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广东省梅州市兴宁市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
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这是一份广东省梅州市兴宁市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了函数的导函数为，设随机变量，已知，则，已知，则被8除的余数为，下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的导函数为（ ）
A. B.
C. D.
2.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
3.对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ）
A.至少有一个样本点落在回归直线上
B.预报变量的值由解释变量唯一确定
C.决定系数越小，说明该模型的拟合效果越好
D.在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
4.随机变量的取值范围为，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.设随机变量，已知，则（ ）
6.从这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则被8除的余数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.单调递增区间为
C.的极大值为1
D.方程有两个不同的解
10.下列命题中，正确的是（ ）
A.已知随机变量服从正态分布，若，则
B.从一副扑克52张牌（去掉两张王牌后）中任取1张，则在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率为
C.用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件A发生的概率，若，则
D.已知随机变量的分布列为，则
11.若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ）
A.0 B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为__________.
13.某公司有50000元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利，一旦失败，一年后将丧失全部资金的，过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功192次，投资失败8次，则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）.
14.若定义在上的函数满足，则不等式的解集为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；
（3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列.
16.（本题15分）某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱）
（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量.
参考数据：.
参考公式：相关系数；回归直线方程中
17.（本题15分）随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野.ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力､广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习､工作与生活中的出色助手.尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业.现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
（1）依据小概率的独立性检验，能否认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有家，事件“”的概率为.计算使取得最大值时的值.
附：，其中.
18.（本小题17分）已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）讨论的单调区间；
（3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
19.（本小题17分）某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为.
（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率.
（2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为.
（i）若，试运用概率与统计的知识，求关于的函数关系；
（ii）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值.（参考数据）
兴宁一中高二下期数学月考二试题
2024.6
一､选择题（共8小题）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【解析】.故选C
6.【答案】C 【详解】从10个数中任取5个不同的数，共有种情况，其中中位数为5，则要选5，且0､1､2､3､4中选2个数，中选2个数，故有种情况，故这5个不同的数的中位数为5的概率为.
7.【答案】A 【详解】由题意得.当时，得或，当时，，可得函数的单调增区间为.减区间为，即时，函数取得极小值，当时，即，解得或，故要使函数在区间上存在最小值，需有，解得.
8.【答案】D 【详解】令，得，令，得，两式相减，
其中被8整除，所以被8除的余数为1，从而能被8整除.故选：D.
二､多选题（共3小题）
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
【详解】对于A，依题意，，因此，A正确；
对于BD，解得，B错误，D正确；
对于C，依题意，，解得，C正确.故选：ACD
11.【答案】BD
【详解】首先求出时关于原点对称的函数为，
若要恰有两个“友情点对”，则有两解，即在上有两解，
令，求导可得，当为减函数，当，为增函数，则，若要在上有两解，则，故选：BD
三､填空题（共3小题）
12.【答案】0.043
13.【答案】4760
14.【答案】 解析：令，则.由，可知在上单调递增.不等式，即，从而.
四､解答题（共5小题）
15.解：（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则.
（2）的所有可能值为，且
综上知，的分布列为
（3）由题意知的所有可能值为，且，.综上知，的分布列为
16.【详解】（1）由题可知，
，所以
因为，所以变量和的线性
相关程度很强.
（2）.
所以关于的回归直线方程为.当时，，
所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件.
17.【详解】（1）零假设IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为，
所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关.
（2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为，没有广泛应用ChatGPT的概率为，因为，所以的分布列为且.若是最大值，则且，
根据即，整理得解得，又且，所以.即取最大值时为18.
18.【小问1详解】，
又，.故的图象在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】，又，
则时，当单调递增；当单调递减；
时，当单调递减；当单调递增；当单调递减；
时，当在单调递减；
时，当单调递减；当单调递增；
当单调递减.
综上所述：当的单调增区间为，单调减区间为；当的单调减区间为，单调增区间为；当的单调减区间为，没有单调增区间；
当的单调减区间为，单调增区间为.
【小问3详解】若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，故在单
调递增，又，则；故当时，
，
即当时，对任意，都有.
故的最大值为2.
19.【分析】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件，利用古典概型的概率公式求解即可.
（2）（i）由题意知取值的可能有，求出概率，即可求解期望，列出关系式，推出关于的函数关系；
（ii）由题意知，，得到.结合，推出，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化求解的最大值.
【解答】解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件，则，
即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为.
（2）（i）由题意知取值的可能有，
所以，
由，得，即，所以，
所以关于的函数关系.
（ii）由题意知，，所以，即.
