2023-2024学年安徽省池州市贵池区高一上学期期中教学质量检测数学试卷(含解析 )

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这是一份2023-2024学年安徽省池州市贵池区高一上学期期中教学质量检测数学试卷(含解析 )，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A. {x|22.命题“∃a∈R，ax2+1=0有实数解”的否定形式是
( )
A. ∀a∈R，ax2+1≠0无实数解B. ∃a∈R，ax2+1≠0有实数解
C. ∃a∈R，ax2+1=0无实数解D. ∀a∈R，ax2+1=0无实数解
3.已知幂函数y=f(x)的图象经过( 2,2)，则f(x)( )
A. 是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数
B. 是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数
C. 是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数
D. 是非奇非偶函数，且在(0,+∞)上是增函数
4.王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”。从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的( )
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
5.下列函数中最小值为4的是
( )
A. y=4x+1xB. 当x>0时，y=x+4x
C. 当x<32时，y=2x-1+12x-3D. y= x2+5+4 x2+5
6.若a>b>0，则下列不等式一定成立的是
( )
A. ba>b+1a+1B. a+1a>b+1bC. b+baa+2b2a+b
7.关于x的不等式4a-3x+b-2a≤2在0,1上恒成立，则a+b的最大值为
( )
A. 215B. 174C. 4D. 133
8.已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[0,+∞)，当x1f(x2)+ x1恒成立，若f(16)=16，则不等式f(2x)< 2x+12的解集为
( )
A. [0,4)B. [0,16)C. (16,+∞)D. (8,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题为假命题的是( )
A. 命题“函数f(x)=x2，x∈(-2,2]是偶函数”
B. “x>0,y>0”是“x+y2≥ xy”的充分必要条件
C. 二次函数y=x2-x-6的零点为-2,0和3,0
D. “a2>b2”是“a>b”的既不充分也不必要条件
10.下列说法正确的有( )
A. 式子y= x-2+ 3-x可表示自变量为x、因变量为y的函数
B. 已知x2+y2=4，则xy的最小值为-2
C. 已知f(x)=x-1-x，则当x∈(-∞,0)时，f(x)单调递减
D. fx=x2-2x与gt=t2-2t是同一函数
11.已知定义在R上的函数fx满足fx+2+fx=0，且y=f2-x为偶函数，则下列说法一定正确的是
( )
A. 函数f(x)为偶函数B. 函数f(x)的图象关于(1,0)对称
C. f(1)=0D. 函数f(x)的图象关于x=1对称
12.若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为x-1≤x≤3，则3a+b+2c的值可以是
( )
A. 12B. 32C. 2D. 1
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数f(x)的定义域为[1,5]，则f( x+1)的定义域为__________ ．
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(-∞,0)时，f(x)=3x+1，则f(3)+f(0)=_________．
15.已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则x+2y的最小值为____________．
16.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x(1-x)，则f(32)= ；若对任意x∈(-∞,m)，都有f(x)≤34，则m的最大值为．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|2a-1≤x≤a+1}．
(1)若a=-2，求A∪B;
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围．
18.(本小题12.0分)
(1)已知a>0,b>0，且a-b=2，证明：a+4b+1≥5；
(2)若a，b，c是三角形的三边，证明：ab+c+ba+c+ca+b<2．
19.(本小题12.0分)
已知p：实数x满足x2-10x+16≤0，q：实数x满足x2-4mx+3m2≤0(其中m>0).
