2022-2023学年北京市怀柔区高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年北京市怀柔区高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．若、、成等差数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用等差中项的性质可求得的值.

【详解】因为、、成等差数列，则.

故选：A.

2．函数在处的切线斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.

【详解】因为，则，所以，.

因此，函数在处的切线斜率为.

故选：B.

3．已知函数为的导函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的运算法则以及基本初等函数的求导公式，即可得答案.

【详解】由可得，，

故选：C

4．一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率结合古典概型计算求解即可.

【详解】由已知条件得

由条件概率公式可得

.

故选：D.

5．已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）

A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值

C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值

【答案】A

【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值.

【详解】  

由导函数图像可知：

导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，

在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，

所以原函数在处取得极小值，无极大值，

故选：A.

6．将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为，则随机变量的期望（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据二项分布的期望公式即可求解.

【详解】在一次抛硬币的实验中，正面朝上的概率为，

由题意可知服从二项分布，所以，所以，

故选：B

7．在数列中，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知递推式求出，可得数列是以3为周期的周期数列，然后利用周期可求得结果.

【详解】因为，，

所以，，

，，

所以数列是以3为周期的周期数列，

所以，

故选：A

8．若是等差数列的前项和，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据与关系计算求解.

【详解】，

故选：B.

9．数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得对于都成立，化简求解即可求出的取值范围

【详解】因为数列的通项公式为，且是递增数列，

所以对于都成立，

所以对于都成立，

即对于都成立，

所以对于都成立，

所以，即的取值范围是，

故选：D

10．已知函数,则下面对函数的描述正确的是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果.

【详解】因为，所以，导函数在上是增函

数，又，，所以在上有唯一

的实根，设为，且，则为的最小值点，且，

即，故，

故选B.

点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果.

二、填空题

11．设函数，则          .

【答案】0

【分析】由导数的求导法则求解导数，即可代入求解.

【详解】,所以，

故答案为：0

三、双空题

12．已知随机变量的分布列如下，且：

则          ；          .

【答案】     /0.5    

【分析】由分布列的性质及期望公式解得.

【详解】由分布列的性质，可得，解得①，

因为，所以，即②，

联立①②解得，，

故答案为：.

四、填空题

13．已知是公比为的等比数列，其前项和为.若，则          .

【答案】2

【分析】依题意可得，再根据通项公式计算可得.

【详解】因为，所以，即，

所以.

故答案为：

五、双空题

14．若曲线在处的切线方程为，则          ；          .

【答案】         

【分析】对函数进行求导，利用导数的几何意义和已知切线的方程进行求解即可.

【详解】，由于曲线在处的切线方程是，

所以，由切点在切线上，切点为，

得

所以，得.

故答案为：-1,0.

六、填空题

15．设随机变量的分布列如下：

给出下列四个结论：

①当为等差数列时，；

②当为等差数列时，公差；

③当数列满足时，；

④当数列满足时，时，.

其中所有正确结论的序号是          .

【答案】①③④

【分析】根据题意可得，且,，，2，，10．对①②结合等差数列的性质分析运算；对③根据等比数列求和以及分布列的性质即可分析运算；对④根据递推关系作差，结合累乘迭代即可求解．

【详解】由题意可得：，且,，，2，，10，

对①：当为等差数列时，则，

可得，故，①正确；

对②：当为等差数列时,由①知，所以，

由于,，所以，解得：，故②错误；

对③：当数列满足，2，时，满足，，，2，，10，

则，

可得,，③正确；

对④：当数列满足，2，时，则，

可得，,3，时,所以，

由于，所以，

因此，

由于，所以，因此，

当也符合，故，④正确．

故答案为：①③④

【点睛】本题考查了数列的递推公式，根据数列给出与的递推关系，要求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求．同时特别要注意验证的值是否满足“”的一般性通项公式．

七、解答题

16．已知等差数列的的前项和为，从条件①､条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答：

(1)求的通项公式；

(2)若是等比数列，，求数列的前项和.

①；②；③.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选择①②，①③，②③作为已知条件，根据等差数列的定义，可得公差d，代入公式即可求得答案；

（2）根据题干条件，结合（1）可求得，的值，代入公式，即可求导、q，进而可得，根据分组求和法，结合等差、等比的求和公式，即可得答案.

