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2024年陕西省西安国际港务区铁一中陆港初级中学中考四模数学试题（原卷版+解析版）
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（时间：110分钟 满分：120分）
一．选择题（共7小题，每小题3分，计21分）
1. 8立方根是（ ）
A. 2B. C. D. 4
2. 如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( )
A. 64°B. 68°C. 58°D. 60°
4. 如图，一次函数与的图象交于点．则关于，的二元方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A. （﹣1，﹣1）B. （﹣，﹣1）C. （﹣1，﹣）D. （﹣2，﹣1）
6. 如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若．则等于（ ）
A B. C. D.
7. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．当二次函数在时，的最大值为1．则的值为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8. 数轴上的点A表示的数是1，将点A向左平移7个单位长度到达点B，则点B表示的数是________．
9. 为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为________．
10. 已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______．
11. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．
12. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
13. 如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为______．
三．解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：
15. 求不等式正整数解．
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 点P是外部一个点，过点P作直线（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
18. 如图，已知，，点、在线段上，与交于点，且，．求证：是等腰三角形．
19. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？
20. 秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是华夏民族文化的瑰宝，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．李爷爷，刘爷爷两位秦腔爱好者都想参加中老年俱乐部的汇演活动，需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，卡片除正面图案不同外，其余均相同．卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D．龙凤呈祥”的概率是______；
（2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人中有一个人抽中“A．周仁回府”这个曲目的概率．
21. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高．
22. 港务区苗木种植专业户老王承包了亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表：
设种植柏树苗亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为万元．
（1）求与的函数表达式；
（2）今年，他继续用这亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过万元，若每亩的种植成本和销售额不变．他应如何安排种植才能获得最大收益？最大收益为多少？（收益销售额成本）
23. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）上述表格中：______，______；
（2）①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并说明理由．
24. 如图，为的直径，点为圆周上一点，的延长线交的切线于点的延长线交的切线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25. 在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高女同学参加定点投篮比赛（如图①）．为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛物线，不起跳投掷时，球在该选手头顶上方处投出，在距离该选手时达到最大高度.
（1）如图②，以该选手投球站立点为原点、身体竖直向上方向为轴正半轴建立平面直角坐标系，求出篮球运行高度与运行水平距离之间函数关系式；
（2）已知比赛时篮圈中心到地面高度为，为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何调整自己的起跳高度？
26. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．
（1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点，求的长；
（3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．种植种类
成本（万元/亩）
销售额（万元/亩）
柏树苗
松树苗
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
2.0
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
（时间：110分钟 满分：120分）
一．选择题（共7小题，每小题3分，计21分）
1. 8立方根是（ ）
A. 2B. C. D. 4
2. 如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，如果∠1=32°，那么∠2的度数是( )
A. 64°B. 68°C. 58°D. 60°
4. 如图，一次函数与的图象交于点．则关于，的二元方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）
A. （﹣1，﹣1）B. （﹣，﹣1）C. （﹣1，﹣）D. （﹣2，﹣1）
6. 如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若．则等于（ ）
A B. C. D.
7. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．当二次函数在时，的最大值为1．则的值为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8. 数轴上的点A表示的数是1，将点A向左平移7个单位长度到达点B，则点B表示的数是________．
9. 为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为________．
10. 已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为______．
11. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．
12. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
13. 如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为______．
三．解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 计算：
15. 求不等式正整数解．
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 点P是外部一个点，过点P作直线（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
18. 如图，已知，，点、在线段上，与交于点，且，．求证：是等腰三角形．
19. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，问清、醐酒各几何？”大意：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，拿20斗谷子共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？
20. 秦腔，别称“梆子腔”，中国汉族最古老的戏剧之一，起于西周，源于西府，成熟于秦，是华夏民族文化的瑰宝，它深刻诠释了汉文化的发展，同时也承载着广大西部地区人民的精神寄托，是人们互相交流情感的一种方式．李爷爷，刘爷爷两位秦腔爱好者都想参加中老年俱乐部的汇演活动，需要各自从下面四部曲目中分别随机选择一部进行表演，如图所示，卡片除正面图案不同外，其余均相同．卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）李爷爷从中随机抽取一张，卡片正面是“D．龙凤呈祥”的概率是______；
（2）若李爷爷先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，刘爷爷再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两人中有一个人抽中“A．周仁回府”这个曲目的概率．
21. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高．
22. 港务区苗木种植专业户老王承包了亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表：
设种植柏树苗亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为万元．
（1）求与的函数表达式；
（2）今年，他继续用这亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过万元，若每亩的种植成本和销售额不变．他应如何安排种植才能获得最大收益？最大收益为多少？（收益销售额成本）
23. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）上述表格中：______，______；
（2）①同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并说明理由．
24. 如图，为的直径，点为圆周上一点，的延长线交的切线于点的延长线交的切线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25. 在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高女同学参加定点投篮比赛（如图①）．为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛物线，不起跳投掷时，球在该选手头顶上方处投出，在距离该选手时达到最大高度.
（1）如图②，以该选手投球站立点为原点、身体竖直向上方向为轴正半轴建立平面直角坐标系，求出篮球运行高度与运行水平距离之间函数关系式；
（2）已知比赛时篮圈中心到地面高度为，为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何调整自己的起跳高度？
26. 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点．
（1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点，求的长；
（3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式．种植种类
成本（万元/亩）
销售额（万元/亩）
柏树苗
松树苗
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
2.0
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
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