2023-2024学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市教育学会高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则该扇形的半径为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.若tanα<0，则( )
A. sinα<0B. csα<0C. sin2α<0D. cs2α<0
3.sin140°cs70°−sin50°sin70°=( )
A. − 32B. −12C. 32D. 12
4.在复平面内，复数z1，z2对应的两个点关于虚轴对称，已知z1=1+i，则z1z2=( )
A. −2B. 2C. −2−iD. −2+i
5.已知单位向量a,b满足|a−2b|= 2，则a⋅(a+b)的值为( )
A. 54B. 74C. 4D. 2
6.在△ABC中，若BC=2，AC= 2，A=45°，则△ABC的面积为( )
A. 3+12B. 3−12
C. 3+1D. 3−12或 3+12
7.将函数y=sin(2x+π3)图象上的点P(π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′，若P′在函数y=cs2x的图象上，则( )
A. t=12，s的最小值为π12B. t= 32，s的最小值为π12
C. t=12，s的最小值为π6D. t= 32，s的最小值为π6
8.在平面凸四边形ABCD中，已知BC=2，AC=1，AB⊥AC，∠ADC=150°，则AD⋅AB的最小值为( )
A. 12− 3B. 32− 3C. − 32D. −3 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，他们的位移分别为sA=(4,3)，sB=(−1,2).则( )
A. 在该时刻，sA⊥sB
B. 在该时刻，两个粒子的距离为 26
C. 在该时刻，粒子B相对于A的位移为s=(5,1)
D. 在该时刻，sA在sB上的投影向量为(−25,45)
10.已知函数f(x)=sin2x−cs2x，则( )
A. f(x)在(π3,2π3)上单调递增B. f(x)在(2π3,3π4)上单调递减
C. f(x)在(−π2,−π4)上单调递减D. f(x)在(3π2,7π4)上单调递增
11.下列说法中正确的有( )
A. 任意锐角α，β，有cs(α+β)B. 任意锐角α，β，有cs(α+β)C. 存在锐角α，β，有tan(α+β)>tanα+tanβ
D. 存在锐角α，β，有sin(α+β)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α的终边经过点(3,1)，则sin(α+π4)= ______．
13.如图，△OAB所在平面内的两点P，Q满足OP+OQ=xOA+yOB．
若P，Q是线段AB的两个三等分点，则xy= ______；
若P，Q是线段AB上的动点，则x+y= ______．
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(0)= 32，则ω的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,3)，B(6,8)，点M满足OM=λOB,λ∈R．
(1)若AM⊥OB，求λ；
(2)若(OM+OA)//AB，求M的坐标．
16.(本小题15分)
在复平面内，复数z对应的点在第四象限，设z+2z=a(a∈C)．
(1)若a=2，求z；
(2)若a∈R，求|z|．
17.(本小题15分)
已知α为钝角，tanα2=2．
(1)求tan(α−π4)的值；
(2)若锐角β满足7tan2β−7=2tanβ，求α+2β的值．
18.(本小题17分)
记函数f(x)=2sinωxsin(ωx+π3)−12(ω>0)的最小正周期为T，已知2π3(1)求ω的值；
(2)已知α，β是函数g(x)=f(x)−t在(0,π2)上的两个零点．
①求实数t的取值范围；②若t=45，求cs(α−β)的值．
19.(本小题17分)
三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角．
如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ．

(1)若θ=30°.求证：
①a2+b2+c2=4 3S△ABC(S△ABC为△ABC的面积)；
②△ABC为等边三角形．
(2)若A=2θ，求证：sin2A=sinBsinC．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为扇形的圆心角为120°，弧长为4π，所以120πr180=4π，解得r=6．
故选：D．
利用弧长公式l=nπr180，代入题中数据得到关于r的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查扇形的弧长公式及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：若tanα<0，则α为第二或第四象限角，
