2024年陕西省西安市湖滨中中考四模数学试题（原卷版+解析版）

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时间：110分钟 分值：120分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数乘法计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
2. 如图所示的几何体的从左面看到的图形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】从左面看是两个矩形，从而可确定答案．
【详解】从左面看是两个矩形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键．
3. 计算的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘以多项式．熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键．
根据单项式乘以多项式求解作答即可．
【详解】解：，
故选：B．
4. 如图，，平分，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义和已知条件得到，据此证明，得到，再由即可求出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5. 设正比例函数的图象经过点，且的值随x值的增大而减小，则（ ）
A. 2B. -2C. 4D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】先把点代入得，解得m=，再根据正比例函数的增减性判断m的值．
【详解】把点代入得：，
解得：m=，
∵的值随x值的增大而减小，
∴m<0，
∴m=-2．
故选：B．
【点睛】考点：正比例函数的性质．
6. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为，则的值为（ ）
A. 24B. 18C. 17D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，由图可得，的边长为，由，，可得；然后计算，再分别算出、的面积，即可解答．
详解】解：如图，
设正方形边长为x，
∵和都为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即，
同理可得：，
∴，
又，
∴，
∴，
∴的面积为；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴的边长为，
∴的面积为，
∴．
故选C．
7. 要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，再作弦的垂直平分线交于点，交圆弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径，若测得，，则轮子的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．由垂径定理，可得出的长，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径．
【详解】解：设圆心为O，连接．
在中，，
根据勾股定理得：，即：，
解得：；
∴轮子的半径为，
故选：B．
8. 将抛物线先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度，平移后的抛物线与轴交于两点，顶点是点，连接，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求角的正弦值，勾股定理，求二次函数与x轴的交点坐标等等，先把原二次函数解析式化为顶点式，进而求出平移后的解析式，进一步求出A、C的坐标，过点C作轴于D，得到的长，进而求出的长，再由正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵原抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴，
令，解得或，
∴，
如图所示，过点C作轴于D，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分15分）
9. 实数在数轴的位置如图所示，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，根据数轴得到，据此化简绝对值即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，裙长为米，圆心角，则长度为______．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∵裙长为米，
∴米，
∴（米），
故答案为：米．
11. 一个角的余角是，则这个角的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了余角的概念，解题的关键是熟练掌握余角的概念．余角：如果两个角相加等于90°，那么这两个角互为余角．根据余角的概念求解即可．
【详解】解：一个角的余角是
∴这个角的度数为：，
故答案为：．
12. 如图，直线AB交双曲线于Ａ、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA，若OM=2MC，S⊿OAC=12，则k的值为_______．

【答案】8
【解析】
【详解】解：过A作AN⊥OC于N，
∵BM⊥OC
∴AN∥BM，
∵，B为AC中点，
∴MN=MC，
∵OM=2MC，
∴ON=MN=CM，
设A的坐标是（a，b），
则B（2a，b），
∵S△OAC=12．
∴•3a•b=12，
∴ab=8，
∵B在y=上，
∴k=2a•b=ab=8，
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
13. 如图，在边长为的等边中，动点D，E分别在，边上，且保持，连接，，相交于点P，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】易证，可得，根据，，，即可求得，推出，推出点P的运动轨迹是，，连接，求出，，再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴点P的运动轨迹是，，连接CO，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PC的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（满分81分）
14. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，特殊角三角函数，二次根式，绝对值的化简，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数，绝对值的化简是解题的关键．利用零指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的运算，绝对值的化简计算即可．
【详解】解：
15. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
17. 如图，中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，相似三角形的判定，过点C作于P，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，过点C作于P，点P即为所求；
易证明，则．
18. 如图，在中，E，F是对角线上两点，且满足，连接． 求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证，掌握平行线的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴．
19. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请求出获利最大的购货方案．
【答案】（1）甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
（2）甲种商品购进66件，乙种商品购进94件时，获利最大
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件，根据总利润甲的单价利润甲的销售量乙的单价利润乙的销售量列出方程求解即可；
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件，根据投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得： ．
解得：．
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．
【小问2详解】
解：设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件．
根据题意得 ，
解不等式组，得．
∵a为非负整数，
∴a取66，67，
当时，，此时获利元；
当时，，此时获利元；
∵，
∴甲种商品购进66件，乙种商品购进94件时，获利最大．
20. 某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）
（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为多少；
（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．
【答案】（1）享受9折优惠的概率为；（2）顾客享受8折优惠的概率为．
【解析】
【分析】（1）由转动转盘甲共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】（1）若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，
∴享受9折优惠的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果，
所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受8折优惠的概率为=．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 学习了“利用相似三角形测高”这一知识后，小辰和小辉所在数学兴趣小组的同学们周末带着测量工具去测量法门寺合十舍利塔的高度，他们的测量方法如下：如图2，小辰在点C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行米到点E处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时小辉测得小辰眼睛到地面的距离米；然后小辰继续后退米到点G处，此时小辰眼睛的水平视线与舍利塔的顶端A所成的角度（即）是．已知点B，C，E，G在同一水平直线上，点D，F在同一水平直线上，且，，均垂直于，求合十舍利塔的高度．

