2024年高考数学三轮复习考前回归课本基础知识公式汇编人教A版2019学案

这是一份2024年高考数学三轮复习考前回归课本基础知识公式汇编人教A版2019学案，共69页。
2024届高三三轮复习
考前回归课本高中数学基础知识公式汇编
（2024新结构、新高考）
第一板块 了解新旧教材的变化
第二板块 高中数学基础知识公式汇编
第一板块 了解新旧教材的变化（人教A版2019）
认真研究近几年全国统一考试新课标卷命题特点、规律与走向的基础上，结合新高考变化，稳中有变，导向正确。
“一核”是核心功能，即“立德树人、服务选才、引导教学”(为什么考)
“四层”为考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”(考什么)
“四翼”为考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”(怎么考)
第二板块高中数学基础知识公式汇编
（人教A版2019）
新时代高考命题改革理念
1.要把“立德树人”放在学科命题和教学的首位；
2.试题要具有时代性，紧密联系当前社会和科技发展；
3.理论联系实际，加强实践应用能力培养；
4.试题具有开放性，引导教学走向开放的思维；
5.加强思维能力考查，引导教学注重过程；
6.考查问题的本质，培养高层次的复杂能力；
7.注重考查基础，引导教学回归教材和课程；
8.命题改革创新，加强核心素养的养成。
复习阶段：
第一轮：系统复习 建构框架、梳理脉络、条分缕析、夯实双基
第二轮：专题复习 编织网络、正本清源、巩固完善、拓宽加深
第三轮：综合练习 查漏补缺、综合练习、形成能力、熟悉卷型
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第1讲 集合及其运算
1. 集合与元素
(1) 集合中元素的三个特性： 确定性 、 互异性 、 无序性 .
(2) 集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，或者a∈A，或者a∉A，二者必居其一．
(3) 常见集合的符号表示
2.集合间的基本关系
注：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有 2n 个子集， 2n－1 个真子集．
3. 集合的基本运算
4. 常见结论与等价关系
A∩B＝A⇔A⊆B； A∪B＝A⇔B⊆A；
(∁UA)∪A＝ U ; ∁U(∁UA)＝ A .
第2讲 充分条件、必要条件、充要条件
1. 充分、必要条件
(1) 对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条件；当它是假命题时，记作peq \(⇒,/)q，称p不是q的 充分 条件，q不是p的 必要 条件．
(2) ①若p⇒q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的 充分不必要 条件；
②若peq \(⇒,/)q，且q⇒p，则p是q的 必要不充分 条件；
③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的 充要 条件，记做p⇔q；
④若peq \(⇒,/)q，且qeq \(⇒,/)p，则p是q的 既不充分又不必要 条件．
(3) 证明“充要条件”应分为两个环节，一是充分性，二是必要性．应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．证明时要分清哪个是条件，哪个是结论．
2. 判断充分必要条件的常用方法
(1) 定义判断法：通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件．
(2) 集合判断法：建立命题p，q相应的集合，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：x∈A＝{x|p(x)}，q：x∈B＝{x|q(x)}，则：
①若A⊆B，则p是q的充分条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的充分不必要条件；
④若BA，则p是q的必要不充分条件；
⑤若A＝B，则p是q的充要条件；
⑥若AB且B A，则p是q的既不充分又不必要条件．
第3讲 全称量词和存在量词
1. 全称量词
我们把表示 全体 的量词称为全称量词．
对应日常语言中的“一切”“任意的”“所有的”“凡是”“任给”“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成“ ∀x∈M，p(x) ”．
2. 存在量词
我们把表示 部分 的量词称为存在量词．
对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等词，用符号“ ∃ ”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在实数x0∈M，使得p(x0)成立”简记成“ ∃x0∈M，p(x0) ”．
3. 命题的否定：“∀x∈M，p(x)”与“ ∃x∈M，綈p(x) ”互为否定．
4. 常见词语的否定
第4讲 不等式的性质、基本不等式
1. 两个实数比较大小的方法
(1) 作差法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＞0⇔a＞b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b＜0⇔a＜b.))
