广东省深圳南山实验集团麒麟中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1.答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B铅笔填涂考号．
2.用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效．
第一部分选择题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确）
1. 2023年上海微电子研发的28纳米浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28纳米为0.000000028米，将数据0.000000028用科学记数法表示应为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法-表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【详解】解：．
故选：C．
2. 下列四个图中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的性质、互补的定义和角在图形中的位置逐项判断即可.
【详解】解：A、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意；
B、图形中的是对顶角，所以，故本选项符合题意；
C、图形中的与不能判断是否相等，故本选项不符合题意；
D、图形中的与是邻补角，不能判断是否相等，故本选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了对顶角的性质和互补的定义，正确识别图形、熟知对顶角相等的性质是解题关键.
3. 下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
【详解】解：A、C、D选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．
4. 如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可
【详解】解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键
5. 下列命题中，说法错误的个数有（ ）
①等角的余角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③相等的角是对顶角；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据余角的概念、平行公理、对顶角、平行线的性质、点到这条直线的距离的概念判断即可．
【详解】解：①等角的余角相等，本小题说法正确；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误；
③相等的角不一定是对顶角，故本小题说法错误；
④两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题说法错误；
⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故本小题说法错误．
故本题选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握余角的概念、平行公理、对顶角、平行线的性质、点到这条直线的距离的概念是解题的关键．
6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A. 20°B. 30°C. 50°D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
7. 如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，
根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可．
【详解】解：由作图可知，在与中，
，
则．
∴，即，
∴．
故选：D．
8. 梦想从学习开始，事业从实践起步，近来较多的人每天登录“学习强国”APP，则下列说法错误的是（ ）
A. 在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量
B. 周积分随学习天数的增加而增加
C. 周积分与学习天数的关系式为
D. 天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格所给的数据，结合因变量与自变量的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量，说法正确，不符合题意；
B、由表格中的数据可知周积分随学习天数的增加而增加，说法正确，不符合题意；
C、周积分与学习天数的关系式不满足（如当n=3时，w≠165），说法错误，符合题意；
D、天数每增加1天，周积分的增长量不一定相同（增长分别为55，50，40，54，46，50），说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，用关系式表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键．
9. 如图，在长方形ABCD中，点E为AB上一点，且CD=5，AD=2，AE=3,动点P从点E出发，沿路径E-B-C-D运动，则△DPE 的面积y与点P运动的路径长x之间的关系用图象表示大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出BE的长，然后分①点P在BE上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可；②点P在BC上时，根据S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP列式整理得到y与x的关系式；③点P在DC上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系．
【详解】解：∵在矩形DABC中，AD=2，DC=3，
∴BC=AD=2，AB=DC=5，
∵AE=3，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
①点P在BE上时，，
∴y=x（0＜x≤2），
②点P在BC上时，
S△DPE=S梯形DEBC-S△DCP-S△BEP


，
；
③点P在DC上时，△DPE的面积，
故选C．
【点睛】本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键．
10. 已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，．下列结论中，正确的有（ ）
①当为关于的三次三项式时，则；
②当多项式乘积不含时，则；
③；
④当能被整除时，；
⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则
A. ①③④⑤B. ①③④C. ①③⑤D. ①②③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据整式的加减法法则、整式的乘法法则、整式的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】
为关于的三次三项式，且为非零常数
，故①正确；
多项式乘积不含项
，故②错误；
当时，
当时，
，故③正确；
能被整除
设另一因式为
，故④正确；
当或时，无论和取何值，值总相等
，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①③④⑤
故选：A．
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. （）2018×（﹣1.25）2019＝_____．
【答案】﹣1.25##
【解析】
【分析】分析：根据积的乘方运算法则进行计算．
【详解】解：原式＝（ ）2018×（﹣1.25）2018×（﹣1.25）
＝[×（﹣1.25）]2018×（﹣1.25）
＝（﹣1）2018×（﹣1.25）
＝1×（﹣1.25）
＝﹣1.25
故答案为：﹣1.25．
【点睛】本题考查了积的乘方，将两个指数不同的因式将指数变相同是解题的关键．
12. 若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 _____．
【答案】11或−13##-13或11
【解析】
分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x＋9，
∴m＋1＝±12，
∴m＝11或m＝−13．
故答案为：11或−13．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
13. 设a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝_____．
【答案】a﹣3b+c
【解析】
【分析】直接利用三角形三边关系进而化简得出答案．
【详解】解：∵a，b，c为△ABC的三边，
∴a﹣b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣b+c﹣（a+b﹣c）+（a﹣b﹣c）
＝a﹣b+c﹣a﹣b+c+a﹣b﹣c
＝a﹣3b+c．
故答案为：a﹣3b+c．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，注意三角形的三边关系和绝对值的性质的综合运用．
14. 图1是某折叠式靠背椅的实物图，支撑杆，可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，段在转动过程中形状保持不变．图2是椅子合拢状态的侧面示意图，椅面和靠背平行，测得，，则可得靠背与水平地面的夹角．如图3，打开时椅面与地面平行，延长交于点I，平分，若，此时靠背与水平地面的夹角_______