所以，又，所以，
两边同时取对数，得，即，
设，则易知函数在上单调递减，，
所以的最大值为8.1
2
3
4
5
35
40
50
55
70
ChatGPT应用广泛性
招聘人数减少
招聘人数增加
合计
广泛应用
60
50
110
没有广泛应用
40
50
90
合计
100
100
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1
2
3
1
2
3
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的导函数为（ ）
A. B.
C. D.
2.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
3.对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ）
A.至少有一个样本点落在回归直线上
B.预报变量的值由解释变量唯一确定
C.决定系数越小，说明该模型的拟合效果越好
D.在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
4.随机变量的取值范围为，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.设随机变量，已知，则（ ）
6.从这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则被8除的余数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，函数的导函数为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.单调递增区间为
C.的极大值为1
D.方程有两个不同的解
10.下列命题中，正确的是（ ）
A.已知随机变量服从正态分布，若，则
B.从一副扑克52张牌（去掉两张王牌后）中任取1张，则在抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率为
C.用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件A发生的概率，若，则
D.已知随机变量的分布列为，则
11.若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ）
A.0 B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为__________.
13.某公司有50000元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利，一旦失败，一年后将丧失全部资金的，过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功192次，投资失败8次，则该公司一年后估计可获收益的期望是__________（元）.
14.若定义在上的函数满足，则不等式的解集为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；
（3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列.
16.（本题15分）某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱）
（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量.
参考数据：.
参考公式：相关系数；回归直线方程中
17.（本题15分）随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野.ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力､广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习､工作与生活中的出色助手.尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业.现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：
（1）依据小概率的独立性检验，能否认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有家，事件“”的概率为.计算使取得最大值时的值.
附：，其中.
18.（本小题17分）已知函数.
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）讨论的单调区间；
（3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）
19.（本小题17分）某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为.
（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率.
（2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为.
（i）若，试运用概率与统计的知识，求关于的函数关系；
（ii）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值.（参考数据）
兴宁一中高二下期数学月考二试题
2024.6
一､选择题（共8小题）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【解析】.故选C
6.【答案】C 【详解】从10个数中任取5个不同的数，共有种情况，其中中位数为5，则要选5，且0､1､2､3､4中选2个数，中选2个数，故有种情况，故这5个不同的数的中位数为5的概率为.
7.【答案】A 【详解】由题意得.当时，得或，当时，，可得函数的单调增区间为.减区间为，即时，函数取得极小值，当时，即，解得或，故要使函数在区间上存在最小值，需有，解得.
8.【答案】D 【详解】令，得，令，得，两式相减，
其中被8整除，所以被8除的余数为1，从而能被8整除.故选：D.
二､多选题（共3小题）
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
【详解】对于A，依题意，，因此，A正确；
对于BD，解得，B错误，D正确；
对于C，依题意，，解得，C正确.故选：ACD
11.【答案】BD
【详解】首先求出时关于原点对称的函数为，
若要恰有两个“友情点对”，则有两解，即在上有两解，
令，求导可得，当为减函数，当，为增函数，则，若要在上有两解，则，故选：BD
三､填空题（共3小题）
12.【答案】0.043
13.【答案】4760
14.【答案】 解析：令，则.由，可知在上单调递增.不等式，即，从而.
四､解答题（共5小题）
15.解：（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则.
（2）的所有可能值为，且
综上知，的分布列为
（3）由题意知的所有可能值为，且，.综上知，的分布列为
16.【详解】（1）由题可知，
，所以
因为，所以变量和的线性
相关程度很强.
（2）.
所以关于的回归直线方程为.当时，，
所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件.
17.【详解】（1）零假设IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为，
所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关.
（2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为，没有广泛应用ChatGPT的概率为，因为，所以的分布列为且.若是最大值，则且，
根据即，整理得解得，又且，所以.即取最大值时为18.
18.【小问1详解】，
又，.故的图象在点处的切线方程为，
即.
【小问2详解】，又，
则时，当单调递增；当单调递减；
时，当单调递减；当单调递增；当单调递减；
时，当在单调递减；
时，当单调递减；当单调递增；
当单调递减.
综上所述：当的单调增区间为，单调减区间为；当的单调减区间为，单调增区间为；当的单调减区间为，没有单调增区间；
当的单调减区间为，单调增区间为.
【小问3详解】若对任意，都有，则在上的最大值；
由（2）可知，当在单调递增，在单调递减，
故；
令，则，故在单
调递增，又，则；故当时，
，
即当时，对任意，都有.
故的最大值为2.
19.【分析】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件，利用古典概型的概率公式求解即可.
（2）（i）由题意知取值的可能有，求出概率，即可求解期望，列出关系式，推出关于的函数关系；
（ii）由题意知，，得到.结合，推出，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化求解的最大值.
【解答】解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件，则，
即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为.
（2）（i）由题意知取值的可能有，
所以，
由，得，即，所以，
所以关于的函数关系.
（ii）由题意知，，所以，即.
所以，又，所以，
两边同时取对数，得，即，
设，则易知函数在上单调递减，，
所以的最大值为8.1
2
3
4
5
35
40
50
55
70
ChatGPT应用广泛性
招聘人数减少
招聘人数增加
合计
广泛应用
60
50
110
没有广泛应用
40
50
90
合计
100
100
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
1
2
3
1
2
3
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