重庆市开州区开州初中教育集团2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（含解析）

这是一份重庆市开州区开州初中教育集团2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共10小题，每小题4分）
1．下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，不能做为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，15
3．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．下列算式：（1）；（2）；（3）=；（4），其中正确的是（ ）
A．（1）和（3）B．（2）和（4）C．（3）和（4）D．（1）和（4）
5．如图，一棵高为16m的大树被台风刮数断，若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部( )处

A．5mB．7mC．8mD．10m
6．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组邻边相等，对角线互相垂直的四边形是菱形
C．矩形对角线相等且平分一组对角
D．正方形面积等于对角线乘积的一半
7．如图，矩形的对角线相交于O， ，．若，则四边形的周长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）

A．B．C．D．0
9．如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，．则下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是17，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
10．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，…，．如的整数部分为2，小数部分为．所．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；
④
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分）
11．已知，且n为正整数，则 ．
12．命题“等边对等角”的逆命题是 （填“真命题”或“假命题”）．
13． ．
14．如图所示，在中，M是的中点，平分于N点，且，则 ．
15．如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为 ．
16．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是 ．
17．如图，在矩形纸片中，，，边上有一点E，，将该纸片折叠，使点A与点E重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长是 ．

18．若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为 ．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的4倍与百位数字的2倍的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，其中第19题8分，20—26题每题10分）
19．计算．
(1)；
(2)．
20．如图，在中，点为边上的中点，连接．
(1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点为边上的中点，
∴，在和中，

∴ ______，
∴ ______，
∵，
∴ ______．
∴四边形是平行四边形．
又∵______，
∴平行四边形是菱形．
21．先化简，再求值：，其中，．
22．如图，已知直线OP表示一艘轮船东西方向的航行路线，在O处的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到O处的距离为200海里．(参考数据：)
(1)求灯塔A到航线OP的距离；
(2)在航线OP上有一点B，且，已知一轮船的航速为50海里/时，求该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间．(结果保留小数点后一位)
23．如图，在菱形中，点E、F分别是上一点，连接，且，．
(1)求证：；
(2)若，点G是线段的中点，连接．求证：．
24．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是，求的取值范围．
解：原式=
当时，原式，解得 (舍去)；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范围是
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
当时，化简：
若等式成立，则的取值范围是
若，求的取值．
25．如图，△ABC中，，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
26．在和中，，点D是延长线上一动点，点E在线段上，连接与交于点F．
（1）如图1，若，求的长．
（2）如图2，若，求证：．
（3）如图3，移动点D，使得点F是线段的中点时，，点分别是线段上的动点，且，连接，请直接写出的最小值．
参考答案与解析
1．B
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、，原式计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原式计算正确，故本选项符合题意；
C、，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D、，原式计算错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【解答】解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82=102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．∵，，
∴一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
D．∵，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．
4．B
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案．
【解答】（1）和不是同类项，不能合并，错误；
（2），正确；
（3）＝，错误；
（4），正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
5．C
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米，根据勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可．
【解答】设树顶端落在离树底部x米，由题意得：

解得：x=8.
故选C.
【点拨】考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
6．D
【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定依次进行分析即可．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，所以A错误；
B、如图所示，四边形ABCD中AB＝AD，AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，所以B错误；
C、矩形（不是正方形）的对角线相等，但不平分一组对角，所以C错误；
D、正方形是特殊的菱形，菱形面积公式（对角线乘积的一半）在正方形中同样适用，所以D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的性质，解决这类问题要从图形的形成过程入手，能结合条件画图去证明或举反例说明问题．
7．C
【分析】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
【解答】解：四边形为矩形，
，，且，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
则四边形的周长为，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【解答】解：由数轴知：，
∴，
∴
=，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，利用旋转的性质可得出，，即可判断③；证明，得出，即可判断①；利用等边三角形的性质以及全等三角形的性质即可判定④，利用三角形外角的性质即可判断②．
【解答】解∶∵将绕点B逆时针旋转，得到，
∴，，
∴是等边三角形，故③正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，故①正确；
∵、是等边三角形， ，，
∴，，
∴的周长是，故④正确；
∵，，
∴，
故②不正确，
故选：C．
10．C
【分析】根据定义总结的规律，再利用无理数的估算和二次根式的混合运算进行判断即可．
【解答】解：由题意得，，整数部分为6，小数部分为，
，整数部分为10，小数部分为，
，整数部分为14，小数部分为，
，整数部分为18，小数部分为，
，整数部分为22，小数部分为，
，整数部分为26，小数部分为，
∴，小数部分是，
∴①，正确；
②的小数部分为，正确；
③，错误；
④
，正确；
故选：C．
【点拨】本题考查数字规律型、估算无理数的大小、二次根式的混合运算，根据定义总结的规律是解题的关键．
11．2
【分析】根据无理数的估算即可得．
【解答】解：，
，
为正整数，且，
，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
12．真命题
【分析】本题考查了逆命题，判断真假命题，等腰三角形的性质与判定；先写出其逆命题，再判定即可．
【解答】解： “等边对等角”的逆命题是“等角对等边”，在同一个三角形内成立，故是真命题．
故答案为：真命题．
13．7
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂，先根据二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可求解．
【解答】解：，
故答案为：．
14．3
【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长．
【解答】解：如图，延长交于点D．
∵，平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
∴N是的中点．
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案是：3．
【点拨】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
15．
【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，含的直角三角形的三边关系，全等三角形的性质与判定等相关知识；由题意证明，所以，则是等腰直角三角形，即可得到；过点F作，求出，得到，推出是等腰直角三角形，则，进而即可求解．
【解答】解：在正方形中，和为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点F作，如图，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
又，
∴，
∴
∴
故答案为：．
16．
【分析】先解一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；再解分式方程，根据解是非负正数解且不是增根得到m的最终范围，然后再确定在这个范围内能使y是整数的m的值，最后求和即可．
【解答】解：关于x的不等式组整理得到：
，
∵不等式组的解集为，
∴；
分式方程两边都乘以得：，即．
∵y有非负解且，
∴且，解得：且．
∴且，
∴整数m为：它们的和为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识，熟练掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
17．
【分析】过M作于H，连接，根据矩形的性质和判定证明四边形是矩形，得到，，再根据对称性质得，，设，则，，由勾股定理求得；设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到，则由勾股定理得．
【解答】解：过M作于H，连接，则，

