安徽省池州市贵池区2023_2024学年高一数学上学期期中教学质量检测试题含解析
展开这是一份安徽省池州市贵池区2023_2024学年高一数学上学期期中教学质量检测试题含解析,共16页。试卷主要包含了 下列函数中最小值为4的是, 若,则下列不等式一定成立的是, 下列命题为假命题的是, 下列说法正确的有等内容,欢迎下载使用。
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写,字体工整、笔迹清晰.
3.请按题号顺序在各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.保持答题卡卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第I卷(选择题)
一、单选题(每题5分,共40分)
1. 设集合,,则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集概念求解.
【详解】
故选:A
2. 命题“,有实数解”的否定形式是()
A. ,无实数解B. ,有实数解
C. ,无实数解D. ,无实数解
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在性量词命题的否定,直接得出结果.
【详解】由题意知,命题“有实数解”的否定为
“无实数解”.
故选:D
3. 已知幂函数的图象经过,则()
A. 是偶函数,且在上是增函数
B. 是偶函数,且在上是减函数
C. 是奇函数,且在上是减函数
D. 是非奇非偶函数,且在上是增函数
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和幂函数的定义可得,结合幂函数的单调性和奇偶性即可求解.
【详解】设幂函数的解析式为,
则,解得,
所以,定义域为R,且,
所以函数为偶函数,在上单调递增.
故选:A.
4. 王安石在《游褒禅山记》中说过一段话:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析,“有志”是“能至”的()
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知,“有志”不一定“能至”,
但“能至”一定“有志”,
所以“有志”是“能至”的必要不充分条件.
故选:D.
5. 下列函数中最小值为4的是()
A. B. 当时,
C. 当时,D.
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明,即可判断AC;根据基本不等式计算即可判断BD.
【详解】A:当时,,所以的最小值不为4,故A不符合题意;
B:当时,,当且仅当即时,等号成立,
所以的最小值为4,故B符合题意;
C:当时,,所以的最小值不为4,故C不符合题意;
D:,
当且仅当即时等号成立,但无解,故D不符合题意.
故选:B.
6. 若,则下列不等式一定成立的是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质应用作差法逐个判断即可.
【详解】对于A:,,A错误;
对于B:,
所以当时,当时,
当时,B错误;
对于C:,
所以,C正确;
对于D:,所以,D错误,
故选:C
7. 关于的不等式在上恒成立,则的最大值为()
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由不等式在上恒成立,可求出,再用不等式性质,用表示出,即可求解.
【详解】设,因为不等式在上恒成立,所以
令,则,
解得,所以,
故选:B.
8. 已知函数满足对任意,当时,恒成立,若,则不等式的解集为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设,根据函数的单调性可知函数在上单调递减,原不等式可转化为,解之即可.
【详解】由题意知,,
得,设,
则函数在上单调递减,且,
不等式等价于,
即,
所以,解得,
即原不等式的解集为.
故选:D.
二、多选题(每题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9. 下列命题为假命题的是()
A. 命题“函数,是偶函数”
B. “,”是“”的充分必要条件
C. 二次函数的零点为和
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据奇偶函数的定义判断A;根据基本不等式的适用原则和举例说明即可判断B;根据零点的定义即可判断C;举例说明即可判断D.
【详解】A:函数的定义域为,不关于原点对称,所以函数不是偶函数,故A符合题意;
B:由基本不等式知当时,,当且仅当时等号成立.
当时,满足,
所以“”是“”的充分不必要条件,故B符合题意;
C:由,得或3,
所以二次函数的零点为和,故C符合题意;
D:当时,满足,但不成立.
当时,满足,但不成立,
所以“”是“”的既不充分也不必要条件,故D不符合题意.
故选:ABC.
10. 下列说法正确的有()
A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数
B. 已知,则最小值为
C. 已知,则当时,单调递减
D. 与是同一函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据函数的定义判断是否为函数,然后根据不等式求出最值,对于绝对值不等式可以根据的取值去掉绝对值,最后判断是否为同一个函数先判断定义域,再判断函数的解析式即可.
【详解】对于A:需满足,即,
所以对,都有唯一确定的值与之对应,
所以可表示自变量为x,因变量为y的函数,A正确;
对于B:因为,所以,即的最小值为,B正确;
对于C:当时,
所以在区间不是单调递减,C错误;
对于D:与定义域相同,解析式也相同,所以同一函数,D正确,
故选:ABD
11. 已知定义在上的函数满足,且为偶函数,则下列说法一定正确的是()
A. 函数为偶函数B. 函数的图象关于对称
C. D. 函数的图象关于对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据抽象函数的周期性、奇偶性和对称性,依次判断选项即可.
【详解】A:由函数为偶函数,得,
由,得,则,
所以函数的周期为4,由,
得,所以函数为偶函数,故A正确;
B:由函数为偶函数,得,
又,所以,
故函数的图象关于点对称,故B正确;
C:由知,又为偶函数,所以,
所以,得,故C正确;
D:由函数为偶函数,得,
函数的图象关于直线对称,故D错误.
故选:ABC.
