2024年广东省惠州市龙门县龙江中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在，，，四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，负数的绝对值越大，其值越小进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴最小的数是-5，
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的比较大小的方法．
2. 今年是共建“一带一路”倡议提出周年，也是构建人类命运共同体理念提出周年．年到年，中国与“一带一路”共建国家的累计双向投资超过亿美元．亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，把一个绝对值大于的数记作 的形式，其中 是整数位数只有一位的数，是正整数.，这种记数方法叫做科学记数法，用科学记数法表示一个绝对值大于的数时，的指数比原数的整数位数少．
【详解】解：亿
故选：B
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的乘除运算及合并同类项依次判断各选项即可.
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项正确；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误；
故选：B.
【点睛】本题是对整式乘除的考查，熟练掌握整式乘除计算及合并同类项是解决本题的关键.
4. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A. 等边三角形B. 圆C. 长方形D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．
【详解】解：因为等边三角形有3条对称轴；圆有无数条对称轴；长方形有2条对称轴；正方形有4条对称轴；经比较知，圆的对称轴最多．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．
5. 某校九年级（1）班全体学生2016年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A. 该班一共有40名同学
B. 该班学生这次考试成绩的众数是28分
C. 该班学生这次考试成绩的中位数是28分
D. 该班学生这次考试成绩的平均数是28分
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，解题的关键是结合表格提供数据以及众数、平均数、中位数的概念求解．
【详解】解：A、该班人数为：，故选项A正确，不符合题意要求；
B、得28分的人数最多，众数为28，故选项B正确，不符合题意要求；
C、第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：，故选项C正确，不符合题意要求；
D、平均数为：．故选项D错误，符合题意要求．
故选：D．
6. 若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到，再利用判别式求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：C．
7. 如图，某小区计划在一个长 80米，宽 36米的长方形场地 ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与 AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积 都为 260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为 x米，则根据题意可列方程为（ ）
A. （80－2x）（36－x）=260×6B. 36×80－2×36x－80x=260×6
C. （36－2x）（80－x）=260D. （80－2x）（36－x）=260
【答案】A
【解析】
【分析】设道路的宽度为x米．则横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则草坪的总面积是相邻两边的长度分别为（80-2x）米、（36-x）米的矩形面积，根据每一块草坪的面积都为260平方米，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
【详解】解：设道路的宽度为x米，则横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则草坪的总面积是相邻两边的长度分别为（80-2x）米、（36-x）米的矩形面积，
根据题意得：（80-2x）（36-x）=260×6，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据每一块草坪的面积都为260平方米结合矩形的面积，找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
8. 如图，AB、BC为的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若，则的度数为（ ）

A. 100°B. 118°C. 124°D. 130°
【答案】C
【解析】
【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【详解】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
9. 已知二次函数，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y1＜y2＜y3C. y2＞y3＞y1D. y2＜y3＜y1
【答案】A
【解析】
【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：
【详解】∵二次函数，
∴此函数的对称轴为：．
∵＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小．
∴y1＞y2＞y3．
故选：A
10. 如图，在正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有（ ）．
A. ①②③B. ①②C. ①②③④D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】先证明△ADF≌△DCE得到AF=DE，则可对②进行判断；由全等性质得∠DAF=∠CDE，则利用∠DAF+∠DFA=90°可得∠CDE+∠DFA=90°，则可对①进行判断；在△ADF中和△ADG中用正弦函数可对③进行判断；在△ADF中和△DGF中用正切函数可对④进行判断．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
而点E、F分别为BC，CD的中点，
∴DF=CE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，
∴AF=DE，所以②正确，
∠DAF=∠CDE，
而∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CDE+∠DFA=90°，
∴∠DGF=90°，
∴AF⊥DE，所以①正确；
在△ADF中， ，
在△ADG中，
∴，所以③正确；
在△ADF中，，
在△GDF中，，
∵∠DAF=∠GDF，
∴，所以④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数，证明全等是关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 若单项式与是同类项，则的值是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据同类项的定义解决此题即可．
【详解】解：由题意得，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义，字母相同，相同字母的指数也相同的单项式成为同类项，是解决本题的关键．
12. 点在第四象限，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数．根据第四象限的点的符号特征，得到进行求解即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴
解得：．
故答案为：．
13. 抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的意义直接回答即可．
【详解】解：∵每次抛掷硬币正面朝上的概率均为，且两次抛掷相互不受影响，
∴抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，则第二次正面朝上的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14. 某装修公司拟用三种边长相同的正多边形地砖无缝隙、无重叠的铺满整个客厅，如图所示，已知点周围有三块地砖，则第三块地砖的边数为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据正多边形的镶嵌的意义可得几个正多边形的内角的和为360°，可求出正多边形的内角的度数，进而求出边数．
【详解】解：正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，
因此第三块地砖的每一个内角为：360°-120°-90°=150°，
设第三块地砖的边数为n，则有，
解得，n=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查正多边形内角和问题，掌握正多边形的性质和多边形内角和的计算方法是正确解答的前提．
15. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且点O、A、B分别是格点，已知小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、求弧长，根据勾股定理的逆定理得是等腰直角三角形，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：根据勾股定理可以得到：，即．
，，
，
是等腰直角三角形．
的长是．
设圆锥的底面半径是，则，
解得：．
故答案为．
16. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点F，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短是解题的关键．
如图，连接，由，可得，证明四边形是矩形，则，当值最小时，的值最小，当时，的值最小，由，可求，然后作答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当值最小时，的值最小，
∵当时，的值最小，
∴，即，
解得，，
∴的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角形函数值，绝对值的运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，正确计算是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中：
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再根据分母有理化的方法求值即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键．
19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求作AB的垂直平分线MN；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若MN交AD于点E，连接BE．求证：DE=DB．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】1）根据线段垂直平分线的作法即可作AB的垂直平分线MN；
（2）在（1）的条件下，根据垂直平分线的性质可得EA=EB，从而证明∠BED=∠EBD，进而可得DE=DB．
【详解】解：（1）如图，

