2022-2023学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷

1.  已知直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若直线与直线垂直，则(    )

A.  B.  C. 2 D.

3.  已知抛物线C：，则焦点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若点，点，且，则点C的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若圆：与圆：相内切，则r为(    )

A. 1 B. 2 C. 5 D. 1或5

6.  将单位圆上所有点的横坐标变为原来的3倍，再将纵坐标变为原来的2倍，得到的曲线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知双曲线C：的离心率是2，则其渐近线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在长方体中，，，，则直线与平面内直线所成的角中最小角为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在平面内，A、B是两个不同的定点，C是动点，若，则点C的轨迹为(    )

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

10.  从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  圆的圆心为______，半径为______.

12.  过点且与直线l：平行的直线方程为______.

13.  在的展开式中，x的系数为______.

14.  设双曲线的两个焦点是，，点P在双曲线上，则______；若为直角，则点P的纵坐标的是______.

15.  数学中有许多美丽的曲线，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．如曲线C：，如图所示，给出下列三个结论
①曲线C关于直线对称；
②曲线C上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线C围成的图形的面积是
其中，正确结论的序号是______.

16.  在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且与直线相切于点
求圆M的方程；
若定点，点B在圆上，求的最小值．

17.  已知抛物线C：的焦点为
求p的值；
过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，若AB的中点为，求的面积．

18.  如图，在长方体中，，，点E在AB上，且
求直线与所成角的大小；
求与平面所成角的正弦．

19.  如图，四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，
求证：平面PAB；
求平面PAB与平面PCD所成角的大小．

20.  已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，且
求椭圆C的方程；
过点的直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，求证：x轴上存在定点P，使得直线PA与直线PB的斜率之和为零．

21.  如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
求证：；
若平面PAC，求二面角的大小；
在的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：直线l的倾斜角为，则直线l的斜率的值为
故选：
由题意利用直线l的倾斜角和斜率的关系，求得结果．
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：直线与直线垂直，
，解得
故选：
由直线的垂直关系可得，解方程可得．
本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：已知抛物线C：，
则焦点坐标为，
故选：
由抛物线的性质求解即可．
本题考查了抛物线的性质，属基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：根据题意，设，
则，，
又由，则，解可得，即点C的坐标为，
故选：
根据题意，设，由空间向量的坐标计算公式可得关于x、y、z的方程组，解可得x、y、z的值，即可得答案．
本题考查空间向量的坐标计算，注意空间向量的坐标计算公式，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：根据题意，圆：，其圆心为，半径为r，
圆：，其圆心为，半径为3，
则两圆的圆心距；
若圆：与圆：相内切，
则有，解可得或5，
故选：
根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得，解可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：设点为所求曲线上任意一点，为圆上的点，
因为圆上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，
所以，，
又因为，
所以
故选：
设点为所曲求线上任意一点，为圆上的点，根据题意得到，，再结合题意中，即可得到答案．
本题主要考查了曲线方程的求解，解决此类问题的关键是熟练掌握求轨迹方程的有关方法，以及几何正确的运算．
 

7.【答案】B 

【解析】解：已知双曲线C：的离心率是2，
则，
即，
即，
又，
即，
即双曲线的渐近线的方程为，
即，
故选：
由双曲线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图，连接，

设l是平面内任一直线，是l的一个方向向量，
①当或l与BC重合时，即等于直线和l所成的角，
又，，，
则在中，；
②当l与BC不平行且不重合时，
设，，，则可以作为空间向量的一个基底，
且，两两垂直，
则，且，
根据平面向量基本定理，可知，，，显然，
则与向量共线，
所以也是l的一个方向向量，
设，则，
设直线和l所成的角为，则，
，，，所以，
则，
令，整理可得，
该方程有解，即，
解得，即，
所以，
因为，在上单调递减，
所以当时，取最小值为，
又，即，
综上所述，直线与平面内直线所成的角中最小角为，
故选：
设l是平面内任一直线，是l的一个方向向量，
当或l与BC重合时，即等于线线角，在中，求出即可；
当l与BC不平行且不重合时，设，，，则可以作为空间向量的一个基底，
则，根据平面向量基本定理以及共线向量可得到l的一个方向向量，
设线线角为，则，
令，用判别式法求出，即可得到，从而求出结果．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：根据题意可设，，其中，设C为，
 又，
，
化简整理可得，，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
故选：
根据“五步求曲“可直接求解．
本题考查轨迹方程的求解，“五步求曲“法的应用，属基础题．
 

10.【答案】D 

【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①先在7人中选出2人，安排在第一天值班，有种安排方法，
②再从剩下的5人中选出2人，安排在第二天和第三天值班，有种安排方法，
则有种安排方法，
故选：
根据题意，分2步进行分析：①先在7人中选出2人，安排在第一天值班，②在从剩下的5人中选出2人，安排在第二天和第三天值班，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：圆，即圆，
故它的圆心为，半径为1，
故答案为：；
把圆的方程化为标准形式，可得圆心和半径．
本题主要考查圆的标准方程形式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设与直线平行的直线的方程，
把点代入，得：，解得，
所求直线方程为：
故答案为：
设与直线平行的直线的方程，把点代入，能求出结果．
本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线平行的性质的合理运用．
 