【答案】合十舍利塔的高度为
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，根据已知条件推出，求得与的关系，再根据，构造关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：如图，延长相交于点H，连接，作，
由题意可知，，，
，均垂直于，
，
、都是等腰直角三角形，且均互相平行，
，，，，
根据光线反射原理可知，，
，
又，
，
，
即，
即，
又∵
，
，
解得．
故合十舍利塔的高度为．

22. 某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】 ①. （1）8， ②. 6和9；
（2）甲的成绩比较稳定；（3）变小
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案；
（3）根据方差公式进行求解即可．
【详解】解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；
在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9；
故答案为8，6和9；
（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5=8，
则甲的方差是： [（7-8）2+3（8-8）2+（9-8）2]=0.4，
乙的平均数是：（6+6+9+9+10）÷5=8，
则甲的方差是： [2（6-8）2+2（9-8）2+（10-8）2]=2.8，
所以甲的成绩比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
故答案为变小．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、中位数和众数．
23. 一个深为7米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中表示进水用时（单位：小时），表示水位高度（单位：米）．
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．
（1）请选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式．
（2）当水位高度达到6米时，求进水用时．
【答案】（1）
（2）当水位高度达到6米时，进水用时小时
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）观察表格可知，x每增加，y也对应增加，则y与x满足一次函数解析式，据此利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时，x的值即得到答案．
【小问1详解】
解：观察表格可知，x每增加，y也对应增加，
∴y与x满足一次函数解析式，
把代入中得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴当水位高度达到6米时，进水用时小时．
24. 如图，为的直径，点为圆周上一点，的延长线交的切线于点的延长线交的切线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
（1）利用 切线的性质定理和圆周角定理证明，由得到，又由即可得到结论；
（2）先求出，在中，，证明，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵
∴，
在中，，
由（1）得，，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 已知抛物线，与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）抛物线的表达式；
（2）若抛物线与抛物线关于直线对称，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），要使，求所有满足条件的抛物线的表达式．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）抛物线：与轴交于、两点，对称轴为直线，则点，即可求解；
（2），则点为或，对应抛物线的对称轴为：或，即可求解．
【小问1详解】
抛物线：与轴交于、两点，对称轴为直线，
∴点
∴抛物线的表达式为：
即，解得：
故抛物线表达式为：
【小问2详解】
，则点为或，对应抛物线的对称轴为：或
故抛物线的表达式为：或．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图像上点的坐标特征是解题的关键．
26. 问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）．
（2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明．
问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3），
【解析】
【分析】（1）先利用三角形外角的性质得出 再利用同弧所对的圆周角相等得出即可得出结论；
（2）先利用三角形外角的性质得出，再利用同弧所对的圆周角相等得出， 即可得出结论；
（3）如图3中, 当经过的与相切于时, 的值最大，作于, 交于, 连接.设 ，用两种方法求出，构建方程即可解决问题.
【详解】（1）如图,延长 交于, 连接,
是的外角，
，
，
，
故答案为:；
（2）画出图形如图所示，
证明: 连接,
是 的外角，
，
，
；
（3）如图中, 当经过的与相切于时, 的值最大，
作于, 交于,连接.
设，
，
，
，
，，
，
，
，
整理得：，
，
或 (舍弃),
，
，
，，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角的性质，解直角三角形，构造出直角三角形是解本题的关键.甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
命中环数
6
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
0
1
3
1
0
乙命中相应环数的次数
2
0
0
2
1
0
1
2
2
3