(2) 作商法：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，,\f(a,b)＝1⇔a＝ba∈R，b≠0，,\f(a,b)＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.))
2. 基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1) 基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 .
(2) 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab).基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3. 利用基本不等式求最值问题
若x>0，y>0，则：
(1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最小值 2eq \r(p) ；(简记：积定和最小)
(2) 如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最大值 eq \f(p2,4) .(简记：和定积最大)
4. 常用结论
若a，b∈R，则ab，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，eq \f(a2＋b2,2)的大小关系如何？当a，b＞0时，eq \r(,ab)，eq \f(a＋b,2)，eq \r(,\f(a2＋b2,2))的大小关系又是怎样的？
【解答】 因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(a2＋b2＋2ab,4)≥eq \f(2ab＋2ab,4)＝ab，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝eq \f(a2＋b2＋2ab,4)≤eq \f(2a2＋b2,4)＝eq \f(a2＋b2,2)，所以ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．同理，当a，b>0时，eq \r(,ab)≤ eq \f(a＋b,2)≤eq \r(,\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时，等号成立．
第5讲 一元二次不等式
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c0的解集为R的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ0时，幂函数的图象都过点__(0,0)__与 (1,1) ，且在(0，＋∞)上单调 递增 ；
(4) 当α0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值是M，最小值是m，令x0＝eq \f(p＋q,2)：
①若－eq \f(b,2a)≤p，则m＝f(p)，M＝f(q)；
②若p1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 没有意义 .
(2) 有理指数幂的运算性质：aras＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ arbr ，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3. 指数函数及其性质
(1) 概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2) 指数函数的图象与性质
4. 常用结论
(1) 指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2) 函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．
第11讲 对数与对数函数
1. 对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记做 lgaN＝b .其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，将lg10N记做lg N.
另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将lgeN记做ln N.
2. 对数的性质与运算性质
(1) 对数的性质：①algaN＝ N ；
②lgaab＝b(a>0且a≠1)．
(2) 对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝ lgaM＋lgaN ；
②lgaeq \f(M,N)＝ lgaM－lgaN ；
③lgaMn＝ nlgaM (n∈R)；
④lgamMn＝eq \f(n,m)lgaM(m，n∈R且m≠0)．
3. 换底公式及其两个重要结论
(1) 换底公式： lgbN＝eq \f(lgaN,lgab) (a，b均大于零且不等于1)．
(2) 两个重要结论：
①lgab＝eq \f(1,lgba)；②＝eq \f(n,m)lgab，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.
4. 对数函数及其性质
(1) 概念：函数y＝lgax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2) 对数函数的图象与性质
5. 常用结论
(1) 对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．
(2) 函数y＝lgax与y＝lgeq \s\d7(\f(1,a))x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3) 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
第12讲 函数的图象
1. 作函数图象的两种方法：
(1) 描点法：① 列表 ；② 描点 ；
③ 连点成线 .
运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．
(2) 图象变换法：包括 平移 变换、 伸缩 变换、 对称 变换．
2. 利用图象变换法作函数的图象
(1) 平移变换
(2) 对称变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝ －f(x) 的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝ f(－x) 的图象；
y＝f(x)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝ －f(－x) 的图象；
y＝ax(a>0且a≠1)的图象eq \(――――――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝ lgax (a>0且a≠1)的图象．
(3) 伸缩变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――――→,\s\up12(各点纵坐标不变、横坐标),\s\d4(变为原来的\f(1,a)a>0倍))y＝f(ax)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――――→,\s\up12(各点横坐标不变、纵坐标),\s\d4(变为原来的AA>0倍))y＝Af(x)的图象．
(4) 翻折变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――――→,\s\up12(x轴下方部分翻折到x轴上方),\s\d4(x轴及上方部分不变))y＝ |f(x)| 的图象；
y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――――――――→,\s\up12(y轴右侧部分翻折到y轴左侧),\s\d4(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝ f(|x|) 的图象．
3. 常用结论
(1) 函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②f(a＋x)＝f(a－x) ⇔f(x)＝f(2a－x) ⇔f(－x)＝f(2a＋x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2) 函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
②f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔f(x)＝－f(2a－x) ⇔f(－x)＝－f(2a＋x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
③f(a＋x)＝2b－f(a－x) ⇔f(x)＝2b－f(2a－x) ⇔函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3) 两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
③函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)中心对称．
第13讲 函数与方程
1. 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的 实数根 ，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的 横坐标 ，所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图象与x轴有 交点 ，也等价于方程f(x)＝0有 实数根 .
