2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学六模试卷（含解析）

2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学六模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D. 无意义

2.  某几何体的三视图如图所示，则该几何体是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，已知直线，被直线，所截，且，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一次函数关于轴对称的图象经过，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，的弦，且于点，连接，若，则的半径为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知抛物线过，，且它与轴只有一个公共点，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  实数的立方根为______ ．

10.  “黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体，如图，舞台长米，点是线段的黄金分割点即，则的长是______ ．

11.  如图，在正六边形中，，点在边上，且若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是          ．

 

12.  如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴，轴的垂线与反比例函数的图象交于，两点，连接，则的面积为______ ．

13.  如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接、，点、分别是、的中点，则的长度是______ ．

三、解答题（本大题共14小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：．

16.  本小题分
解分式方程：．

17.  本小题分
分解因式：．

18.  本小题分
尺规作图保留作图痕迹，不要求写出作法：
如图，已知线段，求作，使，，．

19.  本小题分
矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上，求证：．

20.  本小题分
如图，利用米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇米宽的门，总共用去篱笆米，为了使这个长方形的面积为平方米，求和的长．

21.  本小题分
【跨学科试题】为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读，参赛者从短歌行将进酒观沧海木兰辞分别用、、、表示中随机抽取一首进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者从蒹葭沁园春雪念奴娇赤壁怀古分别用、、表示中随机抽取一首进行讲解小明和晓慧都参加了诗词大赛．
小明第一轮抽到将进酒的概率是______ ；
利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的概率．

22.  本小题分
如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、共线，点、、共线，若、、均垂直于河面，求河宽是多少米？

23.  本小题分
宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取棵，对其产量千克棵进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：，，，，，，，，，
乙品种：如图所示

根据以上信息，完成下列问题：

填空：______，______；
若乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的棵数；
请从某一个方面简要说明哪个品种更好．

24.  本小题分
某水果经销商计划购进普通包装和精品包装的酥梨共千克进行售卖，这两种包装的酥梨的进价和售价如下表：

设该水果经销商购进普通包装的酥梨千克，总利润为元
求与之间的函数关系式；
经过市场调研，该经销商决定购进精品包装的酥梨质量不大于普通包装的倍，请你求出获利最大的进货方案及最大总利润．

25.  本小题分
如图，的半径为，是的直径，与相切，且，，连接并延长交于点，交于点，连接，，．
判断与的位置关系，并说明理由；
求的值．

26.  本小题分
如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点．
求该抛物线的表达式；
连接，若以，，为顶点的三角形与相似，请求写出所有满足条件的点的坐标．

27.  本小题分
问题提出
如图，在等腰中，，，，则的外接圆半径是______ ．
问题探究
如图，在中，，的面积是，求长的最小值．
问题解决
西安国际港务区铁一中陆港中学学生在数学探究课实践课中，一个小组的活动过程是把一副三角板如图摆放，画出几何图形，，，作交于点、是和上的动点，连接、分别交于点、且，为了探究图形的一般性，线段长度可以任意赋值，若，则阴影部分的面积有没有最大值？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的结果为．
故选：．
根据零指数幂的运算方法：，求出的结果为多少即可．
此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：；．
 

2.【答案】 

【解析】解：由三视图可知该几何体是．
故选：．
几何体的主视图和左视图是矩形，因此该几何体是柱体；结合几何体的俯视图是四边形即可确定该几何体的名称．
本题主要考查由三视图判断几何体，需根据柱体三视图的特征解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据多项式除以单项式的运算法则计算．
本题考查了整式的除法，掌握运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．

故选：．
根据平行线的性质，补角的定义计算出的度数，根据三角形内角和定理求出的对顶角度即可．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
边长的高，
故选：．
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点为，
将代入，得，
解得，
故选：．
根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数求出点的对应点的坐标，然后代入一次函数计算即可求出值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，根据点的对称规律求解直线的变化是此类题目常用的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，，

，

，
，
，
，
，
，
即是等腰直角三角形，
，，
，
的半径是．
故选：．
连接，，，根据的弦求出，根据圆周角定理求出，求出，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出即可．
本题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线过点、，
对称轴是直线．
又抛物线与轴只有一个交点，
顶点为，
设抛物线解析式为
把代入，得，
即．
故选：．
根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线根据抛物线与轴只有一个公共点可设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值．
本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：实数的立方根为，
故答案为：．
根据立方根的计算得出结论即可．
本题主要考查立方根的计算，熟练掌握立方根的计算方法是解题的关键．
 

10.【答案】米 

【解析】解：点是线段的黄金分割点即，米，
米，
米，
故答案为：米．
利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
设正六边形的中心为，过点，作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段是，连接，，过点作于点由正六边形的性质得出，，，进而得出是等边三角形，，由，得出，由，得出，进而求出，，再求出，利用勾股定理求出，即可求出的长度．
【解答】
解：如图，设正六边形的中心为，过点，作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段是，连接，，过点作于点．