当α为第二象限角时，sinα>0，csα<0，2α为第三、四象限角，sin2α<0．
当α为第四象限角时，sinα<0，csα>0，2α为第三，四象限角，sin2α<0，
故A，B选项错误，C选项正确．不妨设α=3π4，tanα=−1<0，
cs2α=cs3π2=0，故D选项错误．
故选：C．
由已知可求α为第二或第四象限角，分类讨论即可求解．
本题主要考查了三角函数值的符号以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：sin140°cs70°−sin50°sin70°
=sin40°cs70°−cs40°sin70°
=sin(−30°)=−12．
故选：B．
由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题意，z2=−1+i，则z1z2=(1+i)(−1+i)=−2．
故选：A．
根据复数的乘法运算求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为单位向量a,b满足|a−2b|= 2，
所以|a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2=5−4a⋅b=2，所以a⋅b=34，
所以a⋅(a+b)=a2+a⋅b=1+34=74．
故选：B．
利用|a−2b|= 2求出a⋅b的值，再由向量数量积运算律计算即可．
本题考查了向量数量积的计算，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由余弦定理得，csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC，
所以cs45°=AB2+2−42 2AB= 22，
整理得AB2−2AB−2=0，
解得AB=1+ 3或1− 3(舍去)，
所以△ABC的面积为12AB⋅ACsinA=12×(1+ 3)× 2× 22=1+ 32．
故选：A．
先利用余弦定理求出AB，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查了余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得t=sin(π2+π3)=12，
则P′(π4−s,12)在y=cs2x上，
所以12=cs(π2−2s)=sin2s，
故2s=π6+2kπ，k∈Z，
因为s>0，
所以s的最小值π12．
故选：A．
由已知代入点的坐标先求出t，然后结合三角函数的图象平移可求s，即可．
本题主要考查了三角函数图象的平移，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：已知BC=2，AC=1，AB⊥AC，
则AB2=BC2−AC2=3，
即AB= 3，
设∠DAB=θ，
则AD⋅AB= 3|AD|csθ，
又∠ADC=150°，
设∠DAC=θ，0<θ<30°，
在△ACD中，由正弦定理可得：ADsin(300−θ)=ACsin150∘，
即AD=2sin(30°−θ)，
则AD⋅AB=|AD||AB|cs(π2+θ)=−2 3sin(30°−θ)sinθ= 3[cs30°−cs(30°−2θ)]
=32− 3cs(30°−2θ)，
则当θ=15°时，AD⋅AB的最小值为32− 3．
故选：B．
由平面向量数量积的运算，结合三角恒等变换及三角函数最值的求法求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，由题知，sA⋅sB=4×(−1)+3×2=2≠0，所以sA与sB不垂直，故A错误；
对于B，C，因为s=AB=sB−sA=(−1,2)−(4,3)=(−5,−1)，则|AB|= (−5)2+(−1)2= 26，故B正确，C错误；
对于D，sA在sB上的投影向量为sA⋅sB|sB|⋅sB|sB|=21+4sB=25sB=(−25,45)，故D正确．
故选：BD．
由平面向量垂直与模的坐标表示，投影向量的求法逐一判断各选项即可．
本题考查平面向量的数量积与模，向量垂直，投影向量等，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：因为f(x)=sin2x−cs2x=−cs2x，
所以x∈(π3,2π3)时，2x∈(2π3,4π3)，f(x)=−cs2x先增后减，选项A错误；
x∈(2π3,3π4)时，2x∈(4π3,3π2)，f(x)=−cs2x单调递减，选项B正确；
x∈(−π2,−π4)时，2x∈(−π,−π2)，f(x)=−cs2x单调递减，选项C正确；
x∈(3π2,7π4)时，2x∈(3π,7π2)，f(x)=−cs2x单调递减，选项D错误．
故选：BC．
利用二倍角公式化简f(x)=−cs2x，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了二倍角公式应用问题，也考查了三角函数图象与性质应用问题，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当α=β，且sinα=sinβ=13时，cs(α+β)=cs2α=1−2sin2α=79，而sinα+sinβ=23，
