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体积等积变形—小升初数学选拔专项复习卷（通用版）
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这是一份体积等积变形—小升初数学选拔专项复习卷（通用版），共15页。试卷主要包含了如图，甲，一个量筒，盛有280毫升的水等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共4小题）
1．把一个高为24cm的圆锥形容器装满水，将这些水全部倒入等底的圆柱形容器里，水的高度是（ ）
A．72cmB．24cmC．16cmD．8cm
2．如图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积用π表示，应为（ ）
A．64πcm3B．60πcm3C．56πcm3D．40πcm3
3．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是（ ）
A．甲高B．乙高C．一样高D．无法判断
4．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是（ ）立方厘米．
A．240B．1000C．125D．400
二．填空题（共13小题）
5．一个棱长是6dm的正方体容器装满了水后，倒入一个底面积是18dm2的圆锥形容器正好装满，这个圆锥的高是 ．
6．用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，两个物体的 一样大．
7．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是 立方厘米．
8．一个量筒，盛有280毫升的水．放入1颗玻璃弹珠后，水面上升到刻度是300毫升的地方．这颗玻璃弹珠的体积是 ．
9．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是 立方厘米，圆锥的体积是 立方厘米．
10．一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了 ；那么，这样铁块又融化成铁 水（不计损耗），它的体积增加了 ．
11．雨哗哗地下个不停，如果在雨地里放一个A那样容器，雨水下满要1个小时，那么雨水下满B容器要 小时，下满C容器要 小时．
12．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内，已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为 cm．
13．一个密封的长方体玻璃箱，里面装水，从里面量，长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米．如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深 厘米．
14．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中．已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是3：2，高的比是2：3，现在水面的高度是 分米．
15．甲、乙两个容器内盛有相同体积的水；已知甲容器长是10厘米．宽是10厘米．高12厘米．容器内原来水面高是9厘米．放入一个圆锥体完全浸没后．水面高度与容器高度相等（且没有溢出）：乙容器的棱长是15厘米．放入一个同样大小的圆锥体和一个圆柱体完全浸没后．水面高度距离容器口8厘米．那么圆锥的体积与圆柱体积的比是 ．
16．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块体积是1立方分米，这堆小方块的总体积是 立方分米，露在外面的面积是 ．
17．一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2 个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是 ．
三．应用题（共4小题）
18．有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？
19．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是18厘米、12厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
20．把一块棱长为10厘米的正方体铁块放入一个水深为6厘米的长方体容器中，该容器的长为40厘米，宽为20厘米，高为25厘米的长方体容器中，现在容器中的水并没有完全淹没正方体的铁块，求现在水的高度？
21．给一个底面长和宽都是3dm的长方体鱼缸中倒入10L水．再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出．此时水深1.4dm．这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计）
体积等积变形（思维拓展提高卷）六年级下册小升初数学专项培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【答案】D