【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，平行线的性质，三角形内角和等知识，熟练掌握以上知识点并会运用空间想象能力是求解的关键．
【详解】解：在图3中，∵，，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
即，
又∵平分，
∴
又∵
∴，
即，
故答案是：．
15. 如图：在△ABC中，∠ACB ＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为_______
【答案】4
【解析】
【分析】延长AC至点G，使AG=AB，延长EF、CA交于H，根据题意证明△CEH≌CGB，即可得到DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AF=BC-2AF，即可求解.
【详解】设∠BCD=a,∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-a，∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=90°-a，∴∠CAB=2a,∴∠ABC=90°-2a,
∵EF⊥CD,∴∠DKF=90°，∴∠DFK=a，∴∠CEF=90°-a,
延长AC至点G，使AG=AB，连接BG,∴∠G=90°-a=∠CEF，
∵AC=AD,∴BD=CG=CE,
延长EF、CA交于H，
∴∠H=a=∠BFE=∠AFH，
∴AH=AF=2，
∵∠ACB=∠BCG=90°，CG=CE，∠G=∠CEF
∴△CEH≌CGB
∴BC=CH=8，
∴DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AF=BC-2AF=4.
故填：4.
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
三、解答题（本大题有7题，其中16题12分，17题6分，18题7分，19题8分，20题6分，21题8分，22题8分，共55分）
16. 计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）1； （2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据实数的运算法则计算即可；
（3）根据实数的运算法则计算即可；
（4）根据实数的运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：
．
【小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则．
17. 先化简，再求值，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式计算，再计算括号内，然后计算括号外的，再把，代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
当，时
原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
18. 如图，，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵，（已知）
∴∠1=∠ =60°．（ ）
∵∠1=∠C，（已知）
∴∠C=∠B=60°．（等量代换）
∵，（已知）
∴∠C+∠ =180°．（ ）
∴∠ =180°-∠C=180°-60°=120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（ ）
∴∠1=∠ADE．（等量代换）
∴．（ ）
【答案】B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线性质；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】利用平行线的性质和判定，角平分线的性质去进行填空．
详解】解∵，（已知）
∴∠1=∠B=60°．（两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠C，（已知）
∴∠C=∠B=60°．（等量代换）
∵，（已知）
∴∠C+∠ADC=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°．（等式性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE=∠ADC=×120°=60°．（角平分线性质）
∴∠1=∠ADE．（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．
19. 如图，已知A，D，C，E同一直线上，BC和DF相交于点O，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定；先证明，，再利用证明即可；
（2）本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20. 甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；
（2）对比图①、图②可知______，______；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
【答案】（1）25，10
（2）10，1.5 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；
（2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值；
（3）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．
【小问1详解】
解：由图可得，
甲的速度为：，乙的速度为：，
故答案为：25，10；
【小问2详解】
解：由图可得，
，
，
故答案为：10；1.5；
【小问3详解】
解：由题意可得，
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．
【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是由函数图象得到解题的信息．
21. 完全平方公式经常可以用作适当变形来解决很多的数学问题．
（1）若，，求的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若，，则______；
②若，则______．
（3）如图，边长为6的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）3 （2）① ② 17
（3）125
【解析】
【分析】(1) 根据变形计算即可．
(2) ①根据变形代入计算即可．
②设，则，根据变形计算即可．
（3）根据题意，得到，结合已知，变形计算即可．
【小问1详解】
∵，，，
∴
解得．
【小问2详解】
①∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
②设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：17．
【小问3详解】
如图，得到，
∵长方形的周长为16，面积为15.75，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握公式的变形是解题的关键．
22. 综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线直线，直线分别交直线、直线于点H、G，
求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
“如图2，点N在射线上，点M在射线上，点Q在射线上，点P在射线上，连结，且，探究直线与直线之间的位置关系并说明理由；”
问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接，使平分，，若给出与一定的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图3，若，求∠PMH的度数并说明理由．”

【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等角代换即可证明；
（2）延长，交于点K，由题意得，又，可得，又，结合三角形外角的性质可得，即可求解；
（3）分别作，，再由平行公理的推论得，又由结合平分求得，再由已知，借助方程的思想，再通过角之间的转换，由即可求解．
【详解】解：（1）如图1，

∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）如图2，

延长，交于点K，
∵，
∴．
又，
∴．
又∵，
，
又，
∴．
∴．
∴．
（3）解：如图3，

过M作，过K作，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴可设．
又，
∴．
∴平分．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定和平行公理的推论，需要熟练掌握角之间的转化是关键．学习天数（天）
1
2
3
4
5
6
7
周积分/（分）
55
110
160
200
254
300
350