MN即为所求；
（2）证明：∵且，
∴
∵是的角平分线
∴
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴
又∵是的一个外角
∴
∴
∴
【点睛】此题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的准确画法．
20. 如图，，，，B、E、C、F，在同一直线上，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，根据三角形全等的判定方法证明，得出，根据平行线的判定方法，得出．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
21. 月日是世界环境日．今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，旨在释放和传递：建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息．小文积极学习与宣传，并从四个方面：空气污染，：淡水资源危机，：土地荒漠化，：全球变暖，对全校同学进行了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题（每人限选一项）．图1和图2是他收集数据后，绘制的不完整的统计图表，请你根据图表中提供的信息解答以下问题：
图1
（1）根据图表信息，可得 ．
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）如果小文所在的学校有名学生，那么请你根据小文提供的信息估计该校关注“全球变暖”的学生大约有多少人？
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，
（1）根据“空气污染”的频数除以对应的频率即可求出的值；
（2）由的值，减去其它频数即可求出的值，补全条形统计图即可；
（3）求出表格中的值，乘以即可得到结果；弄清题意是解本题的关键．
【小问1详解】
解：由题意，“空气污染”的频数为，频率为，
∴调查的人数：，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意得，，
补全条形统计图，如图所示：
【小问3详解】
由表格得：，
∴（人），
∴该校关注“全球变暖”的学生大约有人．
22. 普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
（3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围．
【答案】（1）；（2）2450元；（3）
【解析】
【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
（3）求得W=2000时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥2000时x的取值范围，继而根据“单价不得高于90元/千克”，得出答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得：
解得：．
∴y与x的关系式为；
（2）由题意知：，
∴W与x的关系式为：，
∴，
∴当时，在内，W的值最大为2450元
（3）若公司想获得不低于2000元周利润，则，
解得，所以当时，，
又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，
∴销售单价范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数和二次函数的实际应用．根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，再运用二次函数性质解决问题是解题的关键．
23. 如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点D，过点D作交的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若的半径，，求的长．
【答案】（1）相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等：
（1）连接，根据等边对等角得出，，等量代换得到，则，推出，即可得出结论；
（2）连接，则，解直角三角形得到，设，则，可得，，证明，得到，可得，，证明，得到，即，则．
【小问1详解】
解：与相切，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵D在上，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，直线（k为常数，且）与x轴交于点，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A、C两点，与x轴的另一交点为点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是二次函数图象上一动点，过点D且垂直于x轴的直线交于F，交x轴于G．
①若点D、F、G三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，请直接写出点D的坐标；
②动点D在直线AC上方，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，的面积为，若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①点的坐标为或或②
【解析】
【分析】（1）先根据条件求出一次函数，从而求出C点坐标，再用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）分三种情况讨论：①点G是中点，②点D是中点，③点F是中点，根据线段相等列式子即可；过作轴交于，过作轴交于，可得，进而得到即可求解．
【小问1详解】
解：把代入，得，
，
令，则
点
抛物线经过，两点，
则. ，解得，
；
【小问2详解】
①解：设点的坐标为，则点G坐标为，点F坐标为，
如图所示，

若点G是中点，则，解得： 或（）
当时，点G与点A重合，不符合题意；
当时，，
∴；
如图所示，

若点D是中点，则，解得： 或
当时，点G与点A重合，不符合题意；
当时，，
∴；
如图所示，

若点F是中点，则，解得： 或
当时，点G与点A重合，不符合题意；
当时，，
∴；
综上所述：点D坐标为或或；
②如图，

令，，
，，
，
过作轴交于，过作轴交于，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
当时，最大值是．
的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，综合性强，灵活运用所学知识是关键．
25. 如图，在矩形中，点E是边上一动点（不与A、D重合），连接，过点E作交边于点F．随着E点位置的变化，F点的位置随之发生变化．
（1）在点E运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
（2）若，．
①当F是线段的中点时，求线段的长；
②过点B作交射线于点G，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）①或；②1或
【解析】
【分析】（1）根据，得出，通过得出即可证明；
（2）①当点F是线段的中点时，，设，则，得，代入即可解得的长；
②设长为x，则长为，由于，，可得，进而得，．然后分与两种情况进行解答即可．
小问1详解】
证明：在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，
理由如下：
在与中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解∶①∵，，
∴，AB=CD=1，
当点F是线段的中点时，，
设，
则，
由（1）得，
∴，
即，
解得：，，
故的长为或；
②设，则，
∵，，
∴，
∴，．
分类讨论：当时，
则，
∴，
如图，作于H．则，
又∵是公共边，∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
当时，则，
∴．
∴，
∴．即，
∴，（舍去），
因此的长为1或．
【点睛】本题考查了相似形的综合应用，全等三角形的判定与性质等知识，通过相似三角形建立等式是解题的关键．成绩（分）
24
25
26
27
28
29
30
人数（人）
2
5
6
6
8
7
6
关注问题
频数
频率
合计
销售单价x（元/千克）
56
65
75
销售量y（千克）
128
110
90