福建省三明市尤溪县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第1卷1至2页，第II卷3至8页．满分150分．
第I卷
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分．每题只有一个正确选项）
1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.
2. 已知，则下列不等式中不正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、∵a＜b，
∴4a＜4b，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，
∴a+4＜b+4，故本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴-4a＞-4b，故本选项符合题意；
D、∵a＜b，
∴a-4＜b-4，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A. 9，12，15B. 3，4，6C. 8，15，16D. 7，24，26
【答案】A
【解析】
【分析】三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可.
【详解】解： 故A符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形”是解题的关键.
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出两个不等式的解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可 ．
【详解】解：由题意得不等式组的解集为x＜1，数轴表示如图所示，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及数轴表示，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5. 如图，将“笑脸”图标向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（ ）

A. （﹣1，2）B. （﹣9，6）C. （﹣1，6）D. （﹣9，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题；
【详解】由题意P（﹣5，4），向右平移4个单位，再向下平移2个单位，点P的对应点P'的坐标是（﹣1，2），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与平移，解题的关键是记住平移规律：坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，属于中考常考题型．
6. 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A. 9cmB. 12cmC. 15cmD. 12或15cm
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的周长，三角形的三边关系的应用，先分情况可得等腰三角形的三边长分别为6cm，6cm，3cm或3cm，3cm，6cm，再根据三角形的三边关系可得符合条件的三边，从而可得答案．
【详解】解：∵等腰三角形两边长分别为3cm和6cm，
∴它的三边长可能为6cm，6cm，3cm或3cm，3cm，6cm，
∵，不能组成三角形，
∴此等腰三角形的三边长只能是6cm、6cm、3cm，
∴它的周长：．
故选：C．
7. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A. 每一个内角都大于60°B. 每一个内角都小于60°
C. 有一个内角大于60°D. 有一个内角小于60°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定．
【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．
故选：A．
8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
9. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A. 16个B. 17个C. 33个D. 34个
【答案】A
【解析】
【详解】解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000，
解得：m≤16，
∵m为整数，
∴m最大取16，
∴最多可以买16个篮球．
故选A．
【点睛】考点：一元一次不等式的应用．
10. 如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①∠EAF=45°； ②BE=CD；③EA平分∠CEF； ④，其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形求出∠ABC=∠C=45°，根据旋转得出BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∠FBA=∠C，即可判断①，证△EAF≌△EAD，即可判断③，求出BF=DC，∠FBE=90°，根据勾股定理即可判断④，根据已知判断②即可．
【详解】解：正确的有①③④，
理由是：∵在Rt△ABC 中，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，∴①正确；
即∠FAE=∠DAE=45°，
在△FAE和△DAE中
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠FEA=∠DEA，
即EA平分∠CEF，∴③正确；
∴EF=DE，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠C=∠FBA=45°，BF=DC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2，∴④正确；
不能推出BE=DC，∴②错误；
∴正确的个数是3个；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
注意事项：
1．用0.5毫米黑色题水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．）
11. “的2倍与3的和小于6”用不等式表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可．
【详解】解：由题意，可列不等式为：；
故答案为：
12. 命题“同位角相等”是_________命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【分析】根据平行线的性质判断即可．
【详解】两直线平行时，同位角相等；两直线不平行时，同位角不相等．因此命题“同位角相等”不一定成立，是假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及真假命题的判断．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．要说明一个命题是真命题，必须一步一步有根有据的证明；要说明一个命题是假命题，只需要举一个反例即可．掌握判断真假命题的方法是解题的关键．
13. 如图，将沿的方向平移得到，若，平移的距离为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的定义，得到平移距离为线段的长，用进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：平移距离为；
故答案为：1．
14. 如图，的平分线上有一点C，于点D，若，则点C到的距离为______．

【答案】6
【解析】
【分析】过点C作于E，根据角平分线的性质：“角平分线上的点到两边的距离相等”，可得，即可．
【详解】解：如图，过点C作于E，

∵为的平分线，，，
∴，
∴点C到的距离为6．
故答案为：6
15. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是_____________
【答案】##
【解析】
【分析】由把未知数的系数化“1”时，不等号的方向改变可得，从而可得答案．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用不等式的性质解不等式，理解把未知数的系数化“1”时，不等号的方向问题是解本题的关键．
16. 如图，在中，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是______