【分析】圆锥的体积=13×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，再据这些水的体积不变，即可求出倒入圆柱中的水的高度．
【解答】解：设圆锥的底面积为S，圆柱的高为h，
则圆锥的体积为13S×24＝8S（立方厘米），
因为圆柱与圆锥等底，
所以圆柱中水的高为：8S÷S＝8（厘米），
答：水的高度为8厘米．
故选：D．
【点评】此题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法，关键是明白：水的体积不变．
2．【答案】B
【分析】三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体，底面的直径都是4，将它们拼成如图2的新几何体，新几何体的体积＝一个圆柱体加半个圆柱体，新圆柱体的高是4+6+4＝14cm，半个圆柱体的高是6﹣4＝2cm，如图所示：
【解答】解：新几何体的体积＝一个圆柱体加半个圆柱体，
新圆柱体的高是4+6+4＝14（cm），
半个圆柱体的高是6﹣4＝2（cm），
圆柱体底面的半径4÷2＝2（cm），
根据圆柱体的体积公式V＝π×半径2×高，得：
新几何体的体积＝π×22×14+π×22×2×12=60π（cm3），
答：该新几何体的体积用π表示，应为60πcm3
故选：B．
【点评】本题的关键是理解新几何体的体积等于一个圆柱体加半个圆柱体，然后弄清这两个体积的高和底面半径，代入公式解决问题．
3．【答案】A
【分析】由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，即原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积＝底面积×高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高；据此解答．
【解答】解：由于原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；
分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的；
又因为圆柱的体积＝底面积×高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度；
所以后来甲容器中的水面高；
故选：A．
【点评】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的．
4．【答案】C
【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，即增加的8条棱的长度和是40厘米，进而用40÷8得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公式“正方体的体积＝棱长3”，代入数值，进行解答即可．
【解答】解：[40÷（4×2）]3
＝53
＝125（立方厘米）
答：每个正方体的体积是125立方厘米．
故选：C．
【点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答．
二．填空题（共13小题）
5．【答案】见试题解答内容
【分析】倒入前后的水的体积不变，由此先利用正方体的容积公式V＝a3求出水的体积，再利用圆锥的高＝水的体积×3÷底面积即可解答．
【解答】解：6×6×6＝216（立方分米）
216×3÷18＝36（分米）
答：这个圆锥形容器的高是36分米．
故答案为：36分米．
【点评】此题考查了正方体和圆锥的体积公式的灵活应用，此题中水的体积就是正方体和圆锥的容积，抓住水的体积不变进行解答是关键．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，只是形状发生了变化，物体的材质没有变，也就是体积没有变，所以两个物体的体积一样大．
【解答】解：根据分析可得，
捏成正方体和圆柱体，只是形状发生了变化，物体的材质没有变，也就是体积没有变，表面积变了，
但两个物体的体积一样大．
故答案为：体积．
【点评】本题考查了简单的体积的等积变形，注意只要物体的材质没有变，它的体积就不变．
7．【答案】见试题解答内容
【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，即增加的8条棱的长度和是40厘米，进而用40÷8得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公式“正方体的体积＝棱长3”，代入数值，进行解答即可．
【解答】解：[40÷（4×2）]3，
＝125（立方厘米）；
答：每个正方体的体积是125立方厘米．
故答案为：125．
【点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答．
8．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，玻璃弹珠比同体积的水要重，把1颗放入水中，玻璃弹珠会沉到水底，那么它的体积就是上升的那部分水的体积，由此可求得即可．
【解答】解：300﹣280＝20（毫升），
20毫升＝20立方厘米；
答：这颗玻璃弹珠的体积是20立方厘米．
故答案为：20立方厘米．
【点评】解答此类型的题目要注意：当物体完全浸没在水中时，物体的体积就等于它排开的那部分水的体积．
9．【答案】见试题解答内容
