)(ω2+ω+1)=0，即ω3=1．
故答案为：1．
根据已知条件，推得ω2+ω+1=0，再结合立方差公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】[−916,7]
【解析】解：依题意，m=2csθ，且4−m2=λ+3sinθ，
即λ=4−4cs2θ−3sinθ=4sin2θ−3sinθ=4(sinθ−38)2−916，
∵−1≤sinθ≤1，
∴当sinθ=38时，λmin=−916；
当sinθ=−1时，λmax=7；
∴λ的取值范围是[−916,7]．
故答案为：[−916,7]．
利用复数相等的概念，整理可得λ=4−4cs2θ−3sinθ=4(sinθ−38)2−916，利用正弦函数的单调性与最值即可求得答案．
本题考查复数相等的充要条件，着重考查配方法的应用及正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
15.【答案】解：(1)(2+3i)(2−3i)=4−9i2=4+9=13；
(2)(1+i)2=1+2i−1=2i；
(3)1+2i3−4i=(1+2i)(3+4i)(3+4i)(3−4i)=−5+10i25=−1+2i5．
【解析】(1)----(3)直接利用复数的运算求出结果．
本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】(1)证明：因为(a+b)2−(a−b)2=a2+2a⋅b+b2−(a2−2a⋅b+b2)=4a⋅b，
所以(a+b)2−(a−b)2=4a⋅b得证；
(2)证明：因为在△ABC中，M是BC的中点，
所以AM=12(AB+AC)，BM=12BC=12(AC−AB)，
所以|AM|2−|MB|2=|AM|2−|BM|2=14[(AB+AC)2−(AC−AB)2]
=14(AB2+2AB⋅AC+AC2−AC2+2AB⋅AC−AB2)=14×4AB⋅AC=AB⋅AC，
故AB⋅AC=|AM|2−|MB|2得证；
(3)解：因为|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，向量a+kb与a−kb互相垂直，
所以(a+kb)⋅(a−kb)=0，即a2−k2b2=0，即9−16k2=0，解得k=±34．
【解析】(1)由平面向量的数量积的运算律计算即可证明；
(2)由题将AM,BM用AB,AC表示，再由平面向量的数量积的运算律计算即可证明；
(3)结合条件，由向量垂直的性质建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，向量垂直的性质等，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为a=5，b=2，C=π3，
由余弦定理可得c= a2+b2−2abcsC= 25+4−2×5×2×12= 19；
(2)因为B=30°，b= 2，c=2，
由正弦定理可得csinC=bsinB，即2sinC= 2sin30°=2 2，
所以sinC= 22，
因为c>b，所以C>B，即30°所以C=45°或135°，
当C=45°时，A=180°−30°−45°=105°，
sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=12× 22+ 32× 22= 6+ 24，
由正弦定理可得asinA=bsinB=2 2，所以a=2 2× 6+ 24= 3+1；
当C=135°时，A=180°−30°−135°=15°，
sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=12×(− 22)+ 32× 22= 6− 24，
由正弦定理可得asinA=bsinB=2 2，所以a=2 2× 6− 24= 3−1；
综上所述：C=45°时，A=105°，a= 3+1；
C=135°时，A=15°，a= 3−1．
【解析】(1)由余弦定理直接求出c边的大小；
(2)由正弦定理可得sinC的值，再由大边对大角，可得角C的大小，再求出角A的大小，由正弦定理可得a边的值．
本题考查余弦定理及正弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH//B1C1，
∵三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，
∴GH//BC
∴B、C、H、G四点共面；
(2)∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF//BC
∴EF//BC//B1C1//GH
又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，
∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E//BG
又A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCGH
∴A1E//平面BCHG
∵EF⊂平面A1EF,A1E⊂A1EF,且EF∩A1E=E
∴平面EFA1//平面BCHG．
【解析】本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用三角形中位线的性质，证明GH//B1C1，从而可得GH//BC，即可证明B，C，H，G四点共面；
(2)证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1//平面BCHG．
19.【答案】解：(1)因为acsB+bcsA=2ccsA，由正弦定理可得sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，
即sin(A+B)=2sinCcsA，
而sin(A+B)=sinC，sinC>0，
可得csA=12，因为A∈(0,π)，
故sinC>0，所以csA=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3．
(2)因为向量m=(csB,2csA)，n=(0,cs2C2)，
可得m−2n=(csB,1−2cs2C2)=(csB,−csC)=(csB,−cs(2π3−B))，
可得|m−2n|= cs2B+cs2(2π3−B)，
所以|m−2n|2=cs2B+cs2(2π3−B)=1+cs2B2+1+cs(4π3−2B)2=1+12cs(2B+π3).