此时cs(α+β)>sinα+sinβ，故A项错误；
对于B，因为α、β∈(0,π2)，所以α+β∈(0,π)，α+β>α，α+β>β，
而函数y=csx在(0,π)上单调递减，所以cs(α+β)由此可得2cs(α+β)对于C，当α=β=π6时，tan(α+β)= 3，tanα+tanβ=2 33，此时tan(α+β)>tanα+tanβ，故C项正确；
对于D，当α=β=π6时，sin(α+β)= 32，且sinα+sinβ=1，此时sin(α+β)故选：BCD．
通过举反例加以说明，判断出A项的正误；根据余弦函数的单调性，结合不等式的性质证出cs(α+β)<12(csα+csβ)本题主要考查余弦函数的单调性、三角恒等变换公式；命题真假的判断及其应用等知识，属于中档题．
12.【答案】2 55
【解析】解：因为角α的终边经过点(3,1)，
所以sinα=1 10，csα=3 10，
则sin(α+π4)= 22(sinα+csα)= 22×4 10=2 55．
故答案为：2 55．
由已知结合三角函数的定义及两角和的正弦公式即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
13.【答案】1 2
【解析】解：因为OP+OQ=xOA+yOB，
若P，Q是线段AB的两个三等分点，则AP+BQ=0，
则OP+OQ=OA+AP+OB+BQ=OA+OB，
所以x=y=1，xy=1；
若P，Q是线段AB上的动点，设AP=λAB，BQ=μBA，
则OP+OQ=OA+AP+OB+BQ=OA+OB+(λ−μ)AB，
由平面向量基本定理可知，λ=μ且x=y=1，
故x+y=2．
故答案为：1，2．
由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可分别求解．
本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)，且f(0)= 32，
所以sinφ= 32，
又0<φ<π，即φ=π3或2π3，
当φ=π3时，f(x)=sin(ωx+π3)，
由f(2π3)=sin(2πω3+π3)=0，可得2πω3+π3=kπ，k∈Z，
所以ω=3k−12，k∈Z，
因为ω>0，则ω的最小值为1，
当ω=2π3时，由f(2π3)=sin(4πω3+π3)=0，可得4πω3+π3=kπ，k∈Z，
所以ω=3k−14，k∈Z，
因为ω>0，则ω的最小值为12，
则ω的最小值为12．
故答案为：12．
先由f(0)= 32求出φ，然后结合正弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为A(4,3)，B(6,8)，所以OM=λOB=(6λ,8λ)，
所以AM=OM−OA=(6λ−4,8λ−3)，OB=(6,8)，
所以AM⋅OB=6(6λ−4)+8(8λ−3)=100λ−48=0，解得λ=0.48；
(2)因为OM+OA=(6λ+4,8λ+3)，AB=(2,5)，
由(OM+OA)//AB，得2(8λ+3)−5(6λ+4)=0，
解得λ=−1，所以M的坐标为(−6,−8)．
【解析】(1)根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列方程求解即可；
(2)根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值，再写出M的坐标．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
16.【答案】解：设z=m+ni，m>0，n<0，
则m+ni+2m+ni=m+ni+2(m−ni)m2+n2=m+2mm2+n2+(n−2nm2+n2)i，
(1)若a=2，则m+2mm2+n2=2，n−2nm2+n2=0，
解得m=1，n=−1，
所以z=1−i；
(2)若a∈R，则n−2nm2+n2=0，
因为n<0，
所以m2+n2=2，
故|z|= m2+n2= 2．
【解析】(1)结合复数的四则运算对z+2z进行化简，然后结合复数相等条件可求z；
(2)结合复数的相等条件及模长公式即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数模长公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为tanα2=2，
所以tanα=2tanα21−tan2α2=41−4=−43，
所以tan(α−π4)=tanα−11+tanα=−73−13=7；
(2)锐角β满足7tan2β−7=2tanβ，即2tanβ1−tan2β=tan2β=−7，
所以tan(α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−43−71−(−43)×(−7)=1，
因为π2<α<π，tanα<−1，
所以π2<α<3π4，
因为0<β<π2，tan2β<−1，
所以2β∈(π2,3π4)，
所以α+2β∈(π,3π2)，
所以α+2β=54π.