【分析】216立方厘米是这个等底等高的圆柱与圆锥的体积之和，把这个体积平均分成4份，则圆锥的体积就是其中的1份，圆柱的体积就是其中的3份；据此解答即可．
【解答】解：根据圆柱与圆锥的体积公式可得：等底等高的圆柱体积是圆锥的体积的3倍，
所以它们的体积比是3：1；
圆锥的体积是：216÷4＝54（立方厘米），
圆柱的体积是：54×3＝162（立方厘米）；
答：圆柱的体积是162立方厘米，圆锥的体积是54立方厘米．
故答案为：162；54．
【点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】根据物体的热胀冷缩的特性可知，高温铁水凝成铁块它的体积就缩小；同理，铁块又融化成高温的铁水（不计损耗），它的体积增加了，据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了，是正确的；
那么，这样铁块又融化成铁水（不计损耗），它的体积增加了，也是正确的．
故答案为：√，√．
【点评】本题考查了学生对于体积不变的前提条件的理解，物体的体积易受温度的影响，体积不变的前提条件：温度相同，形状可以不同．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）图A只要根据容积公式“长方体的体积＝底面积×高”代入数字，然后求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出；
（2）图B只要根据容积公式“圆柱的体积＝底面积×高”代入数字，然后求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出；
（3）图C该图形理解为从一个长为20厘米，宽为15厘米，高为20厘米的长方体中减去了一个长为10厘米，宽为15厘米，高为10厘米的长方体，根据长方体的体积公式，求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出．
【解答】解：在图A所示的容器中，容积：接水面积＝（20×5×10）：（20×5）＝10：1，需1小时接满，
所以在图B所示的容器中，容积：接水面积＝[3.14×（8÷2）2×20）：[3.14×（8÷2）2]＝20：1，需2小时接满；
在图C所示的容器中，容积：接水面积＝（20×15×20﹣10×15×10）：（20×15）＝15：1，需1.5小时接满．
答：雨水注满图B这个容器需要2小时；注满图C这个容器需要1.5小时；
故答案为：2，1.5．
【点评】此题做题的关键是：根据长方体、正方体的体积公式进行计算即可．
12．【答案】27。
【分析】根据正方体的体积公式先求出大正方体的体积和8个小正方体的体积，然后相减可得剩下的体积，然后设放入铁块后水面高度变为xcm，根据原来水的体积+铁块的体积露出水面的铁块的体积，列方程解答即可。
【解答】解：设放入铁块后水面高度变为xcm
30×30×30﹣10×10×10×8
＝27000﹣8000
＝19000（立方厘米）
2500x＝2500×20+19000﹣10×10×（30﹣x）×5
2000x＝54000
答：放入铁块后水面高度变为27cm
故答案为：27。
【点评】本题考查了体积的等积变形，要注意水没有完全浸没铁块，还有露出来的部分。
13．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解答．
【解答】解：30×10×5÷（10×15），
＝1500÷150，
＝10（厘米），
答：水深10厘米，
故答案为：10．
【点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设圆柱的底面半径为3，高为2，则圆锥的底面半径为2，高为3，根据圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”、圆锥的体积计算公式“V=13πr2h”、即可求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再用水面升高的高度（9.6﹣6）分米，除以圆柱体铁块的份数乘圆锥体铁块的份数就是此时水面上升的高度，再加上9.6分米即为现在的水面高度．
【解答】解：圆柱铁块的体积：圆锥铁块的体积＝（3.14×32×2）：（13×3.14×22×3）＝9：2
（9.6﹣6）÷9×2
＝3.6÷9×2
＝0.4×2
＝0.8（分米）
9.6+0.8＝10.4（分米）
答：现在水面高度是10.4分米．
故答案为：10.4．
【点评】解答此题的关键是根据圆柱体积公式、圆锥体积公式及已知条件求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再根据分析或列比例求出放入圆锥铁块后水面上升的高度．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】用长方体的体积＝长×宽×高求出容器中水的体积，
根据求不规则物体的体积的方法，求出圆锥的体积，圆锥的体积等于圆柱容器中下降水的体积，
用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和，
用正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和减去水的体积和圆锥的体积就是圆柱的体积，
再用圆锥的体积比上圆柱体积即可解答．
【解答】解：水的体积：10×10×9＝900（立方厘米）
圆锥的体积：10×10×（12﹣9）＝300（立方厘米）
