陕西省榆林市子洲县周家硷中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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共120分，作答时间120分钟．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度,旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A，即不是轴对称图形也不是中心对称图形，不合题意；
B，是轴对称图形不是中心对称图形，不合题意；
C，是轴对称图形不是中心对称图形，不合题意；
D，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．如图，这是某城市道路旁边的限速标志牌，设行驶该路段的车速为，则以下不等式对此标志解释正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的意义；根据限速牌的实际意义：速度不超过，即可得到不等式．
【详解】解：限速牌的实际意义：速度不超过，
由题意得：；
故选：D．
3. 在中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角的性质．根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
4. 如图，D是内一点，平分，过点D作于点E，连接．若，，则的面积是（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理；过D作于F，则得，再由三角形面积公式即可计算．
【详解】解：如图，过D作于F，
∵平分，，
∴，
∴，
故选：B．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
系数化为1得，x≤2，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N，则点N的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标平移的特征：左减右加，上加下减；根据此特征即可确定点M平移后点N的坐标．
【详解】解：点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点N的坐标为；
故选：A．
7. 在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，根据图象求得，的值，在代入不等式组即可求解，利用数形结合的数学思想是解题关键．
【详解】解：由图象可知正比例函数与一次函数交于点，
则将代入得，，即正比例函数为，
将代入得，，解得：，即一次函数为，
则解不等式组得，，
∴关于x的一元一次不等式组的解集是，
故选：D．
8. 如图，在等腰直角三角形中，，是角平分线，点在上，，，则的长为( )
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；过点作于点，证明得出，进而证明，根据勾股定理得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵等腰直角三角形中，，是角平分线，
∴，
在中，
∴
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵等腰直角三角形中，
∴，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15 分）
9. 不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求不等式的解集．利用不等式的基本性质：先移项，再系数化1，即可解得不等式；注意系数化1时不等号的方向改变．
【详解】解：不等式移项得，，
系数化1得，，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
10. 命题：若，则．则该命题的逆命题是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】先写出逆命题，再判断命题的真假即可．
【详解】解：若，则．则该命题的逆命题是若，则．逆命题是假命题，例如，当时，，但很显然．
故答案为：假
【点睛】此题考查了原命题和逆命题，真命题和假命题，举反例是判断真假命题的关键．
11. 如图，一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂痕（如图甲），若把裂痕右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移和单项式乘以多项式，由平移后的长为，然后利用平移后的长方形面积减去原长方形面积即可求解，熟练掌握平移的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：如图乙，产生的裂缝的面积，
故答案：．
12. 如图，在中，，是的角平分线，为的中点，若，，则的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由等腰三角形的性质得，，由勾股定理求得，则得，由面积公式即可计算结果，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键，
【详解】解：∵，是的角平分线，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵为的中点，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，连接，垂足为C，且，E是边上一动点，连接，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，勾股定理、角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．由勾股定理求出，由三角形的内角和定理和角的和差求出，角平分线的性质定理得，证明，则，垂线段定义证明最短，求出长的最小值为3，最大值为5．
【详解】解：过点作交于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
，，
∴，
∴是的角平分线，
∴,
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴点是直线外一点，
∴当点在上运动时，点运动到与点重合时最短，其长度为长等于3，
即长的最小值为3．点运动到与点A重合时最长，其长度为长等于5，
即长的最大值为5．即．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 列不等式：x的2倍与3的差不大于2．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可．
【详解】解：由题意，得：．
15. 已知点与点关于原点成中心对称，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴．
16. 已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，先根据一元一次不等式的定义，得，先求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可．
【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：，
∴．
∴原不等式化为：，
解得．
17. 如图，在直角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作垂线、含30度的直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题关键．根据含30度的直角三角形的性质可得作边上的高线即可解答．
【详解】解：如图，点即为所求．
18. 如图，在中，，将 绕点A逆时针旋转得到，点C旋转后的对应点为点，连接求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，先根据旋转性质得出再根据勾股定理列式，进行计算即可作答．
【详解】解：由旋转得
∴，
∴的长是．
19. 用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”
已知：，，是的内角．
求证：，，中至少有一个内角小于或等于．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于，
，
这与三角形的三内角和为相矛盾．
假设不成立，
三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
20. 如图，，，，，垂足分别为C，F．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质；证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
即；
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
21. 解不等式组 ，并在数轴上表示出它的解集．
【答案】，数轴见解析．
【解析】
【分析】本题考查不等式组的解法，分别解不等式①、②，求其公共部分，然后在数轴上表示即可．
详解】解不等式①得,
解不等式②得,
∴原不等式组的解集为,
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
22. 如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．
求证：OE=OF ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由题意根据HL定理可以证得RT△ABF≌RT△DCE，从而有∠AFE=∠DEF，最后即可得到OE=OF．
【详解】解：∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∴在RT△ABF和RT△DCE中，，
∴RT△ABF≌RT△DCE（HL），
∴∠AFE=∠DEF，
∴OE=OF．
【点睛】本题考查直角三角形与等腰三角形的综合运用，熟练掌握HL定理及等角对等边定理是解题关键．
23. 如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平移的性质可以知，然后根据三角形内角和定理，在中求得；
（2）因为在四边形中，、分别平移到和的位置，所以有，，，就可求得的值，根据勾股定理可得的值．
【小问1详解】
证明：由平移的性质得，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
解:由平移的性质得：，，，
∴，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，掌握平移的性质是解题的关键．
24. 如图，在中，，过点A作的平行线交的平分线于点D，连接．
（1）求证：等腰三角形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分别求出，
，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
小问2详解】
解：∵，由（1）知，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
25. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程．现该校需要购进一批篮球和足球，已知篮球的单价比足球的单价多60元，购买2个篮球的费用与购买3个足球的费用相等．
（1）求篮球和足球的单价．
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于35个，且总费用不超过9500元，那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价为180元，足球的单价为120元；
（2）共有以下四种购买方案：①篮球35个，足球25个；②篮球36个，足球24个；③篮球37个，足球23个；④篮球38个，足球22个．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，找到数量关系是解题的关键．
（1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据购买2个篮球的费用与购买3个足球的费用相等列出方程求解即可；
（2）设采购篮球个，则采购足球个，根据篮球不少于35个，且总费用不超过9500元，列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元．
由题意可得，解得，
∴．
答：篮球的单价为180元，足球的单价为120元．
【小问2详解】
解：设采购篮球个，则采购足球个．
由题意可得，
解得，
∵为整数，
∴的值为，，，，
∴共有以下四种购买方案：
①篮球个，足球个；
②篮球个，足球个；
③篮球个，足球个；
④篮球个，足球个．
26. 综合与实践
如图，已知，平分，于点F，，．
（1）求的长．
（2）若P为射线上的动点，连接，，当是等腰三角形时，求此时的长．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）过C作于E，由角平分线性质定理得；再由等腰直角三角形的判定、含30度直角三角形性质及勾股定理求得，则由即可求解；
（2）分三种情况：时，此时点P的位置有两个；当时；当时；当及的情况不存在．
【小问1详解】
解：过C作于E，
∵平分，，，
∴，；
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴；
【小问2详解】
解：当点P在线段上，且时，如图，
由（1）知，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
当点P与关于对称时，则，
∴，此时也是等腰三角形，
∴；
当及的情况不存在；
综上，当是等腰三角形时，或．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质及勾股定理，注意分类讨论．