六边形是正六边形，，中心为，
，，，

是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：点在上，且，
，
点的坐标为：，
同理，点的坐标为：，
，
，
．
故答案为：．
根据条件可求出点的坐标为，点的坐标为，根据即可解答．
本题主要考查反比例函数的点的坐标的特征，根据条件得出、的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，连接，
四边形是矩形，
，，
，分别是边，的中点，，，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先计算平方、二次根式、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．
 

15.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：，
去分母得：，
解得：，
当时，，，
原方程无解． 

【解析】等式两边同乘去分母，解出之后代入最简公分母验根即可求得结果．
本题考查了解分式方程，解决本题的关键是等式两边同乘最简公分母去掉分母，解分式方程一定注意要验根．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练运用平方差公式是解题关键．
 

18.【答案】解：如图，为所作．
 

【解析】先在直线上取点，过点作，再在直线上截取，然后以点为圆心，为半径画弧交于，则满足条件．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
，在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
 

20.【答案】解：设为米，则为米，
，
解得：，，
当时，
不合题意，舍去，
当时，
．
答：的长为米，的长为米． 

【解析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意可得，小明第一轮抽到将进酒的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的结果有种，
晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：延长交的反向延长线于点，

则四边形是矩形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，米，米，
米，
，，
，
∽，
，
，
，
米，
答：河宽是米． 

【解析】延长交的反向延长线于点，由∽求得，再由∽求得，即可解决问题，
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，构造和证明三角形相似是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：把甲品种的产量从小到大排列：，，，，，，，，，，中位数是，，
乙品种的产量千克的最多有棵，所以众数为，
故答案为：，．
棵；
因为甲品种的方差为，乙品种的方差为，
所以乙品种更好，产量稳定．
利用中位数和众数的定义即可求出；
用乘以产量不低于千克的百分比即可；
根据方差可以判断乙品种更好，产量稳定．
本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、方差、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
 

24.【答案】解：设该水果经销商购进普通包装的酥梨千克，购进精品包装的酥梨为千克，
由题意得：，
整理得：，
与之间的函数关系式为；
由题意得：，
解得：，
，，
随的增大而减小，
当时，总利润最大，为：元，
当该经销商购进普通包装的酥梨千克，精品包装的酥梨千克时获利最大，最大利润为元． 

【解析】根据总利润等于普通包装的酥梨的总利润加上精品包装的酥梨的总利润，求出函数关系式即可；
根据精品包装的酥梨不大于普通包装的倍，求出的取值范围，根据中函数的性质，求出最值即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意，正确的列出函数解析式，利用一次函数的性质，进行求解，是解题的关键．
 

25.【答案】解：．
理由如下：
是的直径，与相切，
，
，
，
；
，
∽，
，即，
解得，
，，
在中，，
在中，，
，，
∽，
，即，
解得，
． 

【解析】先根据切线的性质得到，再根据垂径定理，由得到，从而可判断；
先证明∽，利用相似比可求出，则，，再利用勾股定理计算出，，接着证明∽，利用相似比可求出，从而得到的值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

26.【答案】解：将和代入，
，
解得，
该抛物线的解析式为；
当∽时，
轴，，
点纵坐标是，横坐标，
即，解得，
点的坐标为；
轴，
点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
点的坐标为，点的坐标为；
当∽时，

此时，
过点作于点，
∽，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
则，
解得：，
点坐标为，点坐标为，
综上，点的坐标为，点的坐标为或点坐标为，点坐标为． 

【解析】直接利用待定系数法，即可求出解析式；
根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：如图，设的外接圆的圆心为，
连接、，交与点，

，
，
为半径，
，且，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，即的外接圆半径是．
故答案为：．
如图，作与点，取中点，连接，

设的面积为，则，
，
当越大时，越小，
在中，，
当与重合时，最大，即最小，
此时是以为底的等腰直角三角形，
点为中点，
，
，即，
．
长的最小值为．
阴影部分的面积有最大值，
如图，设、交于，

由外角定理得，，，
，
，
即，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，，
，
由得，当满足以为底的等腰三角形时，最小，既满足最小，
，
此时是等边三角形，
，
，
，
．
阴影部分的面积有最大值为．
利用垂径定理的应用证明出为等边三角形即可；
利用三角形面积公式判断出，底越小时高越大，再根据直角三角形的斜边、直角边关系判断出，当高与中线重合时，高最大，即底最小，再通过三角形面积进行计算即可；
当面积最小时，阴影面积最大，由得，当满足以为底的等腰三角形时，最小，既满足最小，此时是等边三角形，再根据已知进行计算即可．
本题考查了圆的垂径定理、三角形面积与底和高的关系、等腰直角三角形、等边三角形等知识点的应用，合理的推理及准确的证明是解题关键．