正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和是：15×15×（15﹣8）＝1575（立方厘米）
圆柱的体积：1575﹣900﹣300＝375（立方厘米）
圆锥的体积与圆柱体积的比是：300：375＝4：5．
答：圆锥的体积与圆柱体积的比是4：5．
故答案为：4：5．
【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法，关键是明白圆柱容器中下降水的体积是圆锥的体积，圆柱的体积是正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和减去水的体积和圆锥的体积．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过观察可以看出一共有12个小正方体，因为每个小方块体积是1立方分米，所以用1乘12即可得出这堆小方块的总体积；
（2）可以从前后左右上五个方向观察各有几个小正方形的面，求出总个数就比较容易求出露在外面的面积．
【解答】解：（1）1×12＝12（立方分米），
（2）前后面：8×2＝16（个），
左右面：6×2＝12（个），
上面：6个，
共有：16+12+6＝34（个），
因为每个小方块体积是1立方分米，所以棱长是1分米，
露在外面的面积是：1×1×34＝34（平方分米）；
答：这堆小方块的总体积是12立方分米，露在外面的面积是34平方分米．
故答案为：12，34平方分米．
【点评】本题第二题比较容易出错，但是只要分类从五个方向观察，转化为求若干个小正方形的面的面积就容易了．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】因为圆锥的体积V=13sh，所以s＝3V÷h，由此求出底面积，即铸成一个圆柱形钢坯的底面积，再根据铸造的过程中体积不变，即2个圆锥钢坯的体积等于一个圆柱形钢坯，由此再利用圆柱的体积公式求出求出铸成一个圆柱形钢坯的高．
【解答】解：18.84×2÷（3×18.84÷4.5），
=23×4.5，
＝3（厘米），
答：改铸后的圆柱形钢坯的高应是3厘米；
故答案为：3厘米．
【点评】解答此题的关键是根据圆柱形钢材铸成铸成圆锥形钢材的过程中，体积不会改变，由相应的公式或公式的变形解决问题．
三．应用题（共4小题）
18．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来水槽中水的体积是多少；然后根据长方形的面积＝长×宽，可得水槽的底面积是192（16×12＝192）平方厘米，铁块的底面积是64（8×8＝64）平方厘米，用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放入铁块后水所占的底面积是128（192﹣64＝128）平方厘米，再用原来水槽中水的体积除以放入铁块后水所占的底面积，求出现在水的高度为9厘米，所以仍然有3（12﹣9＝3）厘米高的铁块在油里，求出这3厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积就是油层增加的高度，再加上原来的高度6厘米就是此时油层的层高；据此解答．
【解答】解：（16×12×6）÷（16×12﹣8×8）
＝1152÷（192﹣64）
＝1152÷128
＝9（厘米）
8×8×（12﹣9）÷（16×12）+6
＝8×8×3÷192+6
＝192÷192+6
＝1+6
＝7（厘米）
答：此时油层的层高是7厘米．
【点评】此题主要考查了长方体的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出在油里的铁块的高度是多少．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知：当甲杯中取出铁块后，水面下降部分水的体积就等于铁块的体积，即底面直径18厘米、高是2厘米的圆柱的体积；然后再除以乙杯的底面积，就是水位上升的高度．
【解答】解：3.14×（18÷2）2×2÷3.14÷（12÷2）2
＝81×2÷36
＝4.5（厘米）
答：这时乙杯中的水位上升了4.5厘米．
【点评】体积的等积变形主要是用排水法，当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】容器中水的体积是40×20×6＝4800（立方厘米）；现在容器中的水并没有完全淹没正方体的铁块，所以这时容器中水柱的底面积是40×20﹣10×10＝700（平方厘米），然后除水的体积就是现在水的高度．
【解答】解：40×20×6＝4800（立方厘米）
40×20﹣10×10
＝800﹣100
＝700（平方厘米）
4800÷700=487（厘米）
答：现在的水深是487厘米．
【点评】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，注意不要用正方体的体积除以长方体的底面积．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】求石头的体积就是上升水的体积，可以利用长方体的体积公式V＝abh先求出放入石头后水的体积，再减去原有水的体积，即石头的体积，由此即可列式解答．
【解答】解：10升＝10立方分米，
3×3×1.4
＝9×1.4
＝12.6（立方分米）
12.6﹣10＝2.6（立方分米）
答：这块观赏石的体积是2.6立方分米．
