广东省惠州市惠东县2023-2024学年九年级下学期开学检测数学试题

这是一份广东省惠州市惠东县2023-2024学年九年级下学期开学检测数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分120分 时间120分钟）
一、单选题（10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义对各项进行逐一判断即可．
【详解】解：A. 方程中含有两个未知数，未知数的最高次数是2，故是二元二次方程，故不符合题意；
B. 方程中，是否是常数不确定，故此方程不能确定时几次，故不符合题意；
C. 方程中含有分式，是分式方程，故不符合题意；
D. 方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，故此方程是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.是中心对称图形，
故选：D
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3. 有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（ ）
A. 不可能B. 不太可能C. 非常有可能D. 一定可以
【答案】B
【解析】
【分析】根据转盘知只有1个奇数，而且袋子中20个里只有6个黑球，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小．
【详解】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件，
故选：B．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式求解．
详解】解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线．
故选：B．
5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：
其中，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
6. 在半径为的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【详解】解：弧长为：cm ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
7. 顶点，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据顶点式解析式特点即可解答．
【详解】由抛物线顶点式可知，顶点为，
∵顶点为，
∴抛物线为，
∵该抛物线开口，形状与函数的图象相同，
∴，
即抛物线解析式为，
∴C选项正确，
故选：C．
【点睛】此题考查了抛物线的解析式—顶点式，正确理解顶点式解析式各字母的意义是解题的关键．
8. 如图，在⊙O中，，. 则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据垂径定理得到
，然后根据圆周角定理求解．
【详解】∵BC⊥OA，
∴
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°
【点睛】本题考查了圆周角定理,也考查了垂径定理．
9. 第二十二届世界杯足球赛于年月日在卡塔尔举办开幕赛．为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间比赛一场，共安排了45场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意参赛的每两个队之间比赛一场，每个球队需要比赛场，x个队参赛需要参赛，但是两个球队不重复比赛，所以乘以，即可解得．
【详解】根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程解应用题，解题的关键是根据题意找出等量关系式．
10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点与y轴交于点C，对称轴为x＝1，则下列四个结论：①ac<0；②2a+b＝0；③﹣1＜x＜3时，y＞0；④4a+c＜0．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】开口向下，a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，ac＜0，可以判断①；根据对称轴为x＝1，即﹣＝1，判断②；根据函数图象可以判断③；x＝﹣1时y＝a﹣b+c＝0，由b＝﹣2a，得到3a+c＝0，由于a＜0，得出4a+c＜0可以判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c＞0，
则ac＜0，即①正确，
该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
整理得：2a+b＝0，即②正确，
∵抛物线对称轴为x＝1，点A的坐标为：（﹣1，0），
则点B的坐标为：（3，0），
由图象可知：当-1＜x＜3时，y＞0，即③正确，
由图象可知，当x＝﹣1时，函数值为0，
把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＜0，
∴4a+c＜0，即④正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数图象与系数之间的关系．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是______（填“必然”或“随机”）事件．
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：“清明时节雨纷纷”从数学的观点看，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
12. 一个圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长是，则这个烟囱帽的侧面展开图的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是圆锥的侧面积公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题的形式出现，难度一般． 利用圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积=母线底面半径计算即可．
【详解】由题意得：圆锥的侧面积，
故答案为：．
13. 若为关于的一元二次方程的根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先把代入一元二次方程中，可得到，，再把方程左边分解因式即可求出答案．
【详解】解：为关于的一元二次方程的根，
，
，
或，
或，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是正确把握一元二次方程的解的意义．
14. 如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为______cm．（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查黄金分割点的应用，解题的关键是掌握黄金分割的定义．根据黄金分割的定义直接求解即可．
【详解】解：∵C是弦靠近点B的黄金分割点，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，已知，，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．过点作于，利用解直角三角形得，，，由勾股定理得，再由，可得点在以为圆心为半径的上，即当、、三点共线时最小，的最小值．
