上海市浦东新区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 只有0的平方根是它本身B. 无限小数都是无理数
C. 不带根号的数一定是有理数D. 任何数都有平方根
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根，有理数，无理数的定义分析判断即可．
【详解】解：A、正数的平方根有2个，只有0的平方根是它本身，故该选项正确；
B、无限小数中的无限循环小数是有理数，故该选项错误；
C、不带根号，但是无理数，故该选项错误；
D、因为负数没有平方根，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查平方根，有理数，无理数，熟悉它们的定义是关键．
2. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、分数指数幂，根据算术平方根、立方根、分数指数幂的定义逐项计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根、立方根、分数指数幂的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是( )
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据三角形三边关系可得：7－3＜第三边＜7+3，即4＜第三边＜10，根据第三边为整数，则第三边最小值值为5，则周长为：3+7+5=15.
考点：三角形三边关系
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，得到的一对内错角的角平分线互相平行
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线中，垂线最短
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确掌握相关定义是解题关键．分别利用平行线的性质以及垂线的性质对上述说法作出判断，即可解题．
【详解】解：A、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，符合题意；
B、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B项说法错误，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，得到的一对内错角的角平分线互相平行，C项说法错误，不符合题意；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，D项说法错误，不符合题意．
故选：A．
5. 如图，下列说法错误的是（ ）
A. 与是同位角B. 与是同旁内角
C. 与是内错角D. 与是内错角
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、与是同旁内角，原说法正确，故本选项不符合题意；
C、与不是内错角，原说法错误，故本选项符合题意；
D、与内错角，原说法正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
6. 在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（ ）
①可以用数轴上的一个点来表示；
②；
③；
④；
⑤是有理数．

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数、实数与数轴、二次根式的性质、无理数的估算，根据题意得出，即可判断③；由为无理数，可以用数轴上的一个点来表示即可判断①⑤；估算出即可判断②，由二次根式的性质即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，
边长为的正方形的一条对角线的长为，
类似的，若正方形的边长为长为，
，故③正确；
为无理数，可以用数轴上的一个点来表示，故①正确，⑤错误；
，，
，即，故②错误；
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共个，
故选：B．
二、填空题（19本大题共14题，每题2分，满分28分）
7. 在数，，，，，，中，无理数有______．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根．
【详解】解：，
故无理数有，，
故答案为：，．
8. 的算术平方根减去的立方根的差为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
的算术平方根，
的立方根，
的算术平方根减去的立方根的差为，
故答案为：．
9. 比较大小：______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较的方法，首先求出、的平方，比较出它们平方的大小关系，然后根据两个负实数，平方大的反而小，即可得出答案，熟练掌握正实数负实数，两个负实数，平方大的反而小．
详解】解：，，
，
，
故答案为：．
10. 如果，那么______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是根据等式的性质将方程两边平方，从而化成整式方程．
根据二次根式的性质及一元一次方程的解法即可求解．
【详解】
，
经检验：是方程的解，
故答案为：16．
11. 我国第七次全国人口普查公布，我国总人口为141178万人，用科学记数法表示141178万这个数为______（保留三个有效数字）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值，也考查了求一个数的近似数．
【详解】解：141178万，
故答案为：．
12. 在数轴上，表示到这个点的距离为的点对应的数是：______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、实数与数轴、二次根式的加减，分两种情况：当这个点在左边时；当这个点在右边时；分别列出式子，计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：，
当这个点在右边时，这个点对应的数为：，
综上所述，表示到这个点的距离为的点对应的数是：或，
故答案为：或．
13. 如果成立，那么实数的取值范围_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：变形得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质是解题的关键．
14. 已知直线和直线交于点比它的邻补角的2倍少，则直线与直线的夹角是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了了利用邻补角求角的度数，一元一次方程的应用，设，则它的邻补角为，根据“比它的邻补角的2倍少”列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设，则它的邻补角为，
由题意得：，
解得：，
，
直线与直线的夹角是度，
故答案为：．
15. 如图，已知，平分，，那么__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到，根据平分，得出，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16. 如图，，的面积等于，，，则的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】过D作DH⊥BC，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】过D作DH⊥BC，
∵AD∥BC，△ABD的面积等于2，AD=1，
∴DH=4，
∵BC=3，
∴△DBC的面积，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离．正确的识别图形是解题的关键．