由于0所以1+12cs(2B+π3)∈[12,54)，
即|m−2n|2∈[12,54)，
所以|m−2n|∈[ 22, 52)；
(3)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=asinπ3=2 32=4 3，
所以b=4 3sinB，c=4 3sinC，
所以c−b=4 3(sinC−sinB)=4 3[sin(2π3−B)−sinB]=4 3( 32csB−12sinB)=4sin(B−π3)，
因为B∈(0,2π3)，所以B−π3∈(−π3,π3)，
所以sin(B−π3)∈(− 32, 32)，
所以c−b∈(−2 3,2 3).
【解析】(1)由正弦定理及三角形内角和定理可得csA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
(2)由向量的模的求法，可得|m−2n|的表达式，由半角公式及辅助角公式及角B的范围，可得|m−2n|的范围；
(3)由正弦定理可得b，c的表达式，进而求出c−b的表达式，由辅助角公式及角B的范围，可得c−b的范围．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，辅助角公式的应用，三角形内角和的定理的应用，属于中档题．
1.复数z=m+1+(m−1)i纯虚数，则实数m=( )
A. 0B. −1C. 1D. 2
2.如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b( )
A. 共面B. 平行C. 异面D. 平行或异面
3.点C在线段AB上，且ACCB=52，则下列选项正确的是( )
A. AC=57ABB. AC=25CBC. BC=27ABD. BC=−52BA
4.下列命题正确的是( )
A. 如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b的任何平面
B. 如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行
C. 如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b
D. 如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α，b⊄α，那么b//α
5.若一个球体的体积与其表面积相等，则该球体的半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 3
6.在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m，CD=n，则CB=( )
A. 3m−2nB. −2m+3nC. 3m+2nD. 2m+3n
7.如图，在三棱锥A−BCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是( )
A. EF//GH
B. BD//GH
C. GH//平面ABD
D. AC//平面EFHG
8.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. − 34BC
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论不正确的是( )
A. 若a与b都是单位向量，则a=bB. 直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量
C. 若a与b是平行向量，则a=bD. 海拔、温度、角度都不是向量
10.下列命题正确的是( )
A. 一个棱锥至少5个面
B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
11.三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有( )
A. a=2，b=3，c=4B. AB⋅BC=−2a
C. sinA−sinBsinC+sinB=ca+bD. b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▱ABCD中，AB=a，AD=b，用a，b表示向量DB，则DB= ______．
13.在复数范围内，方程x2+x+1=0的一个解为ω，则ω3= ______．
14.已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z2=2csθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)(2+3i)(2−3i)；
(2)(1+i)2；
(3)1+2i3−4i．
16.(本小题15分)
(1)求证：(a+b)2−(a−b)2=4a⋅b；
(2)已知在△ABC中，M是BC的中点，证明：AB⋅AC=|AM|2−|MB|2；
(3)已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a−kb互相垂直？
17.(本小题15分)
(1)在△ABC中，已知a=5，b=2，C=π3，求c；
(2)在△ABC中，已知B=30°，b= 2，c=2，解这个三角形．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1//平面BCHG．
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB+bcsA=2ccsA．
(1)求角A；
(2)若向量m=(csB,2csA)，n=(0,cs2C2)，求|m−2n|的取值范围；
(3)若a=2，求c−b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z=m+1+(m−1)i纯虚数，
则m+1=0m−1≠0，解得m=−1．
故选：B．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵两条直线a和b没有公共点，
∴a和b平行或异面．
故选：D．
利用空间中两直线间的位置关系直接求解．
本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线间的关系的合理运用．
3.【答案】A
【解析】解：由点C在线段AB上，且ACCB=52，
可得AC=57AB，
由向量数乘运算的定义可知，
AC=52CB，BC=−27AB，BC=27BA，故BCD均不正确．
故选：A．
根据向量的数乘运算即可得到结论．
本题考查向量的数乘运算，属基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了线与面的位置关系，属于基础题．
对线面位置关系的认识，对于线面、线线的平行关系是学生学习的重点，要熟练掌握．
【解答】
解：A选项：a可能在经过b的平面内；
B选项：a还可以与平面α内的直线异面；
C选项：a可以与直线b平行，异面，相交．
D选项：过直线a作平面β，设α∩β=c，
又∵a//α，∴a//c，
又∵a//b，∴b//c，
又∵b⊄α且c⊂α
