安徽省池州市贵池区2023_2024学年高一数学上学期期中教学质量检测试题含解析

这是一份安徽省池州市贵池区2023_2024学年高一数学上学期期中教学质量检测试题含解析，共16页。试卷主要包含了 下列函数中最小值为4的是， 若，则下列不等式一定成立的是， 下列命题为假命题的是， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集概念求解．
【详解】
故选：A
2. 命题“，有实数解”的否定形式是（）
A. ，无实数解B. ，有实数解
C. ，无实数解D. ，无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在性量词命题的否定，直接得出结果.
【详解】由题意知，命题“有实数解”的否定为
“无实数解”.
故选：D
3. 已知幂函数的图象经过，则（）
A. 是偶函数，且在上是增函数
B. 是偶函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，且在上是减函数
D. 是非奇非偶函数，且在上是增函数
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和幂函数的定义可得，结合幂函数的单调性和奇偶性即可求解.
【详解】设幂函数的解析式为，
则，解得，
所以，定义域为R，且，
所以函数为偶函数，在上单调递增.
故选：A.
4. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（）
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”，
但“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.
故选：D.
5. 下列函数中最小值为4的是（）
A. B. 当时，
C. 当时，D.
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD.
【详解】A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意；
B：当时，，当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为4，故B符合题意；
C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意；
D：，
当且仅当即时等号成立，但无解，故D不符合题意.
故选：B.
6. 若，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质应用作差法逐个判断即可.
【详解】对于A：，，A错误；
对于B：，
所以当时，当时，
当时，B错误；
对于C：，
所以，C正确；
对于D：，所以，D错误，
故选：C
7. 关于的不等式在上恒成立，则的最大值为（）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由不等式在上恒成立，可求出，再用不等式性质，用表示出，即可求解.
【详解】设，因为不等式在上恒成立，所以
令，则，
解得，所以，
故选：B.
8. 已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据函数的单调性可知函数在上单调递减，原不等式可转化为，解之即可.
【详解】由题意知，，
得，设，
则函数在上单调递减，且，
不等式等价于，
即，
所以，解得，
即原不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题（每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列命题为假命题的是（）
A. 命题“函数，是偶函数”
B. “，”是“”的充分必要条件
C. 二次函数的零点为和
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据奇偶函数的定义判断A；根据基本不等式的适用原则和举例说明即可判断B；根据零点的定义即可判断C；举例说明即可判断D.
【详解】A：函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A符合题意；
B：由基本不等式知当时，，当且仅当时等号成立.
当时，满足，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B符合题意；
C：由，得或3，
所以二次函数的零点为和，故C符合题意；
D：当时，满足，但不成立.
当时，满足，但不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D不符合题意.
故选：ABC.
10. 下列说法正确的有（）
A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数
B. 已知，则最小值为
C. 已知，则当时，单调递减
D. 与是同一函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据函数的定义判断是否为函数，然后根据不等式求出最值，对于绝对值不等式可以根据的取值去掉绝对值，最后判断是否为同一个函数先判断定义域，再判断函数的解析式即可.
【详解】对于A：需满足，即，
所以对，都有唯一确定的值与之对应，
所以可表示自变量为x，因变量为y的函数，A正确；
对于B：因为，所以，即的最小值为，B正确；
对于C：当时，
所以在区间不是单调递减，C错误；
对于D：与定义域相同，解析式也相同，所以同一函数，D正确，
故选：ABD
11. 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（）
A. 函数为偶函数B. 函数的图象关于对称
C. D. 函数的图象关于对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抽象函数的周期性、奇偶性和对称性，依次判断选项即可.
【详解】A：由函数为偶函数，得，
由，得，则，
所以函数的周期为4，由，
得，所以函数为偶函数，故A正确；
B：由函数为偶函数，得，
又，所以，
故函数的图象关于点对称，故B正确；
C：由知，又为偶函数，所以，
所以，得，故C正确；
D：由函数为偶函数，得，
函数的图象关于直线对称，故D错误.