17. 已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ___．
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】把给出的式子两边加上，分解因式，分析得出，才能说明这个三角形是等腰三角形．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴，
∴，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，配方法的应用是解题关键．
18. 已知等腰三角形的周长为，其中一边长是，则这个三角形的腰长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，掌握分类进行讨论，及验证是否能构成三角形是解题的关键．
由等腰三角形的周长，且一边长时，可分别从若是腰长与若是底边长去分析，然后根据构成三角形的关系求解，即可得出答案．
【详解】等腰三角形的周长为，
当为等腰三角形的腰时，
底边长：，
，故不能组成三角形．
当为三角形的底边长时，腰长
，故能组成三角形．
这个三角形的腰长是
故答案为∶
19. 下图①是长方形纸带，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③．图①中，则图③中用含有的式子表示为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、几何图中角度的计算，由平行线的性质得出，求出，从而得出，由折叠的性质得出在图③中，，最后由，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解： ，，
，
在四边形中，，
，
，
再沿折叠成图③，
在图③中，，
，
故答案为：．
20. 已知点在直线上，以点为端点的两条射线、互相垂直，若，则的度数是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】需要分类讨论：如图，OC、OD在AB的同侧和异侧两种情况．
【详解】解：∵OC，OD互相垂直，
∴∠COD=90°．
如图1，OC与OD在AB的同侧时，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOD=180°-∠COD -∠AOC =180°-90°-30°=60°；
如图2，OC与OD在AB的两侧时，
∵∠AOC=30°，
∴∠AOD=∠COD -∠AOC =90°-30°=60°
∴∠BOD=180°-∠AOD =180°-60°=120°；
故答案是：60°或120°．
【点睛】本题考查了垂线．注意数形结合数学思想、分类思想的应用．
三、简答题（本大题共6题，每题5分，满分30分）
21. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式加减，先去括号，再根据二次根式的加减运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
22. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
【详解】解：
．
23. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解决本题的关键．
利用二次根式的性质化简，然后再进行二次根式除法运算即可．
【详解】
．
24. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分数指数幂、零指数幂、二次根式的性质，根据分数指数幂、零指数幂、二次根式的性质进行化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
25. 利用幂的性质进行计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的混合运算，利用分数指数幂的运算法则将各数化为以为底的幂，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
26. 已知是实数，且，求的整数部分．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和算术平方根，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键；
首先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后代入求出算出平方根，观察分析该结果是介于哪两个相邻的正整数之间，取其较小的整数值为整数部分．
【详解】根据题意得：
，
，
，
，
，
把代入中得
，
，
，
的整数部分为：2．
四、解答题（本大题共4题，4+6+7+7，满分24分）
27. 按下列要求画图并填空：
如图，直线与相交于点是上的一点，
（1）过点画出的垂线，交直线于点．
（2）过点画出，垂足为点．
（3）点到直线的距离是线段______的长．
（4）点到直线的距离为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
（4）0
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识：
（1）（2）根据垂线的定义画出图形即可；
（3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求；
【小问2详解】
解：如图，直线即为所求；
【小问3详解】
解：点O到直线的距离是线段的长．
故答案为：；
【小问4详解】
解：点P到直线的距离为0，
故答案为：0．
28. 如图：已知，垂足为D，，垂足为F，，请填写理由说明

解：因为，（已知）
所以（ ）
所以（ ）（完成以下说理过程）
【答案】见解析
【解析】
【分析】由垂直可得，则可判定，即，根据得，则有，即可求证．
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平形），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换）；
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理及性质是关键．
29. 如图，已知中，分别是边上的点，点是线段上的点，且．
试说明：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质证明即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：点是线段上的点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
30. 已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形两边之和大于第三边得出，，，，计算得出，即可得证，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】证明：在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
，
与的和小于四边形的周长．
五、阅读理解题（本大题共1题，满分6分）
31. 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
（1）填空：______，______；
（2）化简求值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用．
（1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论
（2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可．
【小问1详解】
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
．