2023-2024学年江苏省盐城市五校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市五校联考高一（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=(1−i)(2+i)的实部为( )
A. 3iB. 3C. −iD. −1
2.sin27°cs18°+cs27°sin18°的值为( )
A. 22B. 32C. 12D. 1
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a：b：c=3：4：6，则csA的值为( )
A. 14B. −14C. 4348D. −4348
4.已知向量a，b的夹角为3π4，|a|= 2，|b|=1，则|a+b|=( )
A. 1B. 3C. 5D. 5
5.在△ABC中，acsA=bcsB，则△ABC的形状是( )
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
6.tan23°+tan37°+ 3tan23°tan37°=( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
7.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，我们把数量|a||b|sinθ叫作向量a与b的叉乘a×b的模，记作|a×b|，即|a×b|=|a||b|sinθ.若向量a=(2,4)，b=(−3,1)，则|a×b|=( )
A. −14B. 14C. −2D. 2
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知A=π6，则2sinB−csC的取值范围为( )
A. (− 32, 3)B. ( 32, 3]C. (− 32,32)D. (0, 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=2 2，c=2 3，A=π4，则C的值可以是( )
A. 5π6B. 2π3C. 3π4D. π3
10.已知csα=− 55，csβ=35，其中α∈(π2,π)，β∈(0,π2)，以下判断正确的是( )
A. sin2α=45B. cs2β=−725
C. cs(α−β)= 55D. sin(α+β)=2 525
11.已知a，b是两个不共线的向量，且|a|= 3，|b|=1，则下列结论中正确的是( )
A. |a−b|的取值范围是( 3−1, 3+1)
B. − 3≤a⋅b≤ 3
C. a在b方向上的投影向量可能为0
D. a+b与a−b的夹角最大值为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足z−(1−i)=1+i(i是虚数单位)，则z=______．
13.如图，在△ABC中，AN=13AC，P是线段BN上的一点，若AP=mAB+17AC，则实数m= ______．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若tanAtanB=2(tanA+tanB)tanC，则c2a2+b2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
实数m取什么值时，复数z=(m2−2m−3)+(m2−5m−6)i是：
(1)实数？
(2)纯虚数？
16.(本小题15分)
已知向量a=(1,2)，b=(3,k)．
(1)若a//b，求实数k的值；
(2)若a⊥(a+2b)，求实数k的值．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且b2+c2−a2=bc．
(1)求A；
(2)已知a=3，△ABC的面积为9 34，且AD为角A的角平分线，求线段AD的长．
18.(本小题17分)
已知平面向量a=(sinx,csx)，b=( 3csx,−csx)，设函数f(x)=2a⋅b．
(1)求f(x)的最大值；
(2)若在△ABC中f(A)=−2，D在BC边上，且∠BAD=π2，BD=2DC=2，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．
(1)设函数g(x)=4cs(x2−π3)⋅csx2−1，试求g(x)的伴随向量OM；
(2)将(1)中函数g(x)的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把整个图像向左平移2π3个单位长度，得到h(x)的图像，已知A(−2,3)，B(2,6)，问在y=h(x)的图像上是否存在一点P，使得AP⊥BP，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为数z=(1−i)(2+i)=2+i−2i+1=3−i，
则z的实部为3．
故选：B．
由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
【解答】
解：sin27°cs18°+cs27°sin18°
=sin(27°+18°)
=sin45°
= 22．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：因为a：b：c=3：4：6，
设a=3，b=4，c=6，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=16+36−92×4×6=4348．
故选：C．
由题意设a，b，c的值，由余弦定理可得csA的值．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：|a+b|= (a+b)2
= a2+2a⋅b+b2
= 2+2× 2×1×(− 22)+1=1．
故选：A．
根据向量的模长公式进行计算即可．