【解析】(1)由已知结合二倍角及和差角的正切公式即可求解；
(2)由题意得，2tanβ1−tan2β=tan2β=−7，然后结合两角和的正切公式可求tan(α+2β)，结合角的范围即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=2sinωxsin(ωx+π3)−12=2sinωx(12sinωx+ 32csωx)−12
=sin2ωx+ 3sinωxcsωx−12
= 32sin2ωx−12cs2ωx
=sin(2ωx−π6)，
由题意得，2π3<πω<3π2，
解得，23<ω<32，
因为f(π2)=f(π6)，
所以函数图象关于x=π3对称，
即2πω3−π6=π2+kπ，k∈Z，
则k=0时，ω=1符合题意；
(2)①由(1)得，f(x)=sin(2x−π6)，
由g(x)=f(x)−t在(0,π2)上的两个零点可知，y=f(x)与y=t在(0,π2)上有两个交点，
f(x)在(0,π2)上大致图象如图所示，
结合函数图象可知，12故t的范围为{t|12
②若t=45，则sin(2α−π6)=sin(2β−π6)=45，
根据函数的对称性可知，2α−π6+2β−π6=π，即α+β=2π3，
所以cs(α−β)=cs(2π3−2β)=cs(π2+π6−2β)=sin(2β−π6)=45．
【解析】(1)先结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期及对称性即可求解；
(2)①由已知可转化为y=f(x)与y=t在(0,π2)上有两个交点，作出f(x)的图象，结合函数图象即可求解；
②结合已知可先求出sin(2α−π6)=sin(2β−π6)=45，再根据函数的对称性可求α+β=2π3，代入到cs(α−β)，结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)①证明：若θ=30°，
则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC
=12c⋅APsinθ+12a⋅BPsinθ+12b⋅CPsinθ
=12sinθ(c⋅AP+a⋅BP+b⋅CP)=14(c⋅AP+a⋅BP+b⋅CP)，
所以c⋅AP+a⋅BP+b⋅CP=4S△ABC，
在△PAB，△PBC，△PAC中，分别由余弦定理得：
BP2=c2+AP2−2c⋅APcsθ，
CP2=a2+BP2−2a⋅BPcsθ，
AP2=b2+CP2−2b⋅CPcsθ，
三式相加整理得2csθ(c⋅AP+a⋅BP+b⋅CP)=a2+b2+c2，
即 3×4S△ABC=a2+b2+c2，所以a2+b2+c2=4 3S△ABC；
②证明：由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
则a2+b2+c2−4 3S△ABC=2b2+2c2−2bccsA−4 3S△ABC
=2b2+2c2−2bccsA−2 3bcsinA=2b2+2c2−4bcsin(A+π6)≥4bc−4bc=0，
当且仅当b=c且sin(A+π6)=1时取等号，
因为A∈(0,π)，所以A+π6∈(π6,7π6)，所以A+π6=π2，所以A=π3，
即当且仅当b=c且A=π3时取等号，即当且仅当△ABC为等边三角形时取等号，
所以a2+b2+c2≥4 3S△ABC，当且仅当△ABC为等边三角形时取等号，
又由①知a2+b2+c2=4 3SΔABC，所以△ABC为等边三角形；
(2)由(1)得S△ABC=12sinθ(c⋅AP+a⋅BP+b⋅CP)，
所以c⋅AP+a⋅BP+b⋅CP=2S△ABCsinθ，
因为a2+b2+c2=2csθ(c⋅AP+a⋅BP+b⋅CP)，
所以a2+b2+c2=2csθ⋅2SABCsinθ=2csθ⋅bcsin2θsinθ=4bccs2θ，
又由余弦定理可得b2+c2=a2+2bccs2θ=a2+2bc(cs2θ−sin2θ)，
所以2a2+2bc(cs2θ−sin2θ)=4bccs2θ，
所以a2=bc(sin2θ+cs2θ)，
所以a2=bc，
由正弦定理可得sin2A=sinBsinC．
【解析】(1)①先根据SΔABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC表示出三角形得面积，再在△PAB，△PBC，△PAC中由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；②先利用作差法证明a2+b2+c2≥4 3SΔABC，并求出取等号的条件，再结合a2+b2+c2=4 3SΔABC即可得证；
(2)根据(1)得出a2+b2+c2与S△ABC的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，化简整理即可得证．
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了转化思想，属于难题．