人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式综合训练题，共14页。试卷主要包含了在R上定义运算“⊗”等内容，欢迎下载使用。


1．已知关于x的不等式x2−ax−b<0的解集是(−2,3)，则3a−b的值是（ ）
A．−3B．3C．11D．−11
2．多项式x2−3x+a可分解为x−5x−b,则a,b的值分别为（ ）
A．10和-2B．-10和2C．10和2D．-10和-2
3．若a>0,b>0，2ab+a+2b=3，则a+2b的最小值是 （ ）
A．22B．1
C．2D．322
4．在R上定义运算“⊗”：a⊗b=ab+2b<0，则满足x⊗x−3<0的实数x的取值范围为（ ）
A．x23
C．xx<−2或x>3D．x−25．已知不等式x2+bx+c<0的解集为x30的解集为（ ）
A．x−13C．xx<14或x>13D．xx<−13或x>−14
6．已知a>0，b>0，且12a+1+41+2b=1，若a+b>2x2−6x恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．−12C．−77．已知p=m−4A．P ⊊ QB．Q ⊊ PC．P=QD．P∩Q=∅
8．已知a，b均为正实数，则“1a<1b”是“a2+2b2>3ab”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．下列不等式中可以作为4x+15−4x2≤0的一个充分不必要条件的有（ ）
A．x<1B．x=52C．x<−2或x>3D．x≤−32或x≥52
10．与不等式x2−x+2>0的解集相同的不等式有（ ）
A．x2+x−2>0B．−x2+x−2>0
C．−x2+x−2<0D．2x2−3x+2>0
11．设a>0，b>0，满足a+2b=1，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值是14B．1a+2b的最小值是9
C．a2+b2的最小值是15D．a2+4b2的最小值是1
12．不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20的解集 .
13．函数y=kx2−2kx+4的定义域为R，则实数k的取值范围为 ．
14．已知a,b为正实数且a+b+2a+2b=6，则a+b的取值范围为 .
15．若关于x的不等式ax>b的解集为−∞,15．
（1）求关于x的不等式ax2+bx−45a>0的解集
（2）解不等式2ax−b≤1．
16．已知关于的x不等式ax2+(a−1)x−1>0．
(1)若a=−2时，求不等式的解集；
(2)若a∈R，解这个关于x的不等式；
17．已知不等式ax2+bx−1<0的解集为x−1（1）计算a、b的值；
（2）求解不等式x2−ax+b>0的解集.
18．已知非空集合P=xa+1≤x≤2a+1，Q=xx2−3x ≤10．
(1)若a=3，求∁RP∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围;
(3)若P∩Q中只有一个整数，求实数a的取值范围．
19．已知p:2x2−3x−2≥0,q:x2−2a−1x+aa−2≥0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
参考答案：
1．A
【分析】根据三个“二次”的关系可知，−2,3是方程x2−ax−b=0的两根，即可由根与系数的关系求出．
【详解】依题可知，−2,3是方程x2−ax−b=0的两根，所以a=−2+3=1，−b=−2×3，即b=6，
故3a−b=3−6=−3．
故选：A．
2．D
【分析】将x−5x−b展开,利用待定系数法可求出a,b的值.
【详解】由题意,x−5x−b=x2−5+bx+5b=x2−3x+a,
则5+b=35b=a,解得a=−10,b=−2.
故选:D.
【点睛】使用待定系数法解题的一般步骤是:
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.
3．C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】a>0,b>0,3=2ab+a+2b≤(a+2b2)2+(a+2b)，当且仅当a=2b时取等号，
因此(a+2b)2+4(a+2b)−12≥0，即(a+2b+6)(a+2b−2)≥0，解得a+2b≥2，
所以当a=2b=1时，a+2b取得最小值2.
故选：C
4．D
【分析】根据新定义运算得到关于x的一元二次不等式，解之即可.
【详解】因为a⊗b=ab+2b<0，
所以x⊗x−3=xx−3+2x−3=x2−x−6<0，
整理得x−3x+2<0，解得−2所以实数x的取值范围为x−2故选：D.
5．C
【分析】由题意可得方程x2+bx+c=0的两个根分别为3和4，结合韦达定理可求得b,c，进而求解即可.
【详解】因为不等式x2+bx+c<0的解集为x3所以方程x2+bx+c=0的两个根分别为3和4，
则3+4=−b3×4=c，解得b=−7c=12，
所以cx2+bx+1>0，即12x2−7x+1>0，
即3x−14x−1>0，即x<14或x>13，
所以cx2+bx+1>0的解集为xx<14或x>13.
故选：C.
6．A
【分析】利用基本不等式计算得a+b的最小值，再解一元二次不等式即可.