故选：ABC.
12. 若关于的不等式的解集为，则的值可以是（）
A. B. C. 2D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以，故的值可以是和，
故选：BC
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分，其中16题第1空2分，第2空3分）
13. 已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据的定义域得到不等式，然后解不等式，得到定义域即可.
【详解】因为的定义域为，
所以需满足，解得，
故答案为：
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性先得到，再由定义域为求出，最后相加即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，
又因为定义域为，
所以，
所以，
故答案为：
15. 已知，若，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，设，求得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，且，可得，
则，
设，可得且，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
16. 设函数的定义域为，满足，当时，，则__________；若对任意，都有，则的最大值为__________.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】根据已知条件，可得，即可求得的值；同时根据已知条件可以依次得到，时对应函数的解析式，然后按照规律画出函数的图象，可根据不等式恒成立结合函数的图象即可求得的最大值.
【详解】因为，
所以.
同时由可得.
又当时，.
当时，，
.
当时，，
.
当时，
由，解得或.
当时，，
.
显然，当时，，如图：
对任意，都有，必有.
所以的最大值是.
故答案为：，.
四、解答题（共70分，）
17. 已知集合，；
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）因为所以很容易求出集合，又已知集合，利用集合的基本运算即可求出;
（2）本题考查的是集合的运算，，所以需要考虑和不为空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围．
试题解析：（1）
（2）
当时，
当时，
综上所述：
考点：集合的运算
【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数上所有点的集合．集合表示使函数解析式有意义的的取值范围，是定义域；所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义．
18. （1）已知，，且，证明：；
（2）若a，b，c是三角形的三边，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，则，结合基本不等式计算即可证明；
（2）利用作差法可得，同理可得，相加即可证明.
【详解】（1）证明：由，得，
所以，
当且仅当即，时等号成立，
所以；
（2）证明：由题意知，，且，
所以，
即.
同理可得，
所以，
即证.
19. 已知：实数满足，：实数满足（其中）.
（1）若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；
（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式后取并集即可，
（2）由充分不必要条件得推出关系后列式求解．
【小问1详解】
：实数满足，解得，
当时，：，解得，
∵p和q至少有一个为真，∴或，∴，
∴实数的取值范围为；
【小问2详解】
∵，由，解得，即：，
∵是的充分不必要条件，
∴（等号不同时取），∴，
20. 已知函数是定义域为上的奇函数，且.
（1）求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数；
（2）若实数满足，求实数的范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即有，解可得，设，由作差法分析可得答案；
（2）根据题意，原不等式变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【小问1详解】
根据题意，函数是定义域在上的奇函数，
则，即有，解可得，则，
则，则此时奇函数，
设，则，
又，，则，，则，
故在上是增函数.
【小问2详解】
根据题意，，即，
则有，解可得；
即的取值范围为．
21. 某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】21. ；
22. 当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640.
【解析】
【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可；
（2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知：；
【小问2详解】
根据（1）可知：
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
易知，
当时，，
当且仅当，即时取得等号，
综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640.
22. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，满足，且，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分段讨论x的取值范围，化简，分别解一元二次不等式，即可得答案；
（2）作出函数大致图象，结合图像确定的范围，讨论当，成立；时，转化为证明，则可构造函数，，利用其单调性证明结论.
【小问1详解】
由题意，，
①，不等式即，
，
②，不等式即，；
综上，.
【小问2详解】
函数大致图象如图，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
∴若，满足，则，
由图象知，
①若，则显然；
②若，要证明，则要证，
注意到，，且在递减，
则可证明，
∵，则可证明，
构造函数，，则，
，，
，∵，，，∴，
∴，∴在上单调递减，
∵，∴时，，即，
∴，从而得证．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于证明；解答时利用函数的图像确定的范围，再结合范围分类讨论。进而构造函数，利用函数的单调性解决问题.