【详解】（1）选①；②

设等差数列的公差为.

由题设，得

解得.

所以.

选①；③

设等差数列的公差为.

由题设，得

解得.

所以.

选②；③

由题设，得，

，

解得.

所以.

（2）因为是等比数列，且由，得，

由，得

所以

所以.

所以

17．已知函数.

(1)求的极值；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极大值和极小值；

（2）比较、以及极小值三者的大小，即可得出函数在区间上的最大值和最小值.

【详解】（1）解：因为，所以.

令，得或，列表如下：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为、.

从而的极大值为，极小值为.

（2）解：由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，

又因为，，，

所以在区间上的最大值为，最小值为.

18．为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了20名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：

(1)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率；

(2)从图中90分以上的人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为，求的分布列和期望；

(3)为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学参加知识竞赛活动的学生中随机选取5名男生､5名女生作为宣传志愿者，记这5名男生竞赛成绩的平均数为，这5名女生竞赛成绩的平均数为，能否认为，说明理由.

【答案】(1)0.4

(2)分布列见解析，

(3)不能确定是否有，理由见解析

【分析】（1）根据茎叶图中的数据，结合古典概型的概率公式求解；

（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生，则的值可能为，然后求出相应的概率即可求出的分布列和期望；

（3）由所抽取的成绩是随机的进行判断.

【详解】（1）由茎叶图数据，随机抽取的20名学生中有男生10人，从男生中随机抽取1人，

因为90分以上的有4人，

所以男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计值为.

（2）抽取的样本学生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.

从7人中随机抽取4人，抽到男生的人数记为的值可能为：

的分布列为：

（3）不能确定是否有.

上述5名男生，5名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以是随机的.

所以，不能确定是否有.

19．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且

(1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；

(2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.

【答案】(1)

(2)80万件

【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可；

（2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可.

【详解】（1）由题意得，总售价固定为，

当产量不足60万箱时，.

当产量不小于60万箱时，.

则

（2）设，

当时，，令，得，

得在上单调递增，在上单调递减，

则；

当时，由基本不等式有

当且仅当，即时取等号；

又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元

20．已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）法一：由（1）中的结论，当时，举反例；在时，由求出实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围；

法二：由可得出，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为，所以，所以.

当时，对任意的恒成立，

此时函数的增区间为，无增区间；

当时，令，得，

所以的增区间为，减区间为.

综上所述，当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为，减区间为.

（2）解：法一：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，

且，与恒成立矛盾；

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.

，

令，得，得，即.

法二：若对任意，恒成立，即对任意的恒成立，

则对任意的恒成立，

设，则，其中，

令，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，所以.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

21．定义：若对任意正整数，数列的前项和都是整数的完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.

(1)若数列满足，判断为是否为“完全平方数列”；

(2)若数列的前项和（是正整数），那么是否存在，使数列为“完全平方数列”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

(3)试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式.

【答案】(1)数列不具有性质

(2)

(3)所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式（）.

【分析】（1）根据“完全平方数列”的定义分析判断，

（2）根据数列的前项和得到，对，和这两种情况进行分析即可，

（3）设等差数列的首项为，公差为，得到数列的前项和，此时，，，然后利用换元法求解即可.

【详解】（1）不是“完全平方数列”.

不是整数的完全平方数.

（2）数列的前项和（是正整数），

当时，，

当时，不满足上式，

所以

①当，时，，

所以数列与原数列相同，所以，

所以当时，数列为“完全平方数列”，

②当时，，不是完全平方数，

所以当时，数列不是“完全平方数列”，

综上，当时，数列为“完全平方数列”，

（3）因为为完全平方数，故，,

若，则，若对任意的，均为完全平方数，

则，否则假设为的素因数，且恰好能整除，为正整数，

若为奇数，则不是完全平方，矛盾；

若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾，

若，则，

若，取，则或，

当为偶数时，此时、均不是完全平方数，

故为奇数，取，则，为奇数，

故此时不是完全平方数，

故即，故，设，故，

所以即（）.

【点睛】关键点点睛：此题考查数列的新定义，考查等差数列的运算，解题的关键是正确理解“完全平方数列”的定义，考查数学计算能力，属于较难题.