黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版含解析），共22页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 命题“”否定是， 已知实数，则的， 下列等式恒成立的是， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分共2页）
第I卷（共60分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“”否定是（ ）
A. B.
C D.
3. 已知命题，，命题指数函数在上是增函数，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
5. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）
A. 300年B. 255年C. 175年D. 125年
6. 下列选项中两数大小关系错误的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知实数，则的（ ）
A. 最小值为1B. 最大值为1C. 最小值为D. 最大值为
8. 定义区间的长度均为．用表示不超过x的最大整数．记，其中．设，若用d表示不等式解集区间的长度，则当时，有
A. B. C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数，函数无最小值
B. 对任意实数，函数都有零点
C. 当时，函数在上单调递增
D. 对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根
11. 已知函数的图象的一个对称中心为，其中，则（ ）
A. 直线为函数的图象的一条对称轴
B. 函数单调递增区间为 ，
C. 当时，函数的值域为
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
12. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A. 当，有1个零点B. 当时，有3个零点
C. 当时，有9个零点D. 当时，有7个零点
第II卷（共90分）
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 求函数的定义域为________.
14. 已知函数满足，且，则与的大小关系为__________.
15. 计算：＝______.
16. 已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是__________
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17 已知函数，且
（1）求常数的值；
（2）求使成立的实数的取值集合．
18. 设．
（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；
（2）当时，试解关于的不等式.
19. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
20. 已知函数，.
（1）时，求的值域；
（2）若的最小值为4，求的值.
21. 已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
22. 若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域的“阶局部奇函数”.
（1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”？并说明理由；
（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）对于任意实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合.10
15
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30
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哈尔滨市第九中学2023—2024学年度下学期
2月学业阶段性评价考试高一数学学科考试试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分共2页）
第I卷（共60分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解对数不等式和绝对值不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.
详解】由，即，所以，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”否定是：.
故选：C
3. 已知命题，，命题指数函数在上是增函数，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数是增函数，得到不等式，求出，根据推出关系，得到答案.
【详解】由得，
故当时，指数函数在上是增函数，
因为，，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
4. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以的两根是或2，由韦达定理可得：，
所以可转化为，解得或.
所以原不等式的解集为，
故选：B.
5. 某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）
A. 300年B. 255年C. 175年D. 125年
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案．
【详解】依题意可得，
即，
所以．
故选：A．
6. 下列选项中两数大小关系错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指对幂函数及正切函数的单调性可得答案.
【详解】因为为减函数，，所以，A正确.
因为为增函数，，所以，B正确.
因为为增函数，，所以，C错误.
因为在区间上为增函数，，所以，D正确.
故选：C.
7. 已知实数，则的（ ）
A. 最小值为1B. 最大值为1C. 最小值为D. 最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式得出结果.
【详解】因为，
当且仅当即时取等号；
故最大值为，
故选：D.
8. 定义区间的长度均为．用表示不超过x的最大整数．记，其中．设，若用d表示不等式解集区间的长度，则当时，有
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：
故
令f(x)－g(x)<0，可得2≤x≤3，故d＝3－2＝1．选A
考点：新定义问题
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由诱导公式可判断AC，由二倍角公式、辅助角公式可分别判断BD.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数，函数无最小值
B. 对任意实数，函数都有零点
C. 当时，函数在上单调递增
D. 对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根
【答案】ABD
【解析】
【分析】取特值结合单调性判断A；分段讨论判断B；举特值分析单调性判断C；分析函数性质，结合图象判断D.
【详解】函数的定义域为R，
函数图象由函数的图象向右平移1个单位而得，函数在R上是增函数，
对于A，当时，函数在上单调递增，当时，，
当时，，此时函数无最小值，A正确；
对于B，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，
因此对任意实数，函数都有零点，B正确；
对于C，取，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，而，
此时函数在上不单调，C错误；
对于D，对任意，函数在上单调递减，函数值集合为，
在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
显然恒有，当时，直线与函数的图象有3个交点，
因此方程有3个不同的实根，D正确.
故选：ABD
思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
11. 已知函数的图象的一个对称中心为，其中，则（ ）
A. 直线为函数的图象的一条对称轴
B. 函数的单调递增区间为 ，
C. 当时，函数的值域为
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据题意求出函数的解析式，利用整体代入的方法判断函数的对称轴即可判断A；利用整体代入的方法求解函数单调递增区间即可判断B；利用整体思想，求出函数的值域即可判断C；根据三角函数的平移伸缩变换求出平移后的解析式即可判断D．
【详解】由函数 的图象的一个对称中心为 ，
则，得，即，，
又，得，所以．
对于A，当时，，所以直线为函数的图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，令，，解得，，故B错误；
对于C，由，则，所以，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，故D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A. 当，有1个零点B. 当时，有3个零点
C. 当时，有9个零点D. 当时，有7个零点
【答案】AD
【解析】
【分析】设，即有，再按和讨论并作出函数图象，数形结合即可判断得解.