【答案】2
【解析】
【分析】如图，取的中点E，连接．由，推出，推出当时，的值最小，进行求解即可．
【详解】解：如图，取的中点E，连接．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当时，的值最小，
在中，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（共9题，满分86分．）
17. （1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：
填空：①以上解题过程中，第二步是依据 ___________（运算律）进行变形的．
②第 ___________步开始出现错误．这一步错误的原因是 ___________．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．解集：____________．
【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五,不等式两边都除以，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的基本性质3）；任务二：．
【解析】
【分析】按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二．
【详解】解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
故答案为：①乘法分配律（或分配律），②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变．
任务二：该不等式的正确解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，这里先去分母比较简单，掌握不等式的性质是关键．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
19. 已知：如图，在中，，是的中点，，，，分别是垂足，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据AB=AC，等边对等角，得到∠B=∠C；由D点是BC中点，可知BD=CD；DE⊥AB，DF⊥AC，得到，进而得到△BDE≌△CDF．
【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
，
∵D是的中点，
∴BD=CD，
在和中
∴△BDE≌△CDF
∴BE=CF，
∵AB=AC，
∴AB-BE=AC-CF
即AE=AF．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定．通过全等三角形对应边相等，得到线段之间的关系是解题的关键．
20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）
（1）画出将向左平移8个单位长度得到的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了作图−旋转变换和平移变换．
（1）利用点平移的坐标特征描出点、、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、，再顺次连接，然后根据点的位置写出其坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作三角形；；
点；
【小问2详解】
解：如图，为所求作三角形．
点．
21. 如图，中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
（1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）线段AB绕点A逆时针旋转，得到等边三角形，据此根据等边三角形的性质做边AB的垂直平分线，以点A为圆心，AB长为半径，在垂直平分线上画弧就得到点 D，连接．或者分别以点A、B为圆心，AB长为半径做弧，交于一点，连接．
（2）观察知，分别在对应三角形中求解计算．
【详解】（作法一）

如图，AD、BD即为所求 ．
（作法二）
如图，线段，即为所求．
（2）解：∵，
∴．
∵由旋转可知，，
∴为等边三角形，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，涉及了尺规作图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键
22. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）已知CD=2cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质可知DE=CD=2cm，由于∠C=90°，可推出∠B=∠BDE=45°，则可得BE=DE=2cm，由勾股定理得可得BD，即可求得AC的值．
（2）AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB可得∠EAD=∠CAD，∠AED=∠ACD=90°，CD=ED则证得△AED≌△ACD ，并推出AC=AE，结合BE=DE=CD即可证得结论．
【详解】（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB ，
∴ DE=CD=2cm．
∵AC=BC ，∠C=90°，
∴∠B=∠BAC =45° ．
∴∠BDE=90°-45°=45° ．
∴BE=DE=2cm．
由勾股定理得，BD=cm ，
∴AC=BC=CD+BD=2+（cm）．
（2）证明∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴∠EAD=∠CAD，∠AED=∠ACD=90°，CD=ED．
∴△AED≌△ACD ．
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”光明中学为提升学生的阅读品味，决定购买第十届茅盾文学奖的获奖篇目《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共本．已知购买本《北上》和本《牵风记》需元；购买本《北上》与购买本《牵风记》的价格相同．
（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元？
（2）若学校购买《北上》的数量多于本，且购买两种书的总价不超过元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？
【答案】（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为元和元
（2）共有种购买方案，最低费用为元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
（1）设《北上》每本的价格为元，《牵风记》每本的价格为元，根据题意列方程组即可求解；
（2）设购买《北上》的数量为本，则购买《牵风记》的数量为本，根据购买两种书的总价不超过元，列不等式，求出的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：设《北上》每本的价格为元，《牵风记》每本的价格为元．
根据题意，得，
解得：，
答：《北上》和《牵风记》每本价格分别为元和元；
【小问2详解】
设购买《北上》的数量为本，则购买《牵风记》的数量为本，
根据题意，得，
解得，
学校购买《北上》的数量多于本，
，
为整数，
可以取，，，
有种购买方案，
方案一：当时，．此时购买费用为（元）；
方案二：当时，．此时购买费用为（元）；
方案三：当时，．此时购买费用为（元）．
，
最低费用为元．
答：共有种购买方案，最低费用为元．
24. 我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______；不等式的解是______；
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
①结合图象，直接写出关于不等式组的解集是______．
②若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）①；②P点坐标为或或或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可；
②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案：；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，；
（3）①联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：；
②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
令，则，
∴，
∴，
∴，，，
当时，则，
解得（舍）或，
∴P点坐标为；
当时，则，
∴或，
∴P点坐标为或；
当时，则，
解得，
∴P点坐标为；
综上所述：P点坐标为或或或．
25. 已知△ABC的三个内角均为，且AB＝BC＝AC＝4cm，如图1，P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，连接AQ、CP相交于点M．
（1）试判断图1中AQ与CP的数量关系，并证明你的结论．
（2）在图1上P、Q两点运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMQ的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ，CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMQ的度数．
【答案】（1）
（2）不变，
（3）不变，
【解析】
【分析】（1）由“”证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）得 可得 ，然后依据已知 角与外角进行代换即可得到 是不变的；
（3）通过证明 ，得到 ，在 和中，由三角形内角和定理可得，根据条件求解即可．
【小问1详解】
证明：由题意得，
AB＝BC＝AC＝4cm，
为等边三角形，

在 和中


【小问2详解】
不变，理由如下：
由（1）得



【小问3详解】
不变，理由如下：
由题意得
在 和中



在 和中

由三角形内角和定理可得

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．