本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数的关系式变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用正弦定理整理得sin2A=sin2B，进一步利用三角函数的关系式的变换求出结果．
【解答】
解：利用正弦定理：acsA=bcsB转换为sinAcsA=sinBcsB，
整理得sin2A=sin2B，
故2A=2B或2A+2B=π；
所以A=B或A+B=π2；
故三角形为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：因为tan(23°+tan37°)=tan23°+tan37°1−tan23∘tan37∘= 3，
则tan23°+tan37°+ 3tan23°tan37°= 3．
故选：A．
结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由向量a=(2,4)，b=(−3,1)，
可得csθ=a⋅b|a||b|=−6+4 20× 10=− 210，
从而sinθ= 1−cs2θ=7 210，
则|a×b|=|a||b|sinθ= 20× 10×7 210=14．
故选：B．
由向量坐标，首先求得夹角余弦值，进而求得夹角正弦值，即可求解．
本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
已知A=π6，
则2sinB−csC=2sinB−cs(5π6−B)
=2sinB+ 32csB−12sinB
=32sinB+ 32csB
= 3sin(B+π6)，
又B+π6∈(π6,π)，
则2sinB−csC∈(0, 3]．
故选：D．
由两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质求解．
本题主要考查两角和与差的正弦公式．属基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：因为a=2 2，c=2 3，A=π4，由正弦定理可得asinA=csinC，
即sinC=ca⋅sinA=2 32 2× 22= 32，又因为C∈(0,3π4)，
所以C=π3或2π3．
故选：BD．
由正弦定理及角C的范围，可得角C的大小．
本题考查正弦定理的应用及三角形的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：已知csα=− 55，csβ=35，其中α∈(π2,π)，β∈(0,π2)，
则sinα=2 55，sinβ=45，
对于选项A，sin2α=2sinαcsα=−45，
即选项A错误；
对于选项B，cs2β=2cs2β−1=−725，
即选项B正确；
对于选项C，cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=(− 55)×35+2 55×45= 55，
即选项C正确；
对于选项D，sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=2 55×35+(− 55)×45=2 525，
即选项D正确．
故选：BCD．
由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数及二倍角公式逐一判断．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数及二倍角公式，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：选项A：由|a|−|b|≤|a−b|≤|a|+|b|以及a，b不共线可知， 3−1<|a−b|< 3+1，故A正确；
选项B：由于a，b不共线，所以−1<1，又a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉= 3cs〈a,b〉，因此− 3选项C：当a⊥b时，a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|2⋅b=0，故C正确；
选项D：设a+b与a−b的夹角为θ，则csθ=(a+b)⋅(a−b)|a+b||a−b|=|a|2−|b|2 (a+b)2 (a−b)2=3−1 (4+2a⋅b)⋅(4−2a⋅b)=1 4−(a⋅b)2，
由于− 3因为θ∈[0,π]，所以θ∈(0,π3]，即a+b与a−b的夹角的最大值为π3，故D正确．
故选：ACD．
根据|a|−|b|≤|a−b|≤|a|+|b|判断A；根据−1本题考查了平面向量的数量积与夹角公式的应用问题，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】−i
【解析】解：由z−(1−i)=1+i，
得z−=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．
则z=−i．
故答案为：−i．
由z−(1−i)=1+i，得到z−=1+i1−i，再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
13.【答案】47
【解析】解：由B，P，N三点共线，有BP=λBN，λ∈R，
即AP−AB=λ(AN−AB)，可得AP=λAN+(1−λ)AB，
又AN=13AC，AP=mAB+17AC，
则AP=mAB+17AC=mAB+37AN，
由平面向量基本定理有，λ=37且m=1−λ，
所以m=47．
故答案为：47．
由AP=mAB+37AN=λAN+(1−λ)AB，根据平面向量基本定理，即可得到m的值．
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
14.【答案】15
【解析】解：因为tanAtanB=2(tanA+tanB)tanC，
