2024年上海市杨思中学七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（每题2分，共12分）
1. 边长为3的正方形的对角线的长是（ ）
A. 整数B. 分数C. 有理数D. 无理数
【答案】D
【解析】
【分析】先根据正方形的性质得到对角线的长，然后根据实数的分类进行判断．
【详解】解：∵正方形边长为3，
∴对角线==，是无理数．
故选D．
【点睛】本题考查了实数：有理数和无理数统称实数．也考查了正方形的性质．用边长表示出对角线的长度是解题的关键．
2. 已知，则x的值是（ ）
A. 1.59B. 0.159C. 0.0159D. 0.00159
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动1位．
【详解】解：已知,
，则x=0.0159．
故选C．
【点睛】本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 任意一个数算术平方根是正数B. 只有正数才有算术平方根
C. 因为3的平方是9，所以9的平方根是3D. -1是1的平方根
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根以及平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】解：A.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，故A选项错误；
B.0也有算术平方根，是0，故B选项错误；
C.应为3是9的平方根，所以9的平方根是±3，故C选项错误；
D.-1是1的平方根，故D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了算术平方根以及平方根的定义，是基础题，需要熟练掌握．
4. 已知一个正方形的边长为，面积为，则（ ）
A. B. 的平方根是
C. 是的算术平方根D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根和平方根的定义，即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
是的算术平方根，的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，解决本题的关键是对算术平方根和平方根的定义的理解．
5. 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，都是正数，且都含有根号，则可通过比较其平方的大小，即可解答出．
【详解】解：∵，，；
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，当给出的数中含有根式时，可以根据实际情况，考虑通过比较其平方的大小来解决．
6. 如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2﹣10的立方根为（ ）
A. ﹣10B. ﹣﹣10C. 2D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】先根据在数轴上的直角三角形运用勾股定理可得斜边长，即可得x的值，进而可得则的值，再根据立方根的定义即可求得其立方根．
【详解】根据图象：直角三角形两边长分别为2和1，
∴
∴x在数轴原点左面，
∴，
则，
则它的立方根为；
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是实数与数轴上的点的对应关系及勾股定理，解题关键是应注意数形结合，来判断A点表示的实数．
二、填空题：（每空3分，共36分）
7. 下列各数、、、、、、（1和1之间每一个间隔就多一个0）、、，其中无理数的个数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】解：=1，，，
所以无理数有：、（1和1之间每一个间隔就多一个0），共2个，
有理数有：、、、、、、，
故答案：2．
8. 把147400 ____________（保留三个有效数字）．
【答案】1.47×105
【解析】
【分析】用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
【详解】解：147400=1.474×105≈1.47×105．
故答案为1.47×105．
【点睛】把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．
规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
9. 若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________．
【答案】
【解析】
【详解】立方等于－0.027的数为－0.3，其倒数是.
10. 若的整数部分为，小数部分为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即
∴
∴，
故答案为：．
11. 已知，则____________．
【答案】25
【解析】
【分析】先根据算术平方根的非负性求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴a-2=0，b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，以及求代数式的值，根据算术平方根的非负性求出a和b的值是解答本题的关键．
12. 把化为幂的形式____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据分数指数幂的定义求解可得．
【详解】解：=，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分数指数幂，解题的关键是掌握分数指数幂的定义．
13. 如果的平方根等于±2，那么a=__________.
【答案】16.
【解析】
【详解】试题分析：首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．∵=4，∴=4，∴a==16．
故答案为16．
考点：平方根．
14. 在数轴上离原点距离是的点表示的数是_____
【答案】±
【解析】
【详解】在数轴上离原点距离是的点表示的数有两个，它们互为相反数，分别是，故答案为
15. 计算： =____________; =____________ ．
【答案】 ①. 0.75 ②. -0.01
【解析】
【分析】利用立方根定义计算即可求出值．
【详解】解：==；=
故答案为；-0.01.