13.【答案】10 

【解析】解：的展开式中，通项公式为，
令，可得，故x的系数为，
故答案为：
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中的x的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 

14.【答案】  

【解析】解：已知双曲线的两个焦点是，，点P在双曲线上，
则；
又为直角，
由双曲线方程可得，，
设，
由为直角，
则，
则，
即，
又，
则，
即，
则点P的纵坐标的是，
故答案为：；
由双曲线的性质，结合平面向量的数量积的运算求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了平面向量的数量积的运算，属基础题．
 

15.【答案】①③ 

【解析】解：设为曲线上的任意一点，则关于对称的点满足，①正确；
由题意可得，曲线上任意两点之间的距离的最大值为，②错误；
当，时，方程可化为：，
即，其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，曲线围成的面积为，③正确．
故选：①③．
由已知结合曲线的对称性检验①，结合圆的性质检验②③即可判断．
本题主要考查了曲线的对称性，圆的性质的综合应用，属于中档题．
 

16.【答案】解：设圆M为，则，半径为r，
因为圆心在直线上，所以，
因为直线与圆M相切于点，所以直线与直线PM垂直，
所以，即，则，解得，则，
所以，
故圆M为
因为，所以点在圆M外，
因为，
所以，即的最小值为 

【解析】利用待定系数法设得圆，再根据题意得到关于a，b的方程，进而求得r，由此得到圆M的方程；
利用定点到圆上动点的最小距离的求法求解即可．
本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
 

17.【答案】解：由焦点为，知，所以
由知，抛物线C：，
因为，，所以直线l的方程为，即，
设，，
联立，消去x，得，
所以，，
所以，
所以的面积 

【解析】由，得解；
由，，写出直线l的方程，并与抛物线的方程联立，结合韦达定理求得的值，再利用，得解．
本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，三角形面积的求法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
所以，
所以，
故直线与所成角为
因为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，于是，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为 

【解析】以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出，，利用空间向量的数量积求解直线与所成角的余弦值即可；
求出平面的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：底面ABCD为直角梯形，，，
又平面PAB，平面PAB，
平面PAB；
平面平面ABCD，且平面平面，
又，平面ABCD，
又，即，则建立以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示：

，，，则，，，，，
设平面PCD的一个法向量为，，，
则，取，则，，
平面PCD的一个法向量为，
又平面PAB，则平面PAB的一个法向量为，
，，
由图形得平面PAB与平面PCD所成角为锐二面角，
平面PAB与平面PCD所成角为 

【解析】由题意得，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
由题意可得AB，AD，AP两两垂直，则建立以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面平行和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为椭圆C：中，，所以，
又因为，所以，解得，，
所以椭圆C的方程为；
证明：因为点，设x轴上的点为，直线l与椭圆C交于点，，
直线l的方程为，由，消去x，整理得，
所以，；
又因为直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
所以时，
；
把，代入上式化简得，
所以，
化简得，解得，
所以x轴上存在定点，使得直线PA与直线PB的斜率之和为零． 

【解析】根据题意求出c、a和b的值，即可写出椭圆C的方程；
设x轴上的点，直线l的方程为，由直线方程与椭圆方程联立消去x，得y的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出直线PA、PB的斜率，利用求出的值即可．
本题考查了直线与椭圆方程的应用问题，也考查了运算求解能力与推理论证能力，是难题．
 

21.【答案】解：证明：连接AC、BD，设AC交BD于点O，连接SO，如图所示：

由题意得O是AC、BD的中点，且，
，
又，平面SBD，平面SBD，
平面SBD，
又平面SBD，
；
设正方形ABCD的边长为a，则，
又，则，
连接OP，由得平面SBD，且平面SBD，则，
又，则二面角的平面角为，
平面PAC，平面PAC，
，，
二面角的大小为；
假设侧棱SC上存在一点E，使得平面PAC，
由得二面角的大小为，在中，，
又，则SP：：1，
取SP上一点F，使得，连接BF，过点F作交SC于点E，如图所示：

在中，O是BD中点，则，
又，且，平面BEF，平面BEF，
平面平面POC，
平面PAC，
又SF：：1，则SE：： 

【解析】连接AC、BD，设AC交BD于点O，连接SO，利用线面垂直的判定定理和性质定理，即可证明结论；
设正方形ABCD的边长为a，则，又，则，根据二面角的定义可得二面角的平面角为，即可得出答案；
由得二面角的大小为，在中，，根据面面平行的判定定理，取SP上一点F，使得，连接BF，过点F作交SC于点E，可得平面PAC，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直、平行，二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．