所sinAsinBcsAcsB=2⋅sinAcsB+csAsinBcsAcsB⋅sinCcsC=2sin(A+B)sinCcsAcsBcsC，
在三角形中，可得sin(A+B)=sinC，
所以sinAsinBcsC=2sin2C，
由正弦定理和余弦定理可得：ab⋅a2+b2−c22ab=2c2，
整理可得a2+b2=5c2，
所以c2a2+b2=15．
故答案为：15．
将正切转化为正弦、余弦，再由正弦定理，余弦定理可得a，b，c之间的关系，进而求出c2a2+b2的值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用及正切转化为正弦、余弦的应用，属于基础题．
15.【答案】解：(1)因为复数z=(m2−2m−3)+(m2−5m−6)i是实数，
所以m2−5m−6=0，解得m=−1或6．
所以m=−1或6时，复数z是实数．
(2)因为复数z=(m2−2m−3)+(m2−5m−6)i是纯虚数，
所以m2−2m−3=0且m2−5m−6≠0，解得m=3，
所以m=3时，复数z是纯虚数．
【解析】(1)结合实数的定义，即可求解；
(2)结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
16.【答案】解：(1)向量a=(1,2)，b=(3,k)，
因为a//b，所以1×k−2×3=0，解得k=6．
(2)因为a=(1,2)，b=(3,k)，所以a+2b=(7,2+2k)，
因为a⊥(a+2b)，所以1×7+2×(2+2k)=0，解得k=−114．
【解析】(1)利用向量平行的性质能求出结果．
(2)利用向量坐标运算法则、向量垂直的性质能求出结果．
本题考查向量坐标运算法则、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)由b2+c2−a2=bc，结合余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)因为△ABC的面积为9 34，所以12bcsinπ3=9 34，解得bc=9．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，且a=3，A=π3，
可得9=b2+c2−18×12，即b2+c2=18，
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=18+18=36，
因为b>0，c>0，所以b+c=6，
因为AD为角A的角平分线，所以S△ABD+S△ACD=S△ABC，
所以12c⋅AD⋅sinπ6+12b⋅AD⋅sinπ6=14(b+c)AD=9 34，
所以AD=3 32．
【解析】(1)由三角形的余弦定理可得所求角；
(2)由三角形的面积公式和等积法、余弦定理，解方程可得所求值．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)已知平面向量a=(sinx,csx)，b=( 3csx,−csx)，设函数f(x)=2a⋅b，
因为a=(sinx,csx)，b=( 3csx,−csx)，
所以f(x)=2a⋅b=2 3sinxcsx−2cs2x= 3sin2x−(1+cs2x)
=2( 32sin2x−12cs2x)−1=2sin(2x−π6)−1，
所以f(x)的最大值为2−1=1；
(2)在△ABC中f(A)=−2，D在BC边上，且∠BAD=π2，BD=2DC=2，
因为f(A)=−2，所以sin(2A−π6)=−12，
因为A∈(0,π)，所以2A−π6=(−π6,11π6)，
所以2A−π6=7π6，所以A=2π3，
因为∠BAD=π2，所以∠CAD=π6，
在△ABD中，BDsin∠BAD=ABsin∠BDA，所以2sinπ2=csin∠BDA，所以sin∠BDA=c2，
在△ACD中，CDsin∠CAD=ACsin∠CDA，所以1sinπ6=bsin∠CDA，所以sin∠CDA=b2，
因为∠BDA+∠CDA=π，所以sin∠BDA=sin∠CDA，
所以b2=c2，所以b=c，
因为csA=b2+c2−a22bc，且A=2π3，a=3，
所以b=c= 3，所以三角形的周长为3+2 3．
【解析】(1)利用平面向量数量积和三角函数的恒等变换，即可求解；
(2)由题意得到A=2π3，利用正弦定理和余弦定理即可求解．
本题考查了平面向量数量积的运算和正、余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为g(x)=4cs(x2−π3)⋅csx2−1，
所以g(x)=4(12csx2+ 32sinx2)csx2−1
=(2cs2x2+2 3sinx2csx2)−1= 3sinx+csx，
所以g(x)的伴随向量OM=( 3,1)．
(2)因为g(x)= 3sinx+csx=2cs(x−π3)，
因为将g(x)的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把整个图像向左平移2π3个单位长度，得到h(x)的图像，
所以h(x)=2csx2，
假设存在点P(x,2csx2)，使得AP⊥BP，
则AP⋅BP=(x+2,2csx2−3)⋅(x−2,2csx2−6)
=x2−4+4cs2x2−18csx2+18=0，(2csx2−92)2=254−x2，
因为−2≤2csx2≤2，所以−132≤2csx2−92≤−52，所以254≤(2csx2−92)2≤1694，当x=0时取等号，
此时P(0,2)，故在函数y=h(x)的图象上存在点P，使得AP⊥BP．
【解析】(1)由已知结合和差角公式，二倍角公式对g(x)进行化简，即可求解；
(2)结合三角函数图象的变换可求h(x)，然后结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，还考查了二倍角公式，辅助角公式，三角函数图象的变换及性质的应用，属于中档题．