∵四边形是矩形，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠性质得，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线求得的长是解答的关键．
18．
【分析】根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍，故可得百位、十位、个位上的数字之和为2，则该自然数千位上的数字为1，即可解答；根据题意可得自然数的千位数字为，百位数字是，十位数字是，个位数字是，则为，为，再利用能被6整除的数的特征，即可解答．
【解答】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍，
百位、十位、个位上的数字之和为2，
该自然数千位上的数字为1，
最小的“和数”为；
根据题意可得自然数的千位数字为，百位数字是，十位数字是，个位数字是，
为，为，
，
根据“和数”定义可得，
该“和数”能被6整除，
该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数，
，为偶数，
或6，
①当时，，
，
令，则，原式，
当时，原式取到最小值为；
②当时，，
，
令，则，原式，
当时，原式取到最小值为；
综上所述，的最小值为，
故答案为：；．
【点拨】本题考查了新定义的理解与运用，解题的关键在于对“和数”理解上，且进行分类讨论．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先算乘除，再算加减即可；
（2）先算完全平方公式，再去括号，合并同类二次根式即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)见解析；
(2)，，，．
【分析】（1）根据题意即可完成作图；
（2）结合（1）根据菱形的判定即可完成证明．
【解答】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）证明：∵点为边上的中点，
∴，在和中，

∴，
∴
∵，
∴
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
故答案为：，，，．
【点拨】本题考查了作图—复杂作图．全等三角形的判定与性质．平行四边形的判定与性质．菱形的判定．解题关键是掌握基本作图方法．
21．，1
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式
．
22．(1)100海里
(2)1.5小时
【分析】（1）过点A作，垂足为C，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出AC长．
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求OC长，再利用三角形的外角求得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可．
【解答】（1）如图所示，过点A作AC⊥OP ，垂足为C，
由题意得：
,
在中，OA=200海里，
∴=100海里
∴灯塔A到航线OP的距离为100海里．
（2）在中，OA=200海里，
∴海里
∵
在中，AC=100海里，
海里
海里
∴该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间小时
【点拨】本题考查解直角三角形的方向角问题，根据已知条件并结合实际图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解决本题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的性质的运用，线段的中点的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用菱形的性质证明三角形全等是关键．
（1）欲证明，只需证得，所以利用全等三角形的性质来推知即可；
（2）如图，延长到点，使，连接、．构建全等三角形、、，利用全等三角形的对应角相等来证明，即．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
在与中，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：如图，延长到点H，使，连接，
点G是的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
由（1）知，，且，．
∵，
∴，
是等边三角形，
∴，
∴．
由上述知，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴
在中，
∴．
在与中，
∴，
∴．
，
故，即．
24．（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案；
（2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可；
（3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值．
【解答】（1）解：当时，
原式===
（2）原式=
当时，原式，解得(舍去)；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得 (舍去)．
所以，的取值范围是；
（3）原式=
当时，原式，解得符合条件；
当时，原式，次方程无解，不符合条件；
当时，原式，解得 符合条件．
所以，的值是或．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，运用了数形结合的思想，在解答此类问题时要注意进行分类讨论．
25．(1)
(2)满足条件的t的值为或6．
(3)当，5，或时，△BCP为等腰三角形．
【分析】（1）设存在点P，使得PA=PB，此时PA=PB=2t，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时根据勾股定理列方程，结合P，A重合即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC=4cm，根据题意得：AP=2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC=BC，即，求得，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥BC于E，求得，若PB=BC，即，解得t=5，③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F，利用等面积法与勾股定理求解，即可得到结论．
【解答】（1）解：如图，∵
∴
设存在点P，使得PA=PB，
此时PA=PB=2t，PC=4-2t，
在Rt△PCB中，，
即： ，
解得：，
∴当时，PA=PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，
过点P作PE⊥AB于点E，，
此时
∵
∴
在Rt△BEP中，，
即：， 解得：，
∴当时，P在△ABC的角平分线上，
当点P运动到点A时，也符合题意，此时t=6，
综上所述，满足条件的t的值为或6．
（3）在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm， 根据题意得：AP=2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC=BC，即，
∴，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上， 如图，
过P作PE⊥BC于E，
∴
∴
∴
∴
即，解得：，
②PB=BC，即，
解得：t=5，
③PC=BC，如图，过C作CF⊥AB于F，
∴，
∵
∴
解得：
∴
∴
∴
∴
∴当，5，或时，△BCP为等腰三角形．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，线段的垂直平分线的应用，勾股定理的应用，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
26．（1）；（2）见解析；（3）的最小值为
【分析】（1）作于点，根据题意证明为等腰直角三角形即可得出结果；
（2）过点作交于，过点作于点，根据题意证明，然后根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）根据题意证明，然后根据轴对称最短路径问题解答．
【解答】解：（1）作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）过点作交于，
过点作于点，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴,
∵，
∴；
（3）∵为中点，为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，,
∴，
∴，
∴=,
∴，
作关于的对称点，连交于点，
则点即为所求点，连接, 设交于点，过点作于点，
∵,，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，熟练掌握基础知识，熟知相关性质定理是解本题的关键．