(1)若m=1，且p和q至少有一个为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
20.(本小题12.0分)
已知函数fx=ax+b4+x2是定义域为-2,2上的奇函数，且a>0．
(1)求b的值，并用定义证明：函数fx在-2,2上是增函数；
(2)若实数t满足f2t-1+ft-1<0，求实数t的范围．
21.(本小题12.0分)
某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量Y(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：Y(x)=4(x2+2),0≤x≤250x1+x,2(1)写单株利润f(x)(元)关于施用肥料x(千克)的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12.0分)
已知函数f(x)=xx,x∈(-∞,1]3+2x-2,x∈(1,2)
(1)解不等式f( 1-x2)+2f(x)<0；
(2)若x1,x2∈(-∞,2)满足f(x1)=f(x2),且x1≠x2,求证：x1+x2<2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了交集的定义及运算，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|2∴A∩B={x|2故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查存在量词的题的否定，比较基础．
根据存在量词命题的否定即可得到结论．
【解答】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以“∃a∈R，ax2+1=0有实数解”的否定是“∀a∈R，ax2+1=0无实数解 ”．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题．
设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可．
【解答】
解：设幂函数的解析式为：y=xα，将( 2,2)代入解析式得：
( 2)α=2，解得α=2，
∴y=x2，
则y=f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了充分，必要条件的定义，属于基础题．
根据充分，必要条件的定义以及题意判断“有志”与“能至”的关系，由此即可判断．
【解答】解：由题意可得“有志”不一定“能至”，
但是“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要不充分条件，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质以及特殊值法的应用，属于中档题．
由x<0可判断A，由基本不等式可判断BD，由特殊值可判断C．
【解答】解：A：y=4x+1x，当x<0时，y=4x+1x<0，故A不正确;
B：当x>0时，y=x+4x≥2 4=4，当且仅当x=4x，即x=2时取等号，∴y的最小值为4，∴B正确;
C：当x=0时，y=-43，故C错误；
D：∵y= x2+5+4 x2+5≥2 4=4，当且仅当 x2+5=4 x2+5，
即x2=-1时取等号，∴x不存在，∴D错误，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了不等式性质，比较大小，属于基础题．
结合不等式性质对每个选项分析即可得到答案．
【解答】解：由题意，a>b>0，
则ba-b+1a+1=ba+1-ab+1aa+1=ab+b-ab-aaa+1=b-aaa+1<0，故A错误；
取a=12，b=13，则a+1a=12+2=52，b+1b=13+3=103，此时a+1a因为a>b>0，则ab>ba>0，故a+ab>b+ba，故C正确；
取a=1，b=12，可得a+2b2a+b=1+12+12=45，ba=121=12，此时a+2b2a+b>ba，故D错误．
故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题及求最值问题及不等式的性质，属于中档题．
设f(x)=(4a-3)x+b-2a-2，由已知可得b-2a≤22a+b≤5，再令a+b=m(b-2a)+n(2a+b)，易得m=14，n=34，即可求解a+b的最大值．
【解答】
解：设f(x)=(4a-3)x+b-2a-2，
因为不等式(4a-3)x+b-2a≤2在[0,1]上恒成立，
所以f(0)≤0f(1)≤0⇒b-2a≤22a+b≤5，
令a+b=m(b-2a)+n(2a+b)=(2n-2m)a+(m+n)b，
则2n-2m=1m+n=1，
解得m=14，n=34，
所以a+b=14(b-2a)+34(2a+b)≤14×2+34×5=174，
故选：B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的单调性判断以及应用，属于中档题．
根据题意，设g(x)=f(x)- x，，分析可得g(x)在[0,+∞)上单调递减，则原不等式变形可得g(2x)【解答】
解：依题意对任意x1,x2∈[0,+∞)，当x1f(x2)+ x1恒成立，
即对任意x1，x2∈[0,+∞)，当x1f(x2)- x2恒成立，
