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    黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)
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    黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案),共15页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.若(,i是虚数单位),则等于( )
    A.B.C.D.
    2.已知中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则( )
    A.B.或C.D.或
    3.已知与为非零向量,,,,若A,B,C三点共线,则( )
    A.0B.1C.2D.3
    4.在中,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的形状是( )
    A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
    5.若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为( )
    A.B.C.D.
    6.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑,其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体,极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度,某人在教堂的正东方向找到一座建筑物,高约为,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和,在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为,则可估算圣索菲亚教堂的高度约为( )
    A.B.C.D.
    7.已知边长为2的菱形中,,点F为上一动点,点E满足,则的最大值为( )
    A.0B.C.3D.
    8.在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为的面积,且,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知向量,,是与同向的单位向量,则下列结论正确的是( )
    A.与共线
    B.单位向量
    C.向量在向量上的投影向量为
    D.若,则
    10.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.把以上文字写成公式,即(S为三角形的面积,a,b,c为三角形的三边).现有满足,且的面积,则下列结论正确的是( )
    A.的周长为B.的三个内角满足
    C.的外接圆半径为D.的中线的长为
    11.已知,,是互不相等的非零向量,其中,是互相垂直的单位向量,,记,,,则下列说法正确的是( )
    A.若,则O,A,B,C四点在同一个圆上
    B.若,则的最大值为2
    C.若,则的最大值为
    D.若,则的最小值为
    三、填空题
    12.设i是虚数单位,若复数的实部与虚部互为相反数,则实数__________.
    13.在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,当时,的最大值是______.
    14.莱洛三角形,也称圆弧三角形,是一种特殊三角形,在建筑、工业上应用广泛,如图所示,分别以正三角形的顶点为圆心,以边长为半径作圆弧,由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形,已知A,B两点间的距离为2,点P为上的一点,则的最小值为______.
    四、解答题
    15.已知向量,,是同一平面内的三个向量,其中.
    (1)若,且,求向量的坐标;
    (2)若是单位向量,且,求与的夹角.
    16.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
    (1)求角A的大小;
    (2)若的面积为,,求的周长和外接圆的面积.
    17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
    (1)证明:为直角三角形;
    (2)当时,求周长的最大值.
    18.如图,在中,的平分线交边于点E,点D在边上,,,.
    (1)求的大小;
    (2)若,求的面积.
    19.如图,在中,已知,,,边上的中点为M,边上的中点为N,,相交于点P.
    (1)求;
    (2)求与夹角的余弦值;
    (3)过点P作直线交边,于点E,F,求该直线将成的上下两部分图形的面积之比的最小值.
    参考答案
    1.答案:B
    解析:因为,即,所以,,
    所以.
    故选:B.
    2.答案:D
    解析:由正弦定理,即,解得,
    又,所以或.
    故选:D
    3.答案:D
    解析:由题意知,A,B,C三点共线,故,,
    且,共线,
    故不妨设,,则,
    所以,解得,
    故选:D.
    4.答案:A
    解析:因为,所以由余弦定理得,
    所以,所以,所以为等腰三角形.
    故选:A.
    5.答案:D
    解析:设,则.
    由,可得,
    故以,为邻边的平行四边形是矩形,且,
    设向量与的夹角为,则csθ=,
    又,所以.
    故选:D.
    6.答案:B
    解析:由题可得在直角中,,,所以,
    在中,,,
    所以,
    所以由正弦定理可得,所以,
    则在直角中,,即圣·索菲亚教堂的高度约为.
    故选:B.
    7.答案:C
    解析:如图,以A为原点建立平面直角坐标系,
    则,,,,
    则,
    由题意,设,则,
    则,
    所以,
    因为,所以当时,的最大值为3.
    故选:C.
    8.答案:C
    解析:由三角形面积公式可得:,故,
    ,故,
    因为,所以,
    解得:或0,
    因为为锐角三角形,所以舍去,
    故,,
    由正弦定理得:

    其中,
    因为为锐角三角形
    所以,故,所以,,
    ,,
    令,则为对勾函数,在上单调递减,在上单调递增,
    则,
    又,,
    因为,所以,
    则.
    故选:C.
    9.答案:BD
    解析:对于A,,不存在实数,使得,则与不共线,A错误;
    对于B,,B正确;
    对于C,在上的投影向量为,C错误;
    对于D,,,D正确.
    故选:BD.
    10.答案:AB
    解析:A项:设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
    因为,所以由正弦定理可得,设,,,因为,所以,
    解得,则,,,故的周长为,A正确;
    B项:因为,
    所以,,故B正确;
    C项:因为,所以,由正弦定理得,,C错误;
    D项:由余弦定理得,在中,,由余弦定理得,解得,D错误.
    故选:AB.
    11.答案:AD
    解析:对于A选项,如图,若,则,所以,又,所以,所以O,A,B,C四点在同一个圆上,故A正确;
    对于B选项,若,由A选项知,O,A,B,C四点在同一个圆上,
    又,则其长度为圆上弦的长度.当线段为该圆的直径时,最大,且最大值等于,故B错误;
    对于C选项,由题可得A,B,C均在以O为圆心、1为半径的圆上,
    设,,又,则
    .其中.


    当时取等号.故C错误.
    对于D选项,由C选项分析结合可知.
    又,则

    则由重要不等式有:.
    得,当且仅当时取等号.故D正确.
    故选:AD.
    12.答案:5
    解析:复数的实部与虚部互为相反数,
    ,解得.
    故答案为:5.
    13.答案:3
    解析:因为,即,
    解得,
    因为,所以
    由余弦定理可得
    ,当且仅当时取等号,
    所以的最大值是3,
    故答案为:3.
    14.答案:
    解析:设D为的中点,E为的中点,如图所示,


    在正三角形中,,
    所以,
    所以,
    因为,
    所以,
    所以的最小值为:
    .
    故答案为:.
    15.答案:(1),或
    (2)
    解析:(1)设,由,且,
    得,
    所以或,
    故,或;
    (2)因为,,且,
    所以,
    即,
    所以,得,
    即,
    因为夹角,
    所以与的夹角.
    16.答案:(1)
    (2)的周长为8,外接圆的面积为
    解析:(1)由正弦定理得,即,
    又因为,所以,
    所以,又因为,所以,
    所以,.
    (2)由正弦定理得,所以外接圆半径,
    所以外接圆面积为,
    ,所以,
    由余弦定理得,
    即,解得,
    所以的周长的周长为.
    17.答案:(1)见解析
    (2)
    解析:(1)证明:因为,即,
    由余弦定理可得,
    化简可得,
    所以为直角三角形.
    (2)由(1)可得c为直角三角形的斜边,
    所以两直角边长分别为,,
    所以设周长为l,则,
    因为,
    所以,即时,周长取得最大值,最大值为.
    18.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)因为是的角平分线,所以,
    在中,根据余弦定理得,
    所以,
    则,
    因为,
    所以.
    (2)因为,所以,
    在中,由正弦定理得,
    在四边形中,,
    所以,
    则.
    19.答案:(1)
    (2)
    (3)
    解析:(1)中,,,,
    由余弦定理得,解得(负值舍去).
    (2)以A为坐标原点,以为x轴,以过A且与垂直为y轴建立平面直角坐标系,如图,
    则,,设,
    由得,由得,
    解得(负值舍去),所以,
    又因为边上的中点为M,边上的中点为N,所以,,
    所以,,
    则,,,
    所以,
    即与夹角的余弦值为.
    (3)因为M为的中点,N为的中点,所以、是的中线,
    所以与的交点P是的重心,则,
    设,,
    则,
    因为E、F、P三点共线,所以,得,
    又因为,,所以,,,
    所以,,
    即,所以,

    所以上下两部分面积之比,
    因为,所以,
    所以上下两部分图形的面积之比的最小值为.
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