12. 若关于的不等式的解集为,则的值可以是()
A. B. C. 2D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴,然后根据端点得到两个等式和一个不等式,求出的取值范围,最后都表示成的形式即可.
【详解】因为不等式的解集为,
所以二次函数的对称轴为直线,
且需满足,即,解得,
所以,所以,
所以,故的值可以是和,
故选:BC
【点睛】关键点睛:一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题,求出对称轴和端点的值,继而用同一个变量来表示求解.
第II卷(非选择题)
三、填空题(每题5分,共20分,其中16题第1空2分,第2空3分)
13. 已知函数的定义域为,则的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据的定义域得到不等式,然后解不等式,得到定义域即可.
【详解】因为的定义域为,
所以需满足,解得,
故答案为:
14. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性先得到,再由定义域为求出,最后相加即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数,
所以,
又因为定义域为,
所以,
所以,
故答案为:
15. 已知,若,则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,化简得到,设,求得,结合基本不等式,即可求解.
【详解】由,且,可得,
则,
设,可得且,
可得,
当且仅当时,即时,等号成立,所以的最小值为.
故答案为:.
16. 设函数的定义域为,满足,当时,,则__________;若对任意,都有,则的最大值为__________.
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】根据已知条件,可得,即可求得的值;同时根据已知条件可以依次得到,时对应函数的解析式,然后按照规律画出函数的图象,可根据不等式恒成立结合函数的图象即可求得的最大值.
【详解】因为,
所以.
同时由可得.
又当时,.
当时,,
.
当时,,
.
当时,
由,解得或.
当时,,
.
显然,当时,,如图:
对任意,都有,必有.
所以的最大值是.
故答案为:,.
四、解答题(共70分,)
17. 已知集合,;
(1)若,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【详解】试题分析:(1)因为所以很容易求出集合,又已知集合,利用集合的基本运算即可求出;
(2)本题考查的是集合的运算,,所以需要考虑和不为空集两种情况,再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围.
试题解析:(1)
(2)
当时,
当时,
综上所述:
考点:集合的运算
【易错点睛】凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题,应注意对集合元素属性的识别,如集合是函数的值域,是数集,求出值域可以使之简化;集合是点集,表示函数上所有点的集合.集合表示使函数解析式有意义的的取值范围,是定义域;所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义.
18. (1)已知,,且,证明:;
(2)若a,b,c是三角形的三边,证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由题意可得,则,结合基本不等式计算即可证明;
(2)利用作差法可得,同理可得,相加即可证明.
【详解】(1)证明:由,得,
所以,
当且仅当即,时等号成立,
所以;
(2)证明:由题意知,,且,
所以,
即.
同理可得,
所以,
即证.
19. 已知:实数满足,:实数满足(其中).
(1)若,且和至少有一个为真,求实数的取值范围;
(2)若是充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)解不等式后取并集即可,
(2)由充分不必要条件得推出关系后列式求解.
【小问1详解】
:实数满足,解得,
当时,:,解得,
∵p和q至少有一个为真,∴或,∴,
∴实数的取值范围为;
【小问2详解】
∵,由,解得,即:,
∵是的充分不必要条件,
∴(等号不同时取),∴,
20. 已知函数是定义域为上的奇函数,且.
(1)求b的值,并用定义证明:函数在上是增函数;
(2)若实数满足,求实数的范围.
【答案】(1),证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意,由奇函数的定义可得,即有,解可得,设,由作差法分析可得答案;
(2)根据题意,原不等式变形可得,解可得的取值范围,即可得答案.
【小问1详解】
根据题意,函数是定义域在上的奇函数,
则,即有,解可得,则,
则,则此时奇函数,
设,则,
又,,则,,则,
故在上是增函数.
【小问2详解】
根据题意,,即,
则有,解可得;
即的取值范围为.
21. 某地区为积极推进生态文明建设,决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现:某珍惜果树的单株产量(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:,肥料成本投入为元,其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克,且销售畅通供不应求,记该水果单株利润为(单位:元)
(1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该水果单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】21. ;
22. 当施用肥料4千克时,单株利润取得最大值640.
【解析】
【分析】(1)利用条件用销售额减去成本表示利润即可;
(2)根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可.
【小问1详解】
由题意可知:;
【小问2详解】
根据(1)可知:
当时,,
即在上单调递减,在上单调递增,
易知,
当时,,
当且仅当,即时取得等号,
综上,当施用肥料千克时,单株利润取得最大值640.
22. 已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,满足,且,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)分段讨论x的取值范围,化简,分别解一元二次不等式,即可得答案;
(2)作出函数大致图象,结合图像确定的范围,讨论当,成立;时,转化为证明,则可构造函数,,利用其单调性证明结论.
【小问1详解】
由题意,,
①,不等式即,
,
②,不等式即,;
综上,.
【小问2详解】
函数大致图象如图,
当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,
∴若,满足,则,
由图象知,
①若,则显然;
②若,要证明,则要证,
注意到,,且在递减,
则可证明,
∵,则可证明,
构造函数,,则,
,,
,∵,,,∴,
∴,∴在上单调递减,
∵,∴时,,即,
∴,从而得证.
【点睛】难点点睛:解答本题的难点在于证明;解答时利用函数的图像确定的范围,再结合范围分类讨论。进而构造函数,利用函数的单调性解决问题.
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