∴b//α.因此D正确．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：假设球体的半径为R，由已知条件球体的体积与其表面积相等，
得43πR3=4πR2，解得R=3．
故选：C．
根据球体的体积和表面积相等的条件得到等式关系，解方程即可求出球的半径．
本题考查了球的表面积和体积的计算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
直接利用平面向量的线性运算可得12CB=32CD−CA，进而得解．
【解答】
解：如图，
CD=CA+AD=CA+12DB=CA+12(CB−CD)=CA+12CB−12CD，
∴12CB=32CD−CA，即CB=3CD−2CA=3n−2m．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】解：对于A，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF//BD，
∵过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，
∴GH//BD，∴EF//GH，故A正确；
对于B，∵过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，
∴GH//BD，故B正确；
对于C，∵GH//BD，BD⊂平面ABD，GH⊄平面ABD，∴GH//平面ABD，故C正确；
对于D，∵GH的位置不确定，∴AC与平面EFHG有可能相交，故D错误．
故选：D．
对于A，推导出EF//BD，GH//BD，从而EF//GH；对于B，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BDC=HG，从而GH//BD；对于C，由GH//BD，得GH//平面ABD；对于D，AC与平面EFHG有可能相交．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间思维能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，△ABC中，2AO=AB+AC，则O是BC的中点，
又由O是BC的中点，则BC为圆O的直径，则有|AO|=|BO|=|CO|，
又由|OA|=|AB|，则△ABO为等边三角形，∠ABO=π3，
则向量BA在向量BC上的投影向量为|BA|csπ3×BC|BC|=14BC．
故选：A．
根据题意，分析可得O是BC的中点，进而可得BC为圆O的直径，由此可得△ABO为等边三角形，由投影向量的定义分析可得答案．
本题考查投影向量，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
9.【答案】ABC
【解析】解：A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；
B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；
C错误，若a与b是平行向量，则a与b的方向不确定，不一定有a=b；
D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
故选：ABC．
根据向量的概念逐项判断即可．
本题考查向量的概念，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，一个棱锥至少4个面，A错误；
对于B，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，B正确；
对于C，由棱锥的定义，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，C正确；
对于D，由正棱锥的定义，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，D正确．
故选：BCD．
根据题意，由棱锥的定义分析A、C和D，由平行六面体的定义分析B，综合可得答案．
本题考查棱锥、棱柱的结构特征，涉及正棱锥的定义，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为a2+b2−c2=4+9−16=−3<0，
故csC<0，即C为钝角，A符合题意；
因为AB⋅BC=−2a<0，
故cs(π−B)=−csB<0，
所以B为锐角，其他角无法确定，B不符合题意；
sinA−sinBsinC+sinB=a−bc+b=ca+b，
整理得b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=−12，
故A为钝角，C符合题意；
因为b2sin2C+c2sin2B=2bccsBcsC，
由正弦定理得sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinCcsBcsC，
所以sinBsinC=csBcsC，
所以cs(B+C)=0，
所以B+C=π2，A=π2，故△ABC为直角三角形．
故选：AC．
由已知结合余弦定理，正弦定理，和差角公式分别检验检验各选项即可判断．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式及向量数量积的定义在三角形形状判断中的应用，属于中档题．
12.【答案】a−b
【解析】解：由题意，AB=a，AD=b，
则DB=AB−AD=a−b．
故答案为：a−b．
由向量减法的意义进行计算即可．
本题考查向量减法的意义，属基础题．
13.【答案】1
【解析】解：方程x2+x+1=0的一个解为ω，
则ω2+ω+1=0，
故ω3−1=(ω−1)(ω2+ω+1)=0，即ω3=1．
故答案为：1．
根据已知条件，推得ω2+ω+1=0，再结合立方差公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】[−916,7]
【解析】解：依题意，m=2csθ，且4−m2=λ+3sinθ，
即λ=4−4cs2θ−3sinθ=4sin2θ−3sinθ=4(sinθ−38)2−916，
∵−1≤sinθ≤1，
∴当sinθ=38时，λmin=−916；
当sinθ=−1时，λmax=7；
∴λ的取值范围是[−916,7]．
故答案为：[−916,7]．
利用复数相等的概念，整理可得λ=4−4cs2θ−3sinθ=4(sinθ−38)2−916，利用正弦函数的单调性与最值即可求得答案．
本题考查复数相等的充要条件，着重考查配方法的应用及正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
15.【答案】解：(1)(2+3i)(2−3i)=4−9i2=4+9=13；
(2)(1+i)2=1+2i−1=2i；
(3)1+2i3−4i=(1+2i)(3+4i)(3+4i)(3−4i)=−5+10i25=−1+2i5．
【解析】(1)----(3)直接利用复数的运算求出结果．
本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】(1)证明：因为(a+b)2−(a−b)2=a2+2a⋅b+b2−(a2−2a⋅b+b2)=4a⋅b，