【详解】因为2a+2b+2=2a+1+2b+112a+1+41+2b=5+2b+12a+1+42a+11+2b，
所以2a+2b+2≥5+22b+12a+1⋅42a+11+2b=9，当且仅当2b+12a+1=42a+11+2b，
即a=1，b=52时，等号成立，所以2a+2b+2≥9，即a+b≥72．
因为a+b>2x2−6x恒成立，所以2x2−6x<72，
即4x2−12x−7=2x+12x−7<0，解得−12故选：A
7．A
【分析】根据mx2−mx−1<0，对于一切x∈R成立，得出Q=m−4【详解】因为mx2−mx−1<0，对于一切x∈R成立，
当m=0时，−1<0成立.
当m≠0时，m<0Δ=m2−4m<0，解得：−4综上：−4所以P ⊊ Q
故选：A
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题和集合包含关系的判断，其中根据已知一元二次不等式恒成立的条件求出集合Q是本题的关键.属于中档题.
8．D
【分析】
根据1a<1b确定a>b>0，根据a2+2b2>3ab得到a>2b>0或b>a>0，得到答案.
【详解】
因为a，b均为正实数，若1a<1b，则a>b>0；
若a2+2b2>3ab，则(a−b)(a−2b)>0，即a>2b>0或b>a>0，
所以“1a<1b”是“a2+2b2>3ab”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
9．BC
【分析】解出4x+15−4x2≤0，再结合充分不必要的概念即可判断.
【详解】4x+15−4x2≤0即(2x−5)(2x+3)≥0，
解得x≤−32或x≥52，
故选：BC.
10．CD
【分析】直接求解各不等式即可判断.
【详解】对于不等式x2−x+2>0,Δ=1−4×2=−7<0, 故不等式x2−x+2>0的解集为R.
对于A选项，不等式 x2+x−2>0可变形为 (x−1)(x+2)>0，解得x<−2 或x>1，A错；
对于B选项，不等式−x2+x−2>0即为x2−x+2<0,Δ=1−4×2=−7<0，故不等式 −x2+x−2>0的解集为 ∅，B错；
对于C选项，不等式−x2+x−2<0等价于x2−x+2>0，故不等式 −x2+x−2<0的解集为R，C对；
对于D选项，对于不等式2x2−3x+2>0,Δ=9−4×22<0，故不等式2x2−3x+2>0的解集为R，D对.
故选：CD.
11．BC
【分析】根据正实数a，b满足a+2b=1，结合基本不等式和二次函数求最值即可判断.
【详解】解：对于A，正实数a，b满足a+2b=1，所以a+2b≥22ab，则1≥22ab，即ab≤18，
当且仅当a=2b，即a=12,b=14等号成立，所以ab有最大值18，故A错误；
对于B，1a+2b=1a+2ba+2b=5+2ba+2ab≥5+22ba⋅2ab=9，
当且仅当a=b=13时等号成立，则1a+2b有最小值9，故B正确；
对于C，正实数a，b满足a+2b=1，则a=1−2b>0，故0所以a2+b2=1−2b2+b2=5b2−4b+1=5b−252+15，
则当b=25时，a2+b2有最小值15，故C正确；
对于D，结合C可知，a2+4b2=1−2b2+4b2=8b2−4b+1=8b−142+12，
则当b=14时，a2+b2有最小值12，故D错误.
故选：BC.
12．{x13【分析】由不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），可得：2，3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，利用根与系数的关系可把不等式cx2+bx+a>0化为二次不等式即可解出．
【详解】∵不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），
∴2，3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且a＜0，
∴2+3=−ba，2×3=ca．
∴不等式cx2+bx+a＞0化为cax2+bax+1＜0，
∴6x2-5x+1＜0，
化为（2x-1）（3x-1）＜0，
∴13＜x＜12．
∴不等式cx2+bx+a>0的解集为{x13故答案为：{x1313．[0,4]
【分析】函数y=kx2−2kx+4的定义域为R，等价于kx2−2kx+4≥0恒成立，然后分k=0和k≠0两种情况讨论求解即可得答案
【详解】函数y=kx2−2kx+4的定义域为R，等价于kx2−2kx+4≥0恒成立，
当k=0时，显然成立；
当k≠0时，由Δ=(−2k)2−4k×4≤0，得0综上，实数k的取值范围为[0,4]．
故答案为：[0,4]
14．[2，4]
【分析】利用均值不等式将给定等式变形成关于a+b的不等式，解之即得.
【详解】因a,b为正实数，则有2ab≤a+b⇔ab≤(a+b)24，当且仅当a=b时取“=”，而ab>0，于是得a+bab≥4a+b，
从而得6=a+b+2(a+b)ab≥a+b+8a+b，整理得(a+b)2−6(a+b)+8≤0，解得2≤a+b≤4，
显然当且仅当a=b=1时，a+b取最小值2，当且仅当a=b=2时，a+b取最大值4，
所以a+b的取值范围为[2，4].