【点评】此题主要考查求不规则物体的体积，关键是理解不规则物体的体积等于上升水的体积．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/20 21:24:37；用户：戚开乐；邮箱：hfnxxx19@qq.cm；学号：47467532
一．选择题（共4小题）
1．把一个高为24cm的圆锥形容器装满水，将这些水全部倒入等底的圆柱形容器里，水的高度是（ ）
A．72cmB．24cmC．16cmD．8cm
2．如图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积用π表示，应为（ ）
A．64πcm3B．60πcm3C．56πcm3D．40πcm3
3．如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出）后，甲乙两个容器水面高度是（ ）
A．甲高B．乙高C．一样高D．无法判断
4．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是（ ）立方厘米．
A．240B．1000C．125D．400
二．填空题（共13小题）
5．一个棱长是6dm的正方体容器装满了水后，倒入一个底面积是18dm2的圆锥形容器正好装满，这个圆锥的高是 ．
6．用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，两个物体的 一样大．
7．把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是 立方厘米．
8．一个量筒，盛有280毫升的水．放入1颗玻璃弹珠后，水面上升到刻度是300毫升的地方．这颗玻璃弹珠的体积是 ．
9．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆柱的体积是 立方厘米，圆锥的体积是 立方厘米．
10．一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了 ；那么，这样铁块又融化成铁 水（不计损耗），它的体积增加了 ．
11．雨哗哗地下个不停，如果在雨地里放一个A那样容器，雨水下满要1个小时，那么雨水下满B容器要 小时，下满C容器要 小时．
12．一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内，已知原来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为 cm．
13．一个密封的长方体玻璃箱，里面装水，从里面量，长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米．如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深 厘米．
14．一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中．已知圆柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是3：2，高的比是2：3，现在水面的高度是 分米．
15．甲、乙两个容器内盛有相同体积的水；已知甲容器长是10厘米．宽是10厘米．高12厘米．容器内原来水面高是9厘米．放入一个圆锥体完全浸没后．水面高度与容器高度相等（且没有溢出）：乙容器的棱长是15厘米．放入一个同样大小的圆锥体和一个圆柱体完全浸没后．水面高度距离容器口8厘米．那么圆锥的体积与圆柱体积的比是 ．
16．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块体积是1立方分米，这堆小方块的总体积是 立方分米，露在外面的面积是 ．
17．一个圆锥钢坯，体积是18.84立方厘米，高是4.5厘米，把2 个这样的钢坯改铸成一个圆柱形钢坯，如果底面积不变，改铸后的圆柱形钢坯的高应是 ．
三．应用题（共4小题）
18．有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？
19．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是18厘米、12厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
20．把一块棱长为10厘米的正方体铁块放入一个水深为6厘米的长方体容器中，该容器的长为40厘米，宽为20厘米，高为25厘米的长方体容器中，现在容器中的水并没有完全淹没正方体的铁块，求现在水的高度？
21．给一个底面长和宽都是3dm的长方体鱼缸中倒入10L水．再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出．此时水深1.4dm．这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计）
体积等积变形（思维拓展提高卷）六年级下册小升初数学专项培优卷（通用版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【答案】D
【分析】圆锥的体积=13×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，再据这些水的体积不变，即可求出倒入圆柱中的水的高度．
【解答】解：设圆锥的底面积为S，圆柱的高为h，
则圆锥的体积为13S×24＝8S（立方厘米），
因为圆柱与圆锥等底，