设函数g(x)=f(x)- x，可得，g(x)在[0,+∞)上单调递减，
因为f(16)=16，所以f(2x)< 2x+12等价于g(2x)则2x>16，即x>8．
故选D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查判断命题的真假，涉及偶函数、充分、必要条件的判断和函数的零点，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A是假命题；
对于B、当x=y=0时，x+y2⩾ xy也成立，故B是假命题；
对于C、二次函数y=x2-x-6的零点为-2 和3，故C是假命题；
对于D、由a2>b2推不出a>b，如a=-2，b=1，
反之，由a>b也推不出a2>b2，如a=1，b=-1，
故“a2>b2”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故 D是真命题
10.【答案】ABD
【解析】【分析】本题主要考查的是函数的概念，利用不等式性质求取值范围，函数的单调性，判断两个函数是否为同一函数，属于中档题．
利用函数的概念判断A，利用不等式的性质求范围判断B，利用函数的单调性判断C，利用相等函数的概念判断D．
【解答】解：对于A，显然对于任意x，都有唯一的，确定的y与之对应，故式子y= x-2+ 3-x可表示自变量为x、因变量为y的函数， A正确；
对于B，由x+y2=x2+y2+2xy⩾0，则xy⩾-x2+y22=-2，
当且仅当x=-y，即x= 2，y=- 2或y= 2，x=- 2时，等号成立．
故xy的最小值为-2，B正确；
对于C，当x∈(-∞,0)时，则f(x)=|x-1|-|x|=1-x--x=1，为常函数，C错误；
对于D，f(x)与g(t)的定义域为R，且解析式相同，则fx=x2-2x与gt=t2-2t是同一函数， D正确．
故选ABD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题．
根据题意结合函数性质，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：由f(x+2)+f(x)=0得f(x+4)+f(x+2)=0，
所以f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的一个周期为4，
由y=f(2-x)是偶函数得f(2-x)=f(2+x)，
所以函数f(x)关于x=2对称，
由f(x+2)+f(x)=0得f(2-x)+f(x)=0，
所以函数f(x)关于(1,0)对称，B正确，D错误;
由f(2-x)=f(2+x)得f(-x)= f(4+x)=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，A正确;
由fx+2+fx=0，令x=-1得f(1)+f(-1)=0，
又f(-1)=f(1)，所以f(1)=0，故C正确，
故选ABC．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解集与对应二次方程根的关系，属于中档题．
由题意二次方程ax2+bx+c=2的两根为-1，3，且ax2+bx+c=0(a>0)的Δ≤0，求得a，b，c的关系式，代入得解．
【解答】
解：因为关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为x-1≤x≤3，
所以二次方程ax2+bx+c=2的两根为-1，3，且ax2+bx+c=0(a>0)的Δ≤0，
由根与系数的关系可知-1+3=-ba-1×3=c-2a⇒b=-2a,c=2-3a
Δ=b2-4ac=(-2a)2-4a(2-3a)≤0⇒0结合选项，3a+b+2c的值可以是32和2．
故选BC．
13.【答案】0,16
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的定义域，属于基础题．
根据题意得出1≤ x+1≤5，且x⩾0，由此即可求出结果．
【解答】
解：∵函数f(x)的定义域为[1,5]，
则对于函数f( x+1)，
应有1≤ x+1≤5，且x⩾0，解得0≤x≤16，
所以f( x+1)的定义域为0,16．
故答案为0,16．
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
根据题意，求出f(-3)的值，利用函数的奇偶性求出f(3)、f(0)的值，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，当x∈(-∞,0)时，f(x)=3x+1，
则f(-3)=-9+1=-8，
又由f(x)为奇函数，
则f(3)=-f(-3)=8，f(0)=0，
故f(3)+f(0)=8．
故答案为8．
15.【答案】6 2-5
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题．
由2x+y+xy=7⇒(x+1)(y+2)=9，得出x+2y=x+1+2(y+2)-5，利用基本不等式，即可求出结果．
【解答】
解：因为x,y∈R+，2x+y+xy=7⇒(x+1)(y+2)=9，
x+2y=x+1+2(y+2)-5≥2 2×(x+1)(y+2)-5=6 2-5，
当且仅当x+1=2(y+2)，即x=3 2-1，y=3 22-2时取“=”，
