福建省厦门外国语学校瑞景分校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分．
3．答题卷使用0.5mm黑色水笔作答，作图题使用2B铅笔或0.5mm黑色水笔作答．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）
1. 下列二次根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义．根据同类二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，可得答案．
【详解】解：A、不能与进行合并，故本选项不符合题意；
B、不能与进行合并，故本选项不符合题意；
C、，能与进行合并，故本选项符合题意；
D、，不能与进行合并，故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题意得．
解得x≥3，
故选：A．
3. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 等边三角形三边相等D. 两直线平行，同位角相等
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查命题与定理．先分别写出四个命题的逆命题，根据三角形全等的判定、绝对值、平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两三角形全等，此逆命题不成立，所以本选项符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题为：平行四边形的对角线互相平分，所以此逆命题成立，所以本选项不符合题意；
C、等边三角形三边相等的逆命题为：三边相等的三角形是等边三角形，此逆命题成立，所以本选项不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，此逆命题成立，所以本选项不符合题意．
故选：A．
4. 已知正比例函数的图象经过点，k的值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式．把代入，即可求解．
【详解】解：把代入，得：
，
故选：D．
5. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，，则点C的坐标不可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据中点坐标公式，分类，计算选择即可．
【详解】解：平行四边形的顶点，，，
设第四个顶点坐标为，根据题意，得：
当、是对角线的两个顶点时，对角线交点的坐标为，
故，
解得，
故第四个顶点为；
当、是对角线的两个顶点时，对角线交点的坐标为，
故，
解得，
故第四个顶点为；
当、是对角线的两个顶点时，对角线交点的坐标为，
故，
解得，
故第四个顶点为；
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
6. 如图，中，，，，若点D为中点，连接，则的长为（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理及勾股定理．根据勾股定理求出，再根据直角三角形的斜边中线定理即可求出．
【详解】解：由勾股定理得：，
在中，，是中点，
∴，
故选：B．
7. 如图，在中，是的中线，E、F分别是、的中点，连接，已知，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中线和中位线的性质，掌握中线和中位线的性质是解题的关键；根据中线的性质可得，再由中位线的性质求解即可
【详解】 是的中线，，
E、F分别是、的中点，
是的中位线，
故选：．
8. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的概念求解即可．
【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；
②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意；
③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意；
④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意；
所以正确的的序号有①④，
故选：B．
【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念．
9. 如图，两个全等的矩形，矩形如图所示放置. 所在直线与分别交于点.若.则线段的长度是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】作于.则四边形是矩形．先证明，再证明AH=MH=CH．设CH=AH=x，利用勾股定理列方程，再求解即可．
【详解】解：作于.则四边形是矩形，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，设，
在中，，解得，
∴，
故答案为D．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构建直角三角形并利用勾股定理列方程是解答本题的关键．
10. 如图，四边形中，， ，的长度可变化，点E在上，点F在上，若，，且F是的中点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．通过，，及四边形平行四边形得出，，将已知条件聚集在中，利用三角形三边关系求出最值．
【详解】
解：延长，交于点H，延长至点G，使得，连接，．
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，A、E、G三点共线时，等号成立.，
∴的最小值为6．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称变化求最值，其中涉及平行线的性质，全等三角形的应用，平行四边形的判定及性质，正确利用轴对称变换是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：（1）______；（2）______．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的乘法，熟记二次根式的乘法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可．
（2）根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2），
故答案为：（1）；（2）3
12. 直线上有两点，，则______（填“”、“”、“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小是解题的关键．根据一次函数的增减性即可进行解答．
【详解】解：∵，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴
故答案为：．
13. 如图，若，则数轴上表示n的点在线段______上（填“”、“”、“”、“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由得到，则，然后判断数的位置．
【详解】解：，
，
，
点在线段上．
故答案为．
14. 一直角三角形的两条边长分别为1和2，则该三角形的斜边长为______．
【答案】或##2或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的知识．注意2可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论．
【详解】解：当1和2都是两条直角边时，
斜边；
当1是直角边，2是斜边时，
斜边为．
故答案为：或2．
15. 在平面直角坐标系中，、两点间的距离公式为，例如点、两点间的距离为．如图，平面直角坐标系中有一半圆图象在x轴上方，其圆心为原点O，半径为2．若点在该半圆上，则P与圆心O的距离为．
①写出y关于x的函数解析式：______；
②写出该半圆和函数的图象的交点坐标：______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了函数的性质．①由，整理得到；②解方程，即可求解．
【详解】解：①∵，
∴，
∴y关于x的函数解析式为；
故答案为：；
②根据题意得，
解得，
，
∴该半圆和函数的图象的交点坐标为，