2. 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且有 f(a)·f(b) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) < 0，则f(x)为减函数．
2. 求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1) 确定f(x)的 定义域 ；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 令f′(x) > 0(或f′(x) < 0)，解出相应的x的取值范围；
(4) 当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 f′(x)0(或f′(x)x0有f′(x)____0，那么f(x0)是极小值．
2. 求可导函数f(x)极值的步骤
(1) 求导数f′(x) ；
(2) 求方程f′(x)＝0的根 ；
(3) 检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 极小值 .
3. 函数的最值的概念
设函数y＝f(x)在 [a，b] 上连续，在(a，b)_内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
4. 求函数最值的步骤
设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：
(1) 求f(x)在(a，b)内的极值；
(2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5. 常用结论
(1) 极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a，b]的整体而言；
(2) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；
(3) 函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
(4) 对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
第17讲 导数的综合应用
1. 利用导数证明不等式
(1) 构造法：证明f(x)0，且a，c为常数：
(1) 若 a>c ，则集合P为椭圆；
(2) 若 a＝c ，则集合P为线段；
(3) 若 a0时，直线与椭圆有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)，则弦长为|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(y1＋y22－4y1y2)， k为直线的斜率且k≠0.
当A，B两点坐标易求时也可直接用两点间距离公式|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)求出．
4. 常用结论
(1) 中点弦所在直线的斜率：椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的弦的中点坐标为P(x0，y0)(y0≠0)，则过点P的弦所在直线的斜率为k＝－eq \f(b2x0,a2y0)，其中k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
(2) 焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中垂直于长轴的焦点弦最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
(3) 焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫作焦点三角形，若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，且最大值为bc.
第42讲 双曲线
1. 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做 双曲线的焦距 .
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1) 当 2a2c 时，点P不存在．
2. 双曲线的标准方程和几何性质
3. 几个常用结论
(1) 如图(1)，过焦点F1的弦AB与双曲线交于同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.

图(1) 图(2)
(2) 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a).
(3) 如图(2)，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan\f(θ,2)).
(4) 焦点到渐近线的距离为b.
(5) 设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f(b2,a2).
(6) 利用待定系数法求双曲线标准方程的常用方法：
①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)或mx2＋ny2＝1(mn＜0).
第43讲 抛物线
1. 抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的__焦点__，直线l叫做抛物线的 准线 .
2. 抛物线的标准方程与几何性质
3. 几个常用结论
(1) 抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
(2) 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．
③以弦AB为直径的圆与准线相切．
④过焦点且垂直于对称轴的弦的长为2p.
⑤eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
第44讲 圆锥曲线中的几个常用二级结论
焦点三角形的面积公式
(1) 已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝b2taneq \f(θ,2).
(2) 已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝θ，则其焦点三角形的面积为S△F1PF2＝eq \f(b2, tan\f(θ,2)).
两直线斜率的乘积为e2－1
平面内与两定点A1(－a,0)，A2(a,0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点．当e2－1>1时，轨迹为双曲线，当e2－1∈(－1,0)时，轨迹为椭圆．
1. 椭圆方程中有关e2－1＝－eq \f(b2,a2)的结论：
(1) 已知AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq \f(b2,a2)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
(2) 已知椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝－eq \f(b2,a2).
2. 双曲线方程中有关e2－1＝eq \f(b2,a2)的结论：
(1) 已知AB是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝eq \f(b2,a2)，即kAB＝eq \f(b2x0,a2y0).
(2) 已知双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则kPA·kPB＝eq \f(b2,a2).