【点睛】此题考查了立方根以及负指数幂，熟练掌握各自的定义是解本题的关键
16. 如图，POOR,OQPR,能表示点到直线（或线段）的距离的线段有__________条．
【答案】5
【解析】
【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间线段的长，可得答案．
【详解】解：PO是P到OR的距离，RO是R到PO的距离，OQ是O到PR的距离，PQ是P到OQ的距离，RQ是R到OQ的距离，共5条，
故答案为5．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是垂线段的长度．
17. 对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：a*b=，如3*2==，那么12*（3*1）=______．
【答案】
【解析】
【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．
【详解】解：∵3*1====1，
∴12*（3*1）=12*1==，
故答案．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确理解计算公式是解题关键．
18. 如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为________．
【答案】48°、132°或20°、20°
【解析】
【分析】根据题意画出符合题意的图形，分两种情况得到两个角的数量关系求出角度.
【详解】如图，α+β=180°，β=4α-60°，
解得α=48°，β=132°；
如图，α=β，β=4α-60°，
解得α=β=20°；
综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．
故答案为：48°、132°或20°、20°．
【点睛】此题考查角度的计算，正确理解两条边分别垂直的两个角的数量关系是解题的关键.
三、计算：（每题5分，共20分）
19.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行乘方、零次幂、去绝对值、化简二次根式运算，再进行加减运算，即可求解；掌握， （），，化简最简二次根式是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 计算：＋＋.
【答案】
【解析】
【分析】第一、三项利用负指数幂法则计算，第二项利用立方根计算即可.
【详解】解：原式= .
【点睛】本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键.
21.
【答案】原式=1
【解析】
【分析】根据分数指数幂的特点对要求的式子变形为，再进行计算即可．
【详解】解：
=，
=，
=6-5，
=1
【点睛】此题考查了分数指数幂，关键是根据分数指数幂的特点对要求的式子进行变形，在计算时要注意指数的变化．
22.
【答案】原式=4
【解析】
【分析】首先将每个根式化为以2为底数的幂，然后根据同底数幂的除法与乘法运算法则求解即可求得答案．
【详解】解：，
=，
=，
=
=，
=4.
【点睛】此题考查了分数指数幂的知识．此题难度适中，解题的关键是掌握分数指数幂的定义，同底数幂的除法与乘法运算法则．
四、解答题：（23−26每题6分，27题8分，共32分）
23. 如图，要从小河l引水到村庄B，请设计并作出一条最短路线，并说明理由．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短的性质直接得出答案．
【详解】如图，
沿BA引水距离最短，
理由：垂线段最短．
【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，正确掌握垂线段的性质是解题关键．
24. 实数在数轴上的位置如图所示，请化简：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用以及二次根式的化简，熟练掌握是解题的关键．根据图示，可得：，，据此化简即可．
【详解】解：由数轴的性质可得，，
∴，
∴，
故答案为：．
25. 已知实数满足，求的值．
【答案】2007
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出a的取值范围然后去掉绝对值号是解题的关键，也是本题的突破口．根据被开方数大于等于0可以求出，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
∴原式可化为：，
即=2006，
两边平方得，
∴．
故答案为．
26. 已知为有理数，且等式成立，求a+b-c的值
【答案】0
【解析】
【分析】先把化简为，然后利用实数的性质，得到a，b，c值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵==，
∴
∴a=0，b=1，c=1
所以a+b-c=0+1-1=0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．同时考查了实数的性质．
27. 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
（1）仿照以上方法计算：=_______；=_____．
（2）若，写出满足题意的x的整数值_____________．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，多少次之后结果为1，请写出你的求解过程．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．
【答案】（1）2；5 （2）1，2，3
（3）3次，过程见解析
（4）255
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，则，即可得；
（2）根据，，即可得；
（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，即可得；
（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，则进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，即可得．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，，
故答案为：2，5．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴或或，
故答案为：1，2，3．
【小问3详解】
解：第一次：，
第二次：，
第三次：，
∴第3次之后结果为1．
【小问4详解】
最大的是255，理由如下，
解：由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，
∵，，
∴进行1次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255，
∴只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．