所以(a+b)2−(a−b)2=4a⋅b得证；
(2)证明：因为在△ABC中，M是BC的中点，
所以AM=12(AB+AC)，BM=12BC=12(AC−AB)，
所以|AM|2−|MB|2=|AM|2−|BM|2=14[(AB+AC)2−(AC−AB)2]
=14(AB2+2AB⋅AC+AC2−AC2+2AB⋅AC−AB2)=14×4AB⋅AC=AB⋅AC，
故AB⋅AC=|AM|2−|MB|2得证；
(3)解：因为|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，向量a+kb与a−kb互相垂直，
所以(a+kb)⋅(a−kb)=0，即a2−k2b2=0，即9−16k2=0，解得k=±34．
【解析】(1)由平面向量的数量积的运算律计算即可证明；
(2)由题将AM,BM用AB,AC表示，再由平面向量的数量积的运算律计算即可证明；
(3)结合条件，由向量垂直的性质建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，向量垂直的性质等，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为a=5，b=2，C=π3，
由余弦定理可得c= a2+b2−2abcsC= 25+4−2×5×2×12= 19；
(2)因为B=30°，b= 2，c=2，
由正弦定理可得csinC=bsinB，即2sinC= 2sin30°=2 2，
所以sinC= 22，
因为c>b，所以C>B，即30°
当C=45°时，A=180°−30°−45°=105°，
sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=12× 22+ 32× 22= 6+ 24，
由正弦定理可得asinA=bsinB=2 2，所以a=2 2× 6+ 24= 3+1；
当C=135°时，A=180°−30°−135°=15°，
sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=12×(− 22)+ 32× 22= 6− 24，
由正弦定理可得asinA=bsinB=2 2，所以a=2 2× 6− 24= 3−1；
综上所述：C=45°时，A=105°，a= 3+1；
C=135°时，A=15°，a= 3−1．
【解析】(1)由余弦定理直接求出c边的大小；
(2)由正弦定理可得sinC的值，再由大边对大角，可得角C的大小，再求出角A的大小，由正弦定理可得a边的值．
本题考查余弦定理及正弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH//B1C1，
∵三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，
∴GH//BC
∴B、C、H、G四点共面；
(2)∵E、F分别为AB、AC中点，
∴EF//BC
∴EF//BC//B1C1//GH
又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，
∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E//BG
又A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCGH
∴A1E//平面BCHG
∵EF⊂平面A1EF,A1E⊂A1EF,且EF∩A1E=E
∴平面EFA1//平面BCHG．
【解析】本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用三角形中位线的性质，证明GH//B1C1，从而可得GH//BC，即可证明B，C，H，G四点共面；
(2)证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1//平面BCHG．
19.【答案】解：(1)因为acsB+bcsA=2ccsA，由正弦定理可得sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsA，
即sin(A+B)=2sinCcsA，
而sin(A+B)=sinC，sinC>0，
可得csA=12，因为A∈(0,π)，
故sinC>0，所以csA=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3．
(2)因为向量m=(csB,2csA)，n=(0,cs2C2)，
可得m−2n=(csB,1−2cs2C2)=(csB,−csC)=(csB,−cs(2π3−B))，
可得|m−2n|= cs2B+cs2(2π3−B)，
所以|m−2n|2=cs2B+cs2(2π3−B)=1+cs2B2+1+cs(4π3−2B)2=1+12cs(2B+π3).
由于0
即|m−2n|2∈[12,54)，
所以|m−2n|∈[ 22, 52)；
(3)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=asinπ3=2 32=4 3，
所以b=4 3sinB，c=4 3sinC，
所以c−b=4 3(sinC−sinB)=4 3[sin(2π3−B)−sinB]=4 3( 32csB−12sinB)=4sin(B−π3)，
因为B∈(0,2π3)，所以B−π3∈(−π3,π3)，
所以sin(B−π3)∈(− 32, 32)，
所以c−b∈(−2 3,2 3).
【解析】(1)由正弦定理及三角形内角和定理可得csA的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
(2)由向量的模的求法，可得|m−2n|的表达式，由半角公式及辅助角公式及角B的范围，可得|m−2n|的范围；
(3)由正弦定理可得b，c的表达式，进而求出c−b的表达式，由辅助角公式及角B的范围，可得c−b的范围．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，辅助角公式的应用，三角形内角和的定理的应用，属于中档题．
相关试卷
2023-2024学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷： 这是一份2023-2024学年河南省实验中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共18页。试卷主要包含了在△ABC中，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省郑州市中牟县高一（下）期中数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年河南省郑州市中牟县高一（下）期中数学试卷(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年河南省郑州市中牟县高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