椭圆、双曲线共焦点
已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则eq \f(sin2\f(θ,2),e\\al(2,1))＋eq \f(cs2\f(θ,2),e\\al(2,2))＝1.
焦点弦问题
若焦点弦被焦点分成两部分m，n，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(2a,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(抛物线中为\f(1,m)＋\f(1,n)＝\f(2,p))).
第九章 统计
第45讲 随机抽样的方法、用样本估计总体
1. 简单随机抽样
(1) 简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样．
(2) 简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
2. 总体平均数与样本平均数
3. 分层随机抽样
(1) 分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2) 分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq \x\t(x)，eq \x\t(y)，样本平均数为eq \x\t(w)，则eq \x\t(w)＝eq \f(M,M＋N)eq \x\t(x)＋eq \f(N,M＋N)eq \x\t(y)＝eq \f(m,m＋n)·eq \x\t(x)＋eq \f(n,m＋n)eq \x\t(y).我们可以用样本平均数eq \x\t(w)估计总体平均数eq \x\t(W).
4. 统计图表
常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等(见微专题)．
5. 百分位数
一般地，一组数据的第k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有 k% 的数据小于或等于pk，且至少有 (100－k)% 的数据大于或等于pk.如果将样本数据从小到大排列成一行，那么第k百分位数pk所处位置如图所示．
6. 平均数、中位数和众数
(1) 平均数：eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2) 中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最 中间 的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 平均数 (当数据个数是偶数时)．
(3) 众数：一组数据中出现次数 最多 的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
7. 标准差与方差
设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝eq \r(,\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2])，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
8. 分层抽样数据的方差
一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjn，第j层的样本量为nj，样本平均数为eq \x\t(x)j，样本方差为seq \\al(2,j)，j＝1,2，…，k.记eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(j＝1))nj＝n，eq \x\t(x)为总体平均数，那么所有数据的样本方差为seq \\al(2,总)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(j＝1))njeq \(∑,\s\up12(nj),\s\d4(t＝1)) (xjt－eq \x\t(x))2＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(j＝1))nj[seq \\al(2,j)＋(eq \x\t(x)j－eq \x\t(x))2]．
9. 常用结论
平均数、方差的公式推广
(1) 若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \x\t(x)＋a.
(2) 若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
第46讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用
1. 变量的相关关系
(1) 相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2) 相关关系的分类：正相关和负相关．
(3) 线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 一条直线 附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
2. 样本相关系数
(1) 相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝eq \f(\(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) yi－\x\t(y)2))
＝eq \f(\(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x)\x\t(y),\r(,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)·\r(,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))y\\al(2,i)－n\x\t(y)2))
(2) 相关系数r的性质
①当 r>0 时，称成对样本数据 正 相关；当 r< 0时，称成对样本数据 负 相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系．
②样本相关系数r的取值范围为 [－1,1] .
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 强 ；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 弱 .
3. 一元线性回归模型
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))称为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a和b为模型的未知参数，e是 Y与bx＋a之间 的随机误差．
我们将eq \(y,\s\up6(∧))＝eq \(b,\s\up6(∧))x＋eq \(a,\s\up6(∧))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq \(b,\s\up6(∧))，eq \(a,\s\up6(∧))叫做b，a的最小二乘估计，其中
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b,\s\up12(∧)) ＝\f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) xi－\x\t(x)2), ＝ \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2) ，,\(a,\s\up6(∧))＝\x\t(y)－\(b,\s\up6(∧))\x\t(x).))