所以x+2y的最小值为6 2-5．
故答案为6 2-5．
16.【答案】12
94

【解析】【分析】
本题考查求函数值、画具体函数图象、求具体函数的解析式，属于较难题．
根据已知条件，可得f(32)=f(12+1)=2f(12)，即可求得f(32)的值;同时根据已知条件可以依次得到x∈(1,2]，x∈(2,3]x∈[-1,0)时对应函数的解析式，然后按照规律画出函数的图象，可根据不等式恒成立结合函数的图象即可求得m的最大值．
【解答】
解：因为f(x+1)=2f(x)，
所以f(32)=f(12+1)=2f(12)=2×12×(1-12)=12，
同时由f(x+1)=2f(x)可得f(x)=2f(x-1)，
又当x∈[0,1]时，f(x)=x(1-x)=-(x-12)2+14∈[0,14]，
当x∈(1,2]时，x-1∈(0,1]，
f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(2-x)=-2(x-32)2+12∈[0,12]，
当x∈(2,3]时，x-1∈(1,2]，
f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(3-x)=-4(x-52)2+1∈[0,1]，
当x∈(2,3]时，由f(x)=34，解得x=94或x=114，
当x∈[-1,0)时，x+1∈[0,1)，
f(x)=12f(x+1)=-12x(x+1)=-12(x+12)2+18∈[0,18]，
显然，当x≤0时，f(x)≤18<34，如图：
对任意x∈(-∞,m]，都有f(x)≤34，必有m≤94，
所以m的最大值是94．
故答案为12；94．
17.【答案】解：(1)∵a=-2，
∴B=[-5,-1]，
∴A∪B=[-5,6]．
(2)∵A∩B=B，
∴B⊆A，
当B=⌀时，2a-1>a+1，∴a>2；
当B≠⌀时，2a-1⩽a+1,2a-1⩾-3,a+1⩽6,
∴-1≤a≤2，
综上所述：a≥-1．
【解析】本题考查集合的并集运算，考查了集合关系中的参数取值问题．
(1)a=-2时，可求出B=[-5,-1]，然后进行并集运算即可；
(2)根据A∩B=B可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B=⌀时，2a-1>a+1；B≠⌀时，2a-1≤a+12a-1≥-3a+1≤6，解出a的范围即可．
18.【答案】(1)证明：因为a-b=2，则a=b+2，
所以a+4b+1=b+2+4b+1=b+1+4b+1+1⩾2 b+1·4b+1+1=4+1=5，
当且仅当b+1=4b+1，即a=3，b=1时，取等号，
所以a+4b+1⩾5成立；
(2)证明：∵a，b，c是三角形的三边，∴a>0，b>0，c>0，a+b>c．
∴a+b-c>0．∴c(a+b-c)>0．
∴c(a+b-c)+ac+bc-ac-bc>0．
∴2c(a+b)-c(a+b+c)>0．∴2c(a+b)>c(a+b+c)．
∴2ca+b+c>ca+b．
同理可得2ba+b+c>ba+c，2aa+b+c>ab+c．
将三个不等式相加，得
2ca+b+c+2ba+b+c+2aa+b+c>ca+b+ba+c+ab+c．
∴2(a+b+c)a+b+c>ca+b+ba+c+ab+c．
∴ca+b+ba+c+ab+c<2．
【解析】(1)本题考查不等式的证明，属于中档题．
利用基本不等式求最值进行证明即可；
(2)本题考查不等式的证明，属于中档题．
根据三角形两边之和大于第三边，再结合不等式的性质进行证明即可；
19.【答案】解：(1)当m=1时，解不等式x2-4x+3≤0，得1≤x≤3，则命题q:1≤x≤3，
解不等式x2-10x+16≤0，得2≤x≤8，则命题p:2≤x≤8，
因为p和q至少有一个为真，于是1≤x≤3或2≤x≤8，即1≤x≤8，所以实数x的取值范围是[1,8]．
(2)由(1)知，命题p:2≤x≤8，
因为m>0，由x2-4mx+3m2≤0解得：m≤x≤3m，即命题q:m≤x≤3m，
因为q是p的充分不必要条件，
因此[m,3m]⫋[2,8]，即m≥23m<8或m>23m≤8，解得2≤m<83或2【解析】本题考查了复合命题的真假，考查了充分必要条件，属于中档题．
(1)将代入，求出关于p，q的范围，从而求出p和q至少有一个为真的范围；
(2)由题意，q是p的充分不必要条件，可得不等式组，解出即可．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=ax+b4+x2是定义域为(-2,2)上的奇函数，
∴f(0)=b4=0，则b=0，
∴f(x)=ax4+x2，a>0，
任取x1，x2∈(-2,2)，且x1∴f(x1)-f(x2)=ax14+x12-ax24+x22
=a(4x1+x1x22-4x2-x2x12)(4+x12)(4+x22)=a(x1-x2)(4-x1x2)(4+x12)(4+x22)，
∵a>0，-2∴x1-x2<0，4-x1x2>0，4+x12>0，4+x22>0，
∴f(x1)∴函数f(x)在(-2,2)上是增函数．
(2)∵f(2t-1)+f(t-1)<0，则f(2t-1)<-f(t-1)，
∵函数f(x)是定义域为(-2,2)上的奇函数，且a>0．
∴f(2t-1)∵函数f(x)在(-2,2)上是增函数，
∴2t-1<1-t-2<2t-1<2-2<1-t<2，解得-12故实数t的范围是(-12,23).