故答案为：[2，4]
15．（1）−1,45；（2）15,+∞．
【分析】（1）由题意可得a<0，a=5b，则ax2+bx−45a>0化为5x2+x−4<0，从而可求出其解集，
（2）不等式2ax−b≤1可化为ax−b≤0，再由a<0，a=5b，化为5x−1≥0，从而可求出其解集
【详解】解：（1）关于x的不等式ax>b的解集为−∞,15，即x<15，
所以a<0，且ba=15，a=5b,b<0；
所以关于x的不等式ax2+bx−45a>0可化为5bx2+bx−4b>0，
即5x2+x−4<0，解得−1所以该不等式的解集为−1,45；
（2）不等式2ax−b≤1可化为ax−b≤0，
即不等式5x−1≥0，解得x≥15，
所以不等式的解集为15,+∞．
16．(1){x|−1(2)分类讨论，答案见解析.
【分析】（1）把a=−2代入，解一元二次不等式即得.
（2）分类讨论，解含参的一元二次不等式即得.
【详解】（1）当a=−2时，原不等式化为−2x2−3x−1>0，即(2x+1)(x+1)<0，解得−1所以原不等式的解集为{x|−1（2）当a=0时，不等式−x−1>0，解得x<−1；
当a>0时，不等式ax2+(a−1)x−1>0化为(ax−1)(x+1)>0，解得x<−1或x>1a；
当a<0时，不等式ax2+(a−1)x−1>0化为(x−1a)(x+1)<0，
若1a<−1，即−1若1a=−1，即a=−1，则不等式无解，
若−1<1a<0，即a<−1，则解不等式得−1所以当a>0时，原不等式的解集为{x|x<−1或x>1a}；当a=0时，原不等式的解集为{x|x<−1}；
当−1当a<−1时，原不等式的解集为{x|−117．（1）a=12，b=−12；（2）xx−12或x1.
【解析】（1）由题意知方程ax2+bx−1=0的两个根为−1和2，两根代入方程列出方程组求解a、b即可；（2）（1）中所求a、b的值代入不等式，求解一元二次不等式即可.
【详解】（1）∵不等式ax2+bx−1<0的解集为x−1∴方程ax2+bx−1=0的两个根为−1和2，
将两个根代入方程中得a−b−1=04a+2b−1=0，解得：a=12，b=−12；
（2）由（1）得不等式为x2−12x−12>0，即2x2−x−1>0，
∵△=−12−4×2×−1=9>0，
∴方程2x2−x−1=0的两个实数根为：x1=−12，x2=1，
因而不等式x2−12x−12>0的解集是{xx<−12或x>1}.
【点睛】本题考查一元二次不等式，属于基础题.
18．(1)∁RP∩Q=x−2≤x<4;
(2)(−∞,2];
(3){0}∪12,1∪(1,32)∪(3,4].
【分析】（1）代入a=3求出集合P，解一元二次不等式求出集合Q，再根据集合的运算求解；
（2）由“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，可得PQ，分P=∅与P≠∅讨论求解即可；
（3）由题意可得P≠∅⇒a≥0，分整数为1，2，3，4，5讨论求解即可.
【详解】（1）当a=3时，P=xa+1≤x≤2a+1=x4≤x≤7，
∴∁RP=xx<4或x>7.
∵Q=xx2−3x≤10=x−2≤x≤5,
∴∁RP∩Q=x−2≤x<4.
（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ，
当P=∅时，即a+1>2a+1，即a<0时，PQ；
当P≠∅时，要使PQ，则a+1≤2a+1a+1≥−22a+1≤5，且等号不同时取得，解得：0≤a≤2，
∴满足PQ的实数a的取值范围是(−∞,2]．
（3）若P∩Q中只有一个整数，则P≠∅⇒a≥0，
∵Q=xx2−3x≤10 =x−2≤x≤5，
①整数为1，则a=0；
②整数为2，则a≥01③整数为3，则a≥02④整数为4，则a≥03⑤整数为5，则a≥04综上所述，a的取值范围为{0}∪12,1∪(1,32)∪(3,4]．
19．a32≤a≤2.
【解析】计算得到M=xx≤−12，或x≥2，N=xx≤a−2或x≥a，根据条件得到M是N的真子集，计算得到答案.
【详解】令M=x2x2−3x−2≥0=x2x+1x−2≥0=xx≤−12,或x≥2
N=xx2−2a−1x+aa−2≥0=xx−ax−a−2≥0=xx≤a−2或x≥a
由已知p是q的充分不必要条件得,M是N的真子集,
所以a−2≥−12,a<2或a−2≥−12,a≤2,解得32≤a<2或32即所求a的取值范围是a32≤a≤2.
【点睛】本题考查解不等式，根据充分不必要条件求参数，意在考查学生的综合应用能力.