第47讲 数据分析——列联表与独立性检验
1. 2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
2. 临界值
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d). 忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
3. 独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
第十章 计数原理、概率及其分布
第48讲 排列与组合
1. 两个计数原理的区别与联系
2. 排列与组合的概念
3. 排列数与组合数
(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同排列 的个数，用符号 Aeq \\al(m,n) 表示．
(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同组合 的个数，用符号 Ceq \\al(m,n) 表示．
4. 排列数、组合数的公式及性质
第49讲 二项式定理及其应用
1. 二项式定理
2. 二项式系数的性质
(1) Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(n,n)＝1，Ceq \\al(m,n＋1)＝ Ceq \\al(m－1,n)＋Ceq \\al(m,n) ，
Ceq \\al(m,n)＝ Ceq \\al(n－m,n) (0≤m≤n)．
(2) 二项式系数先增后减中间项最大．
当n为偶数时，第eq \f(n,2)＋1项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al( eq \s\up10(\f(n,2)),n)，当n为奇数时，第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋3,2)项的二项式系数最大，最大值为Ceq \\al( eq \s\up10(\f(n－1,2)),n)和Ceq \\al( eq \s\up10(\f(n＋1,2)),n).
(3) 各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝ 2n ，Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝ 2n－1 .
第50讲 随机事件与概率
1. 样本空间和随机事件
(1) 样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的 基本结果 称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2) 随机事件
①定义：将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2. 两个事件的关系和运算
3. 古典概型
(1) 有限性：样本空间的样本点只有 有限个 ；
(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性 相等 .
4. 古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(nA,nΩ)，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
5. 概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1－P(B) ；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B) .
第51讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
1. 相互独立事件
(1) 概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2) 性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与 B ，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
2. 条件概率
(1) 概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2) 两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)·P(B|A) .
3. 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P(B)＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai) ，我们称上面的公式为全概率公式．
4. *贝叶斯公式：
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0, i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0有P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)＝eq \f(PAiPB|Ai,\(∑,\s\up12(n),\s\d4(k＝1))PAkPB|Ak)，i＝1,2，…，n.
第52讲 随机变量及其概率分布、期望与方差
1. 离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有 唯一 的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2. 离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3. 离散型随机变量的分布列的性质
(1) pi ≥ 0(i＝1,2，…，n)；
(2) p1＋p2＋…＋pn＝ 1 .
4. 离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1) 均值：
E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 .
(2) 方差：
D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝ eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi 为随机变量X的方差，并称eq \r(,DX)为随机变量X的 标准差 ，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的 偏离程度 .
5. 均值与方差的性质
(1) E(aX＋b)＝ aE(X)＋b .
(2) D(aX＋b)＝ a2D(X) (a，b为常数)．
(3) D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
第53讲 二项分布与超几何分布
一、 二项分布
1. 伯努利试验
只包含 两个 可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验 .
2. 二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00
Δ＝0
Δ0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个相异实数根x1，x2
(x10(a>0)的解集
{x|xx2}
{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x10)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为 2a ；
短轴B1B2的长为 2b
焦距
|F1F2|＝ 2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈ (1，＋∞) ，
其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝__2a__，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b ；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝ a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，
x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
名称
定义
总体均值
(总体平均数)
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq \x\t(Y)＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up12(N),\s\d4(i＝1))Yi为 总体均值 ，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq \x\t(Y)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up12(k),\s\d4(i＝1))fiYi
样本均值
(样本平均数)
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \x\t(y)＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))yi为 样本均值 ，又称样本平均数
说明：(1) 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数eq \x\t(y)去估计总体平均数eq \x\t(Y)；
(2) 总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；
(3) 一般情况下，样本量越大，估计越准确
X
Y
合计
Y＝y1
Y＝y2
X＝x1
a
b
a＋b
X＝x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
不同点
分类、相加
分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，缺一不可
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照 一定的顺序 排成一列
组合
作为一组
公式
(1) Aeq \\al(m,n)＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝eq \f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．
(2) Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
＝eq \f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1) 0！＝ 1 ；Aeq \\al(n,n)＝ n！ .
(2) Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m,n＋1)＝ Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)
二项式定理
(a＋b)n＝ Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－k·bk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn (n∈N*)
二项展开式的通项公式
Tk＋1＝ Ceq \\al(k,n)an－kbk ，它表示第 k＋1 项
二项式系数
展开式中各项的二项式系数为Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})
含义
符号表示
包含关系
A发生导致B发生
A⊆B
相等关系
B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅ ，
A∪B＝Ω
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
区别
(1) 当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；
(2) 当这n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布