【解析】本题考查函数单调性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．(1)由函数f(x)=ax+b4+x2是定义域为(-2,2)上的奇函数，求出b=0，从而f(x)=ax4+x2，利用定义法能证明函数f(x)在(-2,2)上是增函数；
(2)推导出f(2t-1)21.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=20Y(x)-15x-25x，
∵Y(x)=4(x2+2),0⩽x⩽250x1+x,2∴f(x)=80x2-40x+160,0≤x≤21000x1+x-40x,2(2)当时，f(x)=80x2-40x+160，开口向上，对称轴为x=14，
则f(x)在[0,14]上单调递减，在(14,2]上单调递增，
∴f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=400；
当时，
f(x)=1000x1+x-40x=1000-10001+x-40(x+1)+40⩽1000-2 10001+x·40(x+1)+40=640
当且仅当10001+x=40(1+x)时，即时等号成立．
因为400<640，所以当x=4时，f(x)max=640．
故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为640元．
【解析】本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用，属于中档题(1)用销售额减去成本投入得出利润f(x)的解析式；
(2)分段判断f(x)的单调性，利用基本不等式求出f(x)在2．
22.【答案】解：(1)由题意1-x2≥0，∴x∈-1,1，
①x∈-1,0，不等式f 1-x2+2fx<0即1-x2-2x2<0，
∴x∈-∞,- 33∪ 33,+∞，∴x∈-1,- 33
②x∈0,1，不等式f 1-x2+2fx<0即1-x2+2x2<0，∴x∈⌀；
综上，x∈-1,- 33．
(2)函数fx=xx,x∈-∞,13+2x-2,x∈1,2大致图象如图，
当x∈-∞,1时，函数单调递增，当x∈1,2时，函数单调递减，
∴若x1，x2∈-∞,2满足fx1=fx2，则x1<1由图象知，
①若x1≤0，则显然x1+x2<2；
②若x1>0，要证明x1+x2<2，则要证x2<2-x1，
注意到x2，2-x1>1，且fx在1,2递减，
则可证明fx2>f2-x1，
∵fx1=fx2，则可证明fx1>f2-x1，
构造函数Fx=fx-f2-x，x∈0,1，则Fx=x2-3-2x，
∀0=t1-t2t1+t2-2t1t2，∵t1+t2<2，t1t2<1，2t1t2>2，∴t1+t2-2t1t2<0，
∴Ft1-Ft2>0，∴Fx在0,1上单调递减，
∵F1=f1-f1=0，∴x∈0,1时，Fx>F1=0，即fx>f2-x，
∴fx2>f2-x1，从而x1+x2<2得证．

【解析】本题考查分段函数与不等式，函数图象的应用，函数的单调性，不等式的证明，属于中档题．
(1)分段讨论x的取值范围，化简f 1-x2+2fx<0，分别解一元二次不等式，即可得答案；
(2)作出函数fx=xx,x∈-∞,13+2x-2,x∈1,2大致图象，结合图像确定x1,x2的范围，讨论当x1≤0，x1+x2<2成立；x1>0时，转化为证明fx1>f2-x1，则可构造函数Fx=fx-f2-x，x∈0,1，利用其单调性证明结论．

2023-2024学年安徽省池州市贵池区高一上学期期中教学质量检测数学试卷(含解析 )

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