所以圆柱中水的高为：8S÷S＝8（厘米），
答：水的高度为8厘米．
故选：D．
【点评】此题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法，关键是明白：水的体积不变．
2．【答案】B
【分析】三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体，底面的直径都是4，将它们拼成如图2的新几何体，新几何体的体积＝一个圆柱体加半个圆柱体，新圆柱体的高是4+6+4＝14cm，半个圆柱体的高是6﹣4＝2cm，如图所示：
【解答】解：新几何体的体积＝一个圆柱体加半个圆柱体，
新圆柱体的高是4+6+4＝14（cm），
半个圆柱体的高是6﹣4＝2（cm），
圆柱体底面的半径4÷2＝2（cm），
根据圆柱体的体积公式V＝π×半径2×高，得：
新几何体的体积＝π×22×14+π×22×2×12=60π（cm3），
答：该新几何体的体积用π表示，应为60πcm3
故选：B．
【点评】本题的关键是理解新几何体的体积等于一个圆柱体加半个圆柱体，然后弄清这两个体积的高和底面半径，代入公式解决问题．
3．【答案】A
【分析】由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是6厘米，即原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积＝底面积×高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高；据此解答．
【解答】解：由于原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；
分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的；
又因为圆柱的体积＝底面积×高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度；
所以后来甲容器中的水面高；
故选：A．
【点评】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的．
4．【答案】C
【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，即增加的8条棱的长度和是40厘米，进而用40÷8得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公式“正方体的体积＝棱长3”，代入数值，进行解答即可．
【解答】解：[40÷（4×2）]3
＝53
＝125（立方厘米）
答：每个正方体的体积是125立方厘米．
故选：C．
【点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答．
二．填空题（共13小题）
5．【答案】见试题解答内容
【分析】倒入前后的水的体积不变，由此先利用正方体的容积公式V＝a3求出水的体积，再利用圆锥的高＝水的体积×3÷底面积即可解答．
【解答】解：6×6×6＝216（立方分米）
216×3÷18＝36（分米）
答：这个圆锥形容器的高是36分米．
故答案为：36分米．
【点评】此题考查了正方体和圆锥的体积公式的灵活应用，此题中水的体积就是正方体和圆锥的容积，抓住水的体积不变进行解答是关键．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】用一块橡皮泥，先捏成一个正方体，再捏成一个圆柱体，只是形状发生了变化，物体的材质没有变，也就是体积没有变，所以两个物体的体积一样大．
【解答】解：根据分析可得，
捏成正方体和圆柱体，只是形状发生了变化，物体的材质没有变，也就是体积没有变，表面积变了，
但两个物体的体积一样大．
故答案为：体积．
【点评】本题考查了简单的体积的等积变形，注意只要物体的材质没有变，它的体积就不变．
7．【答案】见试题解答内容
【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加2个面，增加了8条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加40厘米，即增加的8条棱的长度和是40厘米，进而用40÷8得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公式“正方体的体积＝棱长3”，代入数值，进行解答即可．
【解答】解：[40÷（4×2）]3，
＝125（立方厘米）；
答：每个正方体的体积是125立方厘米．
故答案为：125．
【点评】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答．
8．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，玻璃弹珠比同体积的水要重，把1颗放入水中，玻璃弹珠会沉到水底，那么它的体积就是上升的那部分水的体积，由此可求得即可．
【解答】解：300﹣280＝20（毫升），
20毫升＝20立方厘米；
答：这颗玻璃弹珠的体积是20立方厘米．
故答案为：20立方厘米．
【点评】解答此类型的题目要注意：当物体完全浸没在水中时，物体的体积就等于它排开的那部分水的体积．
9．【答案】见试题解答内容
【分析】216立方厘米是这个等底等高的圆柱与圆锥的体积之和，把这个体积平均分成4份，则圆锥的体积就是其中的1份，圆柱的体积就是其中的3份；据此解答即可．