【详解】由，得，则函数的零点个数即为解的个数，
设，则，二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，
当时，在上单调递减，且，如图，
由，得，解得，由，得，解得，
因此函数的零点个数是1，A正确，B错误；
当时，，作出函数的图象如图，

由图象知有3个根，当时，，解得；
当时，，解得，
当时，，若，则，若，则，此时共有3个解；
当时，，此时有1个解，
，即有2个解，
当时，，此时有1个解，
即无解，
因此当时，函数的零点个数是7，D正确，C错误.
故选：AD
【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.
第II卷（共90分）
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 求函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】用函数定义域的知识直接求解即可.
【详解】由题意得，，
解得，
故答案为:
14. 已知函数满足，且，则与的大小关系为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用题意得到，，可知在单调递减，在单调递增，然后分，，三种情况进行讨论，即可得到答案
【详解】因为满足，所以关于对称，
因为，
所以，解得，
因为，所以，
故在单调递减，在单调递增，
当时，，所以，即；
当时，，所以，即；
当时，，所以，即，
综上所述，
故答案为：
15. 计算：＝______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.
【详解】由题意．
故答案为：．
16. 已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】由可得，由可得出的取值范围，由已知条件可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】由，可得，
当时，，
因为方程在区间有且仅有个实根，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知函数，且
（1）求常数的值；
（2）求使成立的实数的取值集合．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦差角公式、余弦差角公式、辅助角公式化简函数并求值即可；
（2）根据题意并结合正弦函数图象相关知识列出不等式求解即可.
【小问1详解】
，所以
【小问2详解】
由（1）知，，
由，即
所以，
所以，
所以，
则使成立的实数的取值集合为
18. 设．
（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；
（2）当时，试解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）依题意不等式有实数解，分、、三种情况讨论，当时需，即可求出参数的取值范围；
（2）原不等式可化为，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则符合题意.
当时，取，则成立，符合题意.
当时，二次函数的图像开口向下，
要有解，当且仅当，所以.
综上，实数的取值范围是.
【小问2详解】
不等式，
因为，所以不等式可化为，
当，即时，不等式无解；
当，即时，；
当，即时，；
综上， 当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
19. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
【答案】19. 选择模型②：，
20. 441
【解析】
【分析】（1）由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，所以选择模型②：.由，确定，，确定的值，就可确定;
（2）由第10天的日销售收入为505元确定，根据题意确定的解析式，分别用基本不等式和函数单调性求得最小值.
【小问1详解】
由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，
①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．
所以选择模型②：，
由，可得，解得，
由，解得，，
则日销售量与时间x的变化的关系式为．
【小问2详解】
因为第10天的日销售收入为505元，则，解得．
由（1）知，
由 ，
当，时，，
当且仅当时，即时等号成立，，
当，时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值441．
20. 已知函数，.
（1）时，求的值域；
（2）若的最小值为4，求的值.
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；
（2）设可将原函数转化为二次函数，对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.
小问1详解】
由题意得，，，
令，，，
当时，，，在上单调递增，
故，
故的值域为；
【小问2详解】
由（1）得，，对称轴，
①当时，在上单调递增，
，解得；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
无解，舍去；
③当时，在上单调递减，
，解得，舍去；
综上所述，.
21. 已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）为奇函数；
（2）在上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可；
（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；
（3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可．
【小问1详解】
结合题意：由函数的定义域为,且，
取，则，即，
取，则，所以，
所以为奇函数.
【小问2详解】
在R上的单调递减，证明如下：
任取，且，则，
令，则，
因为为奇函数，所以，
因为当时，，所以，
即，所以在上的单调递减.
【小问3详解】
由，得，
因为，所以，
因为在上的单调递减，所以，
即时，恒成立，
等价于对任意时，恒成立，
令，则，
所以，
所以，
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题.
22. 若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域的“阶局部奇函数”.
（1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”？并说明理由；
（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合.
【答案】（1）是奇函数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入，再化简可得，进而根据求解即可；
（2）代入定义有，再根据对数定义域与存在性条件列式求解即可；
（3）化简可得有解，再讨论二次项系数是否为0，结合二次函数的判别式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
即，
故或，
当时，，或；
当时，（舍），是上的“二阶局部奇函数”.
【小问2详解】
由题意得，，故， 结合对数定义域与存在性条件，有
.
【小问3详解】
由题意得，在上有解
有解，
即有解，
①当时，，满足题意；
②当时，对于任意的实数，
，
由于，故.
综上，.
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50