北京市大峪中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

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考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（共12小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】求出或,即得解.
【详解】由题得或,
所以，
故选：A
2. 下列函数中是定义在上的增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的定义域可判断AC，利用基本函数的单调性可判断BD.
【详解】对于A，在区间上为增函数，故A错误；
对于B，在单调递减，故B错误；
对于C，在区间上为减函数，故C错误；
对于D，在上为增函数，故D正确.
故选：D.
3. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】由函数，显然函数在为减函数，
又，， ，
.
故选：C.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合指数，对数的性质确定正确选项.
【详解】，
，
，
所以.
故选：B
5. “”是“对任意的正整数，均有”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】化简“对任意的正整数，均有”得，即得解.
【详解】对任意的正整数，均有,
所以，
当时，取最大值1，
所以.
因时，一定成立；时，不一定成立.
所以“”是“对任意的正整数，均有”的充分不必要条件.
故选：A
6. 函数的图像可看作是把函数经过以下哪种变换得到（ ）
A. 把函数向右平移一个单位
B. 先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
C. 先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
D. 先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数图像的平移变换法则求解即可.
【详解】选项A：函数向右平移一个单位得到；
选项B：先把函数的图像关于轴对称得到，然后向左平移一个单位得到；
选项C：先把函数的图像关于轴对称得到，然后向左平移一个单位得到；
选项D：先把函数的图像关于轴对称得到，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到；
故选：D
7. 若定义在R上的偶函数f(x)满足且时，，则方程的解有（ ）
A. 2个B. 3个
C. 4个D. 多于4个
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得函数周期为2，问题转化为与图象的交点个数，作图可得．
【详解】解：由可得函数的周期为2，
又函数为偶函数且当，时，，
故可作出函数得图象．
方程的解个数等价于与图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程的解个数为4.
故选：C．
8. 近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x（单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k与能见度x满足函数关系：（是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b的值是（参考数据：）（ ）
A. B. C. 0.24D. 0.48
【答案】A
【解析】
【分析】分别代入两点坐标得，，两式相比得结合对数运算得，解出值即可.
【详解】当时，①，
当时，②，
①比②得，
，
故选：A.
9. 已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.
【详解】解：由题意
在中，对称轴
函数在上单调减，在上单调增
，
∵对于，均有成立
即对于，均有恒成立
在中，对称轴，
函数在上单调减，在上单调增
当即时，
函数在上单调减
函数在上单调减
∴
解得
当，即时，
函数在上单调减，在上单调增
函数在上单调减
∴
∴
解得
当，即时，
函数在上单调增
函数在上单调减
∴
∴
故不符题意，舍去.
当即时
函数在上单调增，
函数在上单调减，在上单调增，
∴
解得
当即时
函数在上单调增，
函数在上单调减，在上单调增，
此时，
∴符合题意
当时，
函数在上单调增
函数在上单调增
∴
此时
∴符合题意
综上，实数的取值范围是
故选：C.
【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.
10. 已知集合，任取中至少有一个成立，则n的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】可证明集合A的正数至多有3个，负数至多有3个，故可判断n的最大值.
【详解】不妨设，若集合A中的正数个数不小于4，取，
可得，取，可得，因此，矛盾．
因此集合A的正数至多有3个，同理，集合A中的负数至多有3个．
又考虑，
符合题意，因此n的最大值为7．
故选：C.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 函数的定义域是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故答案为：
12. 已知函数是定义域为R的奇函数，且则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质，直接求得与的值，即可求出所求．
【详解】解:因为函数是定义域为的奇函数，
所以,
所以，，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了奇函数的基本性质，以及奇函数的定义，属于基础题．
13. 设函数则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______．
【答案】 ①. ②. （，）
【解析】
【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围.
【详解】解：函数则f[f（0）]＝f（e0）＝f（1）．
x≤0时，f（x）≤1，x＞0，f（x）＝﹣x2+x，对称轴为：x，开口向下，
函数的最大值为：f（），x→0时，f（0）→，
方程f（x）＝b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：（，）．
故答案为；（，）．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．
14. 已知函数（且）.给出下列四个结论：
①存在实数a，使得有最小值；
②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得的值域为R；
④若，则存在，使得.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出关于y轴的对称函数为，利用与y的图像在上有交点判断④.
【详解】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；
若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；
当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；
当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；
由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；
又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.
故答案为：①②④
15. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论序号是_____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 设，其中．
（1）当时，求函数的图像与直线交点的坐标；
（2）若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；
（3）若函数在上不具有单调性，求a的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）联立方程直接计算；
（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解；
（3）根据二次函数单调性可得参数范围.
【小问1详解】
当时，，
联立方程，解得：或，
即交点坐标为和.
【小问2详解】
由有两个不相等的正数零点，
得方程有两个不等的正实根，，
即，解得；
【小问3详解】
函数在上单调递增，在上单调递减；
又函数在上不具有单调性，
所以，即.
17 函数，其中．
（1）若，求的零点；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，即可求解零点，
（2）令得，进而结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
当时，，令，则，故，
所以的零点为.
【小问2详解】
令，则，，故，
由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故，
所以的取值范围为
18. 某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．
（1）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？
（2）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？
【答案】（1）该渔船捕捞3年开始盈利；
（2）万元.
【解析】
【分析】（1）由题设可得，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利.
（2）由平均盈利额，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益
【小问1详解】
由题意，渔船捕捞的利润，解得，
又，，故，
∴该渔船捕捞3年开始盈利.
【小问2详解】
由题意，平均盈利额，当且仅当时等号成立，
∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元.
19. 已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.
20. 已知函数的最小值为,其中.
(1)求的值;
(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值;
【答案】(1)1；(2).
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件即可求出结果；
（2）先分析时，取，有，故不合题意；再分析时，构造函数，对函数求导，分类讨论和，即可求出结果.
【详解】(1)的定义域为,
由，得；
由得，
由得，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
因此当时，，所有.
（2）当时，取，有，故不合题意；
当时，设
，令得或，
①当时，，当时，，因此函数在上单调递增，因此当时，，即有不成立，故不满足题意；
②当时，，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对任意的，有有成立,故符合题意；
综上，实数的最小值为.
【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.
21. 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
（1）当时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．
【答案】（1）
（2）7 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
设，不妨设，
因为，所以中元素个数大于等于7个，
又，，此时中元素个数等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7.
【小问3详解】
不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，
不妨设，则集合A的生成集
则必有，其4个正实数的乘积；
也有，其4个正实数的乘积，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.
a
0
减
极小值
增