【解答】解：根据圆柱与圆锥的体积公式可得：等底等高的圆柱体积是圆锥的体积的3倍，
所以它们的体积比是3：1；
圆锥的体积是：216÷4＝54（立方厘米），
圆柱的体积是：54×3＝162（立方厘米）；
答：圆柱的体积是162立方厘米，圆锥的体积是54立方厘米．
故答案为：162；54．
【点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】根据物体的热胀冷缩的特性可知，高温铁水凝成铁块它的体积就缩小；同理，铁块又融化成高温的铁水（不计损耗），它的体积增加了，据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
一炉铁水凝成铁块，它的体积缩小了，是正确的；
那么，这样铁块又融化成铁水（不计损耗），它的体积增加了，也是正确的．
故答案为：√，√．
【点评】本题考查了学生对于体积不变的前提条件的理解，物体的体积易受温度的影响，体积不变的前提条件：温度相同，形状可以不同．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）图A只要根据容积公式“长方体的体积＝底面积×高”代入数字，然后求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出；
（2）图B只要根据容积公式“圆柱的体积＝底面积×高”代入数字，然后求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出；
（3）图C该图形理解为从一个长为20厘米，宽为15厘米，高为20厘米的长方体中减去了一个长为10厘米，宽为15厘米，高为10厘米的长方体，根据长方体的体积公式，求出容积和底面积（接水面积）的比，即可得出．
【解答】解：在图A所示的容器中，容积：接水面积＝（20×5×10）：（20×5）＝10：1，需1小时接满，
所以在图B所示的容器中，容积：接水面积＝[3.14×（8÷2）2×20）：[3.14×（8÷2）2]＝20：1，需2小时接满；
在图C所示的容器中，容积：接水面积＝（20×15×20﹣10×15×10）：（20×15）＝15：1，需1.5小时接满．
答：雨水注满图B这个容器需要2小时；注满图C这个容器需要1.5小时；
故答案为：2，1.5．
【点评】此题做题的关键是：根据长方体、正方体的体积公式进行计算即可．
12．【答案】27。
【分析】根据正方体的体积公式先求出大正方体的体积和8个小正方体的体积，然后相减可得剩下的体积，然后设放入铁块后水面高度变为xcm，根据原来水的体积+铁块的体积露出水面的铁块的体积，列方程解答即可。
【解答】解：设放入铁块后水面高度变为xcm
30×30×30﹣10×10×10×8
＝27000﹣8000
＝19000（立方厘米）
2500x＝2500×20+19000﹣10×10×（30﹣x）×5
2000x＝54000
答：放入铁块后水面高度变为27cm
故答案为：27。
【点评】本题考查了体积的等积变形，要注意水没有完全浸没铁块，还有露出来的部分。
13．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解答．
【解答】解：30×10×5÷（10×15），
＝1500÷150，
＝10（厘米），
答：水深10厘米，
故答案为：10．
【点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，设圆柱的底面半径为3，高为2，则圆锥的底面半径为2，高为3，根据圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”、圆锥的体积计算公式“V=13πr2h”、即可求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再用水面升高的高度（9.6﹣6）分米，除以圆柱体铁块的份数乘圆锥体铁块的份数就是此时水面上升的高度，再加上9.6分米即为现在的水面高度．
【解答】解：圆柱铁块的体积：圆锥铁块的体积＝（3.14×32×2）：（13×3.14×22×3）＝9：2
（9.6﹣6）÷9×2
＝3.6÷9×2
＝0.4×2
＝0.8（分米）
9.6+0.8＝10.4（分米）
答：现在水面高度是10.4分米．
故答案为：10.4．
【点评】解答此题的关键是根据圆柱体积公式、圆锥体积公式及已知条件求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再根据分析或列比例求出放入圆锥铁块后水面上升的高度．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】用长方体的体积＝长×宽×高求出容器中水的体积，
根据求不规则物体的体积的方法，求出圆锥的体积，圆锥的体积等于圆柱容器中下降水的体积，
用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和，
用正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和减去水的体积和圆锥的体积就是圆柱的体积，
再用圆锥的体积比上圆柱体积即可解答．
【解答】解：水的体积：10×10×9＝900（立方厘米）
圆锥的体积：10×10×（12﹣9）＝300（立方厘米）
正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和是：15×15×（15﹣8）＝1575（立方厘米）
