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    黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.函数的导数是( )
    A.B.C.D.
    2.如果函数的图象如图所示,那么导函数的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    3.若函数的单调递减区间为,则( )
    A.-27B.-16C.16D.27
    4.已知是递增数列,则的通项公式可能为( )
    A.B.C.D.
    5.已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( )
    A.B.C.eD.
    6.已知双曲线,,是其左右焦点.圆,点P为双曲线C右支上的动点,点Q为圆E上的动点,则的最小值是( )
    A.B.C.7D.8
    7.已知,若恰好有3个零点,则实数a的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    8.当时,恒成立,则a的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知等差数列的前n项和是,且,,则( )
    A.B.C.D.的最小值为
    10.已知函数定义域是,其导函数是,且满足,则下列说法正确的是( )
    A.B.C.D.
    11.已知函数有两个极值点,,则下列选项正确的有( )
    A.B.函数有两个零点
    C.D.
    三、填空题
    12.已知函数,则____________.
    13.已知,是椭圆左、右焦点,直线与椭圆相交于A,B两点,,的平分线交l于点N,且,则椭圆E的离心率为______.
    14.若数列满足:,,则定义数列为函数的“切线——零点数列”.已知,数列为函数的“切线——零底数列”,,若数列满足,则数列的前n项和___________.
    四、解答题
    15.已知各项均为正数的等比数列满足,,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设是首项为1,公差为2的等差数列,求数列的前n项和.
    16.已知.
    (1)若,求曲线在点处的切线方程.
    (2)若,求函数的单调区间.
    (3)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.
    17.在平面直角坐标系xOy中,已知点,,,记M的轨迹为C.
    (1)求C的方程;
    (2)过点的直线l与C交于P,Q两点,,,设直线AP,BP,BQ的斜率分别为,,.证明:为定值.
    18.设函数.
    (1)若在处取得极小值,求的单调区间;
    (2)若恰有三个零点,求a的取值范围.
    19.已知函数.
    (1)若曲线在点处的切线方程为.
    ①求a的值;
    ②O是坐标原点,过曲线上一点作PQ垂直x轴于点Q,求的最大值;
    (2)当时,是否存在整数m,使得关于x的不等式恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,说明理由.
    参考答案
    1.答案:C
    解析:,所以,
    故选:C.
    2.答案:A
    解析:函数的单调性自左至右依次为:增→减→增→减,因此对应的的函数值的正负应满足:正→负→正→负,故选A.
    3.答案:A
    解析:由题意,且的解集为,故,
    解得,,故.
    故选:A.
    4.答案:C
    解析:对于A,,,A不合题意;
    对于B,,则,,
    即,B不合题意;
    对于C,,当n增大时,减小,则增大,
    符合题意,C正确;
    对于D,随着n的增大而减小,不合题意,D错误,
    故选:C
    5.答案:A
    解析:由题意得在上恒成立,
    ,故,
    即,
    令,,
    则在上恒成立,
    故在上单调递减,
    故,
    故,故a的最小值为.
    故选:A.
    6.答案:A
    解析:
    由题设知,,,,圆E的半径
    由点P为双曲线C右支上的动点知