故答案为：．
16. 如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接、，若C为中点，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识点．作，，，证、，根据全等三角形的性质结合勾股定理即可求解．
【详解】解：作，，，如图：
，
，
，
，
，
，
，
∵，∴，
，
，
∵C为中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后合并即可．
【小问1详解】
原式，
，
；
【小问2详解】
原式，
，
18. 如图，是的边的中点，连接并延长交的延长线于，若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，由证明，得出，即可求出的长．
【详解】解：是的边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值．首先将分式的分子与分母进行因式分解，再进行分式的约分，再合并可求得分式的化简结果，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，且，点C的坐标为，点P在线段上．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）连接和，当点P的横坐标为4时，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合：
（1）根据可得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据直线的解析式求出点的纵坐标，从而可得的边上的高，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【小问1详解】
解：，
，
将点代入得：，
解得，
∴直线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：是直线上一点，点的横坐标为4，
∴点纵坐标为，
，
，
∴的面积为．
21. 如图，有一四边形纸片，，测得，，，，求这张纸片的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论．
【详解】解：连接，如图．
在中，，，，
．
，
，
四边形纸片的面积
．
所以这张纸片的面积为．
22. 如图，在矩形中，，，点E为边CD上一点．
（1）用尺规在边上作出一点，使平分；（保留作图痕迹）
（2）若，为边上一点，且，连结，求的长．
【答案】（1）图形见详解；（2）EP=．
【解析】
【分析】（1）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于E，连结AE，BE，则BE平分∠AEC；
（2）由，∠D=90°，AE=AB=2，可得DE= ，由EC=CD-DE=2-1=1，可得，BC=BP+PC=3PC=，可求PC=，在Rt△CEP中，由勾股定理EP=．
【详解】（1）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于E，连结AE，BE，则BE平分∠AEC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，
∴∠CEB=∠ABE，
又∵作法，AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠AEB=∠CEB，
∴BE平分∠AEC，
（2）∵，∠D=90°，AE=AB=2，
∴DE=，
∴EC=CD-DE=2-1=1，
∵，BC=BP+PC=3PC=，
∴PC=，
在Rt△CEP中，
EP=．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质、角平分线的定义、勾股定理，掌握角平分线的定义，等腰三角形性质，勾股定理是解题关键．
23. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
（1）由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______；
（2）用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，，记，，，求证（1）中的定理结论．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵大正方形的面积，大正方形的面积也可以表示为，
∴，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：如图：连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
，
∴，
∴．
24. 定义：对角线垂直的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形中，，则四边形是“准筝形”．
（1）“一组邻边相等的准筝形是菱形”是______命题；（填“真”或“假”）
（2）如图1，在准筝形中，，，，且满足，，求的长．
（3）如图2，在准筝形中，与交于点O，点P在线段上，且，，在上存在移动的线段，E在F的左侧，且，使四边形的周长最小，求此时的长度．
【答案】（1）假 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由菱形判定“一组邻边相等的准筝形是菱形”是假命题；
（2）由勾股定理可得，将，，代入，可求的长；
（3）作点关于的对称点，作，且，连接，可得四边形周长，则点，点，点三点共线时，有最小值为，即四边形周长有最小值，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作于，求出解析式，可得点坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：“一组邻边相等的准筝形是菱形”是假命题，
证明：不妨设，
∵四边形是“准筝形”，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
但不能说明和相等，就不能说明四边形是菱形，
∴“一组邻边相等的准筝形是菱形”是假命题．
故答案为：假；
【小问2详解】
解：如图，设与交于点，
∵，，且，，，
∴，，，
解得，，，即，，，
四边形是准筝形，
，
，，，，
，
，
∴；
【小问3详解】
解：四边形是准筝形，
，
，
，且，，
∴，，
∴，
如图，作点关于的对称点，作，且，连接，
，，四边形是平行四边形，
，
四边形周长，
点，点，点三点共线时，有最小值为，即四边形周长有最小值，
如图3，以点原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作于，
，，
，
，，
，，
，
点，
，，
点，
直线解析式为：，
当时，，
点，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的应用，利用代数方法解决几何问题是本题的关键．
25. 如图1、2所示，矩形的对角线、相交于点O，已知，．
（1）如图1，求、的长度和矩形的面积；
（2）如图2，点E为边上一动点，连接，以为边作正方形．
①若点G到直线的距离为，试判断和的位置关系并说明理由；
②在点E从点A运动到点D的过程中，求点G运动轨迹的长度．
【答案】（1），，矩形的面积；
（2）①，理由见解析；②点G运动轨迹的长度是．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，即可求解；
（2）①作交延长线于点，证明，推出，由，求得是等边三角形，据此即可证明；
②由，推出点G运动轨迹的长度就是的长，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵矩形的对角线、相交于点O，
∴，，，在，，
∴，，
∴矩形的面积；
【小问2详解】
解：①，理由如下，作交延长线于点，如图，
∵矩形和正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵点G到直线距离为，
∴，
∴，
取的中点，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴在点E从点A运动到点D的过程中，点G运动轨迹的长度就是的长，即．
答：点G运动轨迹的长度是．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．