【详解】解：如图，过点作于，连接，
，，，
则，，
，
在中，，
点与点关于直线对称，
，
点在以为圆心为半径的上，
当、、三点共线时最小，的最小值，
故答案为：．
三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分）
16. 解方程：x2+6x+5=0．
【答案】x1=-1，x2=-5
【解析】
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】x2+6x+5=0
(x+1)(x+5)=0
∴x+1=0或x+5=0
∴x1=-1．x2=-5
【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17. 如图三个顶点的坐标分别为，，．请画出 关于原点对称的图形并写出点的坐标．
【答案】图见解析，点
【解析】
【分析】本题考查了画中心对称图形，写出点的坐标；根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解．
【详解】如图所示：
．
18. 小明参加某超市的“翻牌抽奖”活动，如图，4张背面完全相同的卡片，正面分别对应着四句“国是家，孝为先，善作魂，知礼仪”的讲文明树新风的宣传语．
（1）如果随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为______．
（2）如果四张卡片分别对应价值为（单位：元）的4件奖品，如果小明随机翻2张卡片，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求小明两次所获奖品总值不低于元的概率？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率的应用，掌握树状图或列表法是解题关键．
（1）根据概率的定义即可求解；
（2）画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解．
【小问1详解】
解：∵共有4张卡片
∴随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为：
故答案为：
【小问2详解】
解：画树状图如下：
可知有种等可能结果，其中所获奖品总值不低于元的有种，
∴明两次所获奖品总值不低于元的概率为：
四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，将一块直角三角板绕着角的顶点B顺时针旋转，使得点A与延长线上的点E重合，连接．
（1）三角板旋转了______度，的形状是______；
（2）求的度数；
（3）若，求旋转过程中点A经过的路程．
【答案】（1）；等腰三角形
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由三角板的特点可知，则由平角的定义可得，即旋转角为150度；由旋转的性质可得，则的形状是等腰三角形；
（2）根据旋转性质可得，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案；
（3）先求出，再根据旋转过程中点A经过的路程即为以B为圆心，以长为半径圆心角度数为150度的扇形弧长，进行计算即可．
【小问1详解】
解：由三角板的特点可知，
∴，
∴三角板旋转了度；
由旋转的性质可得，
∴的形状是等腰三角形，
故答案为：；等腰三角形；
【小问2详解】
解：由旋转的性质可得，
∵，
∴
【小问3详解】
解：在中，，
∴，
由题意得，旋转过程中点A经过的路程即为以B为圆心，以长为半径圆心角度数为150度的扇形弧长，
∴旋转过程中点A经过的路程．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，求弧长等等，熟知旋转的性质是解题的关键．
20. 如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，，，根据等腰三角形的性质得出，，根据切线的性质可得，进而可证明，最后根据切线的判定即可证明；
（2）过点O作于G，连接，根据垂径定理求出，，然后证明四边形、是矩形，则可求，，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，，，
∵，，
∴，，
∵与相切于M，
∴，
∴，
∴，
∴，
又是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：过点O作于G，连接，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
21. 某商店销售一款工艺品，每件成本为元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每月的销售量是件，而销售单价每降价元，每月可多销售件．设这种工艺品每件降价元．
（1）每件工艺品的实际利润为 元（用含有的式子表示）；
（2）为达到每月销售这种工艺品的利润为元，且要求降价不超过元，那么每件工艺品应降价多少元？
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）用销售单价减去成本即可得答案．
（2）设每件工艺品应降价元，根据每月的销售利润每件的利润每月的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【小问1详解】
每件工艺品的实际利润为：元，
故答案为：．
小问2详解】
设每件工艺品应降价x元，依题意得：
，
解得：，（不符题意，舍去）．
答：每件工艺品应降价元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分）
22. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据可得，当__________时，达到最大值__________；
（2）求关于的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】（1），
（2）
（3）守门员不能成功防守，见详解．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解函数图像上点的横坐标与纵坐标的含义．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（3）把代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可.
【小问1详解】
解：时，达到最大值；
【小问2详解】
由（1）知，抛物线顶点坐标，设，
把代入解析式，，
解得，
∴．
【小问3详解】
当，
，
∵,
∴守门员不能成功防守．
23. 圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．
（1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，直接写出的度数；
（2）如图2，四边形内接于，为的直径， ，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长．
（3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，二次函数的应用等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案;
（2）首先利用勾股定理求出和、的长，过点A作于H，则，解即可．
（3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题．
【小问1详解】
故答案为：
【小问2详解】
连接，过点作，交于点．如图：
在中，
，，
，
此时等腰直角三角形，，
在中，
，，
，
．
【小问3详解】
如图，连接，
，，
垂直平分，
为中点，
为中位线，有，，
设，则，，，
在中，，
在中，，
于是有：，整理得，，
，
当时，0
9
12
15
18
21
…
0
5
…