    .
    故选:A
    7.答案:B
    解析:由,得,依题意,直线与函数的图象有3个公共点,
    直线是过定点,斜率为的直线系,
    在同一坐标系内作出直线与函数的图象,如图,
    观察图象知,当时,直线与函数的图象最多有两个公共点,不符合题意,
    则,即,设直线与函数的图象相切的切点为,
    由,求导得,因此,解得,,
    显然直线AP与函数的图象有两个公共点,直线AP的斜率,
    当直线过点时,该直线与函数的图象有3个公共点,
    直线AB的斜率,
    由图象知,当时,直线与函数的图象有3个公共点,
    于是,解得,
    所以实数a的取值范围为.
    故选:B
    8.答案:D
    解析:由题意,当时,恒成立,
    所以在上恒成立,
    即在上恒成立,
    令,可得,所以在上单调递增,
    所以在上恒成立,即在上恒成立,
    令,可得,
    当时,,单调递增;
    当时,,单调递减,
    所以,所以,解得,
    所以实数a的取值范围为.
    故选:D.
    9.答案:BD
    解析:由,,所以,即,
    所以当,时,;当,时,;
    所以,故A错;,故B对;,故C错;的最小值为,故D对.
    故选:BD
    10.答案:AC
    解析:设,可得,单调递增,又因为
    ,,,且,,得,,整理得,AC正确;
    故选:AC
    11.答案:ACD
    解析:由题设,在上有两个变号零点,
    令,则,
    若,则,即递增,此时不可能存在两个零点;
    所以,则时,递增;时,递减;
    故,而,
    要存在零点,则,可得,则,
    此时x趋向于正无穷时趋于负无穷,则在,各有一个零点,满足题设,A正确;
    由上,不妨设,
    在,,上,递减;在上,递增,且,
    所以x趋向于时趋于0,,,
    故上无零点,上不一定存在零点,B错误;
    由对数均值不等式,证明如下:
    令,要证,即证,
    若,则,故y在上递减,
    所以,即,故得证;
    令要证,即证,
    若,则,故y在上递增,
    所以,即,故得证;
    综上,,
    故,C正确;
    ,,即恒成立,,
    又因为C选项,
    所以,故,D正确.
    故选:ACD.
    12.答案:
    解析:因为,所以,
    则,解得:,
    所以,则.
    故答案为:.
    13.答案:或
    解析:
    连接、,根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形,
    所以,
    根据角平分线定理得:,
    所以,又
    ,,又,
    又在中,由余弦定理得:
    ,所以.
    故答案为:.
    14.答案:
    解析:,则,
    依题意可知,
    所以,
    故,即,
    且,所以,(常数),
    故是以为首项,以2为公比的等比数列,
    所以.
    故答案为:
    15.答案:(1);
    (2)
    解析:(1)因为是正数等比数列,且,
    所以,

    分解得,
    又因为,所以,
    所以数列的通项公式为;
    (2)因为是首项为1,公差为2的等差数列,
    所以,
    所以,
    所以
    .
    16.答案:(1)
    (2)见解析
    (3)
    解析:(1),,


    又,所以切点坐标为.
    所求切线方程为,
    即.
    (2),
    由,得或.
    ①当时,由,得;
    由,得或,
    此时的单调递减区间为,单调递增区间为和.
    ②当时,由,得;
    由,得或.
    此时的单调递减区间为,单调递增区间为和.
    综上:当时,的单调递减区间为,单调递增区间为和;
    当时,的单调递减区间为,单调递增区间为和.
    (3)依题意,不等式恒成立,
    等价于在上恒成立,
    可得在上恒成立,
    设,
    则.
    令,得,(舍),
    当时,;
    当时,,
    当x变化时,,变化情况如下表:
    当时,取得最大值,
    ,.
    a的取值范围是.
    17.答案:(1);
    (2)-1
    解析:(1)因为,
    所以曲线C为以,为焦点的椭圆,
    其中,,故,
    所以椭圆方程:.
    (2)易知直线PQ的斜率不为零,
    设直线PQ的方程为,,,
    由,得,
    则,
    则,,,,
    所以


    所以为定值.
    18.答案:(1)的单调递减区间为,单调递增区间为和;
    (2)a的取值范围是
    解析:(1),
    令,得或,
    ①当,即时,
    令,得;令,得或,
    所以在区间上单调递减,在区间和上单调递增,
    所以在处取得极小值,此时符合题意;
    ②当,即时,,
    所以在区间R上单调递增,所以在处不取极值,此时不符合题意;
    ③当,即时,
    令,得;令,得或,
    所以在区间上单调递减,在区间和上单调递增,
    所以在处取得极大值,此时不符合题意.
    综上所述,的单调递减区间为,单调递增区间为和.
    (2)因为,
    所以是一个零点.
    因为恰有三个零点,所以方程有两个不为2的实数根,
    即方程有两个不为2的实数根.
    令,所以,
    令,得;令,得,
    所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,
    当时,的值域为;
    当时,的值域为.
    所以且,所以且,
    所以a的取值范围是.
    19.答案:(1)①;②;
    (2)存在,且m的最小值为1.
    解析:(1)①,
    .
    由于曲线在点处的切线方程为,
    所以,解得;
    ②由①可知,,
    ,,其中,所以,,
    对任意的,,
    则,
    令,其中,则.
    当时,,此时函数单调递减;
    当时,,此时函数单调递增.
    所以,,所以,;
    (2)当时,,其中,则.
    令,其中,则.
    所以,函数在上单调递减.
    因为,,所以,存在时,使得.
    当时,,即,此时函数单调递增;
    当时,,即,此时函数单调递减.
    所以,,
    构造函数,其中,则,
    所以,函数在区间上单调递增,则,
    且不等式对任意的恒成立,则,
    而,所以整数m的最小值为1.
    x
    1
    +
    0
    -
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