圆柱的体积：1575﹣900﹣300＝375（立方厘米）
圆锥的体积与圆柱体积的比是：300：375＝4：5．
答：圆锥的体积与圆柱体积的比是4：5．
故答案为：4：5．
【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法，关键是明白圆柱容器中下降水的体积是圆锥的体积，圆柱的体积是正方体容器中水的体积、圆锥的体积与圆柱的体积的和减去水的体积和圆锥的体积．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过观察可以看出一共有12个小正方体，因为每个小方块体积是1立方分米，所以用1乘12即可得出这堆小方块的总体积；
（2）可以从前后左右上五个方向观察各有几个小正方形的面，求出总个数就比较容易求出露在外面的面积．
【解答】解：（1）1×12＝12（立方分米），
（2）前后面：8×2＝16（个），
左右面：6×2＝12（个），
上面：6个，
共有：16+12+6＝34（个），
因为每个小方块体积是1立方分米，所以棱长是1分米，
露在外面的面积是：1×1×34＝34（平方分米）；
答：这堆小方块的总体积是12立方分米，露在外面的面积是34平方分米．
故答案为：12，34平方分米．
【点评】本题第二题比较容易出错，但是只要分类从五个方向观察，转化为求若干个小正方形的面的面积就容易了．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】因为圆锥的体积V=13sh，所以s＝3V÷h，由此求出底面积，即铸成一个圆柱形钢坯的底面积，再根据铸造的过程中体积不变，即2个圆锥钢坯的体积等于一个圆柱形钢坯，由此再利用圆柱的体积公式求出求出铸成一个圆柱形钢坯的高．
【解答】解：18.84×2÷（3×18.84÷4.5），
=23×4.5，
＝3（厘米），
答：改铸后的圆柱形钢坯的高应是3厘米；
故答案为：3厘米．
【点评】解答此题的关键是根据圆柱形钢材铸成铸成圆锥形钢材的过程中，体积不会改变，由相应的公式或公式的变形解决问题．
三．应用题（共4小题）
18．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来水槽中水的体积是多少；然后根据长方形的面积＝长×宽，可得水槽的底面积是192（16×12＝192）平方厘米，铁块的底面积是64（8×8＝64）平方厘米，用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放入铁块后水所占的底面积是128（192﹣64＝128）平方厘米，再用原来水槽中水的体积除以放入铁块后水所占的底面积，求出现在水的高度为9厘米，所以仍然有3（12﹣9＝3）厘米高的铁块在油里，求出这3厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积就是油层增加的高度，再加上原来的高度6厘米就是此时油层的层高；据此解答．
【解答】解：（16×12×6）÷（16×12﹣8×8）
＝1152÷（192﹣64）
＝1152÷128
＝9（厘米）
8×8×（12﹣9）÷（16×12）+6
＝8×8×3÷192+6
＝192÷192+6
＝1+6
＝7（厘米）
答：此时油层的层高是7厘米．
【点评】此题主要考查了长方体的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出在油里的铁块的高度是多少．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知：当甲杯中取出铁块后，水面下降部分水的体积就等于铁块的体积，即底面直径18厘米、高是2厘米的圆柱的体积；然后再除以乙杯的底面积，就是水位上升的高度．
【解答】解：3.14×（18÷2）2×2÷3.14÷（12÷2）2
＝81×2÷36
＝4.5（厘米）
答：这时乙杯中的水位上升了4.5厘米．
【点评】体积的等积变形主要是用排水法，当物体浸没于容器中时，要根据物体的体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】容器中水的体积是40×20×6＝4800（立方厘米）；现在容器中的水并没有完全淹没正方体的铁块，所以这时容器中水柱的底面积是40×20﹣10×10＝700（平方厘米），然后除水的体积就是现在水的高度．
【解答】解：40×20×6＝4800（立方厘米）
40×20﹣10×10
＝800﹣100
＝700（平方厘米）
4800÷700=487（厘米）
答：现在的水深是487厘米．
【点评】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，注意不要用正方体的体积除以长方体的底面积．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】求石头的体积就是上升水的体积，可以利用长方体的体积公式V＝abh先求出放入石头后水的体积，再减去原有水的体积，即石头的体积，由此即可列式解答．
【解答】解：10升＝10立方分米，
3×3×1.4
＝9×1.4
＝12.6（立方分米）
12.6﹣10＝2.6（立方分米）
答：这块观赏石的体积是2.6立方分米．
【点评】此题主要考查求不规则物体的体积，关键是理解不规则物体的体积等于上升水的体积．
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