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2023-2024学年江西省南昌二十八中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江西省南昌二十八中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中是无理数的是( )
A. 25B. 3−8C. π2D. 227
2.9的平方根是( )
A. −3B. 3C. ±3D. ±9
3.下列命题中，真命题的个数有( )
①无限小数是无理数；
②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；
③同位角相等；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
4.如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( )
A. B. C. D.
5.下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. ②③B. ①②③C. ①②④D. ①④
6.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD//BE，∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 90°
B. 100°
C. 105°
D. 110°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若分式1x−1有意义，则x的取值范围为_________．
8.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_____________________________。
9.若点M(a+5,a−2)在y轴上，则a= ______．
10.命题：“两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角”是______命题(填“真”或“假”)
11.已知35.28=1.741，3a=0.1741，则a的值是______．
12.如图，第四象限内有一正方形ABCD，且A(a,b+3)，C(a+2,b)，将正方形ABCD平移，使A，C两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点C的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.计算： 25−364+|1− 2|.
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠DOF=70°，求∠AOC的度数．
15.(本小题6分)
一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−1和−a+2．
(1)求a和x的值；
(2)求4x+9a的立方根．
16.(本小题6分)
如图，∠1+∠B=180°，∠2=∠D，AD与EF平行吗？为什么？
17.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3a−5,a+1)．
(1)若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
(2)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等；求a的值及点A的坐标．
18.(本小题8分)
已知在平面直角坐标系中有三点A(−2,1)、B(3,1)、C(2,3).请回答如下问题：
(1)在坐标系内描出点A、B、C的位置；
(2)求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19.(本小题8分)
阅读下列文字，解答问题：
大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 2−1来表示 2的小数部分，因为 2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：因为 4< 7< 9，即2< 7<3，所以 7的整数部分为2，小数部分为 7−2.请解答：
(1) 15的整数部分是______，小数部分是______；
(2)已知2+ 6的小数部分为a，5− 6的小数部分为b，计算a+b的值；
(3)已知12+ 5=x+y(x是整数，且020.(本小题8分)
如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D−40°=∠3，∠CBD=80°．
(1)求证：AB//CD；
(2)求∠C的度数．
21.(本小题9分)
将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B(a,b)，且a，b满足|a−2b|+(b−4)2=0．
(1)求B点的坐标；
(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；
(3)若点P从点C出发，以2单位/秒的速度向O点运动(不超过O点)，同时点Q从O点出发以1单位/秒的速度向A点运动(不超过A点)，试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
22.(本小题9分)
根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，AB//CD，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作FE//AB
所以∠B+∠BFE=180°
因为AB//CD、FE//AB(已知)
所以
所以∠D+∠DFE=180°
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索.如图(2)(3)AB//EF、∠D与∠B、∠F有何数量关系(请选其中一个简要证明)
备用图：
(3)如图(4)AB//EF，∠C=90°，∠α与∠β、∠γ有何数量关系(直接写出结果，不需要说明理由)
23.(本小题12分)
已知点A(a,0)，B(0,b)，实数a、b满足b= a−2+ 2−a−4．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)若点P的坐标是P(−2,x)，且−4(3)如图，过点B作BC//x轴，Q是x轴上点A左侧的一动点连接QB，BM平分∠QBA，BN平分∠ABC，当点Q运动时直接写出∠MBN∠AQB=______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 25=5，5是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、3−8=−2，−2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、π2是无理数，故此选项符合题意；
D、227是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】C
【解析】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根为±3．
故选C
根据平方根的概念，推出9的平方根为±3．
本题主要考查平方根的定义，关键在于推出(±3)2=9．
3.【答案】A
【解析】解：无限不循环小数是无理数，所以①为假命题；
立方根等于它本身的数有三个，是0和±1，所以②为假命题；
两直线平行，同位角相等，所以③为假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④为假命题．
故选：A．
根据无理数的定义对①进行判断；利用−1的立方根为−1对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据平行公理可对④进行判断．
本题考查了命题于定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了利用平移设计图案，属于基础题．
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【解答】
解：根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
【解答】
解：延长BC，如下图所示，
由题意得，AF//BE，AD//BC，
因为AF//BE，
所以∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)，
因为AD//BC，
所以∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)，
所以∠4=∠1=40°，
因为CD//BE，
所以∠6=∠4=40°(两直线平行，同位角相等)，
因为这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，
所以∠5=∠6=40°，
所以∠2=180°−∠5−∠6=180°−40°−40°=100°，
故选：B．
7.【答案】x≠1
【解析】解：依题意得x−1≠0，即x≠1时，分式1x−1有意义．
故答案是：x≠1．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
8.【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】【分析】
本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】
解：根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
9.【答案】−5
【解析】解：∵点M(a+5,a−2)在y轴上，
∴a+5=0，
解得a=−5．
故答案为：−5．
根据y轴上点的横坐标为0列出方程求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
10.【答案】假
【解析】解：根据补角的定义可知，只要两个角的度数和是180度，就称这两个角是互为补角，
∴如果两个角互为补角，那么这两个角是什么角并不确定，
故答案为：假．
根据补角的定义来分析互补的两个角的类型可以是任何类型，只要其和是个平角(或180°)即可．
本题主要考查了如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角，难度适中．
11.【答案】0.00528
【解析】解：∵35.28=1.741，3a=0.1741，
∴a=0.00528．
故答案为：0.00528．
根据开立方的规律：被开方数的小数点每向左(右)移动三位，开方后立方根的小数点向左(右)移动一位解题即可．
本题考查立方根，解题关键是掌握立方根的小数点的移动规律．
12.【答案】(2,0)或(0,−3)
【解析】解：当平移后点A的对应点在x轴上，点C的对应点在y轴上时，
∵A(a,b+3)，C(a+2,b)，
∴由点A的纵坐标(b+3)可知向上平移了(−b−3)个单位，由点C的横坐标(a+2)可知向左平移了(a+2)个单位，
∴平移后点C的对应点的纵坐标是b+(−b−3)=−3，
∴平移后点C的对应点的坐标是(0,−3)；
当平移后点A的对应点在y轴上，点C的对应点在x轴上时，
∵A(a,b+3)，C(a+2,b)，
∴由点A的横坐标a可知向左平移了a个单位，由点C的纵坐标b可知向上平移了−b个单位，
∴平移后点C的对应点的横坐标是a+2−a=2，
∴平移后点C的对应点的坐标是(2,0)；
综上，平移后点C的对应点的坐标是(2,0)或(0,−3)，
故答案为：(2,0)或(0,−3)．
分两种情况讨论：当平移后点A的对应点在x轴上，点C的对应点在y轴上时；当平移后点A的对应点在y轴上，点C的对应点在x轴上时；分别根据x轴、y轴上点的坐标特征解答即可．
本题主要考查图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，解题的关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】解：原式=5−4+ 2−1= 2．
【解析】原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE，
∵OE⊥OF，
∴∠FOE=90°，
∴∠DOE=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOC=40°．
【解析】由角平分线的性质得∠BOD=2∠DOE，由垂直的定义得，∠FOE=90°，易得∖∠DOE=20°，∠BOD=40°，由对顶角的定义得∠AOC=40°．
本题主要考查了对顶角、垂线以及角平分线的定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键．
15.【答案】解：(1)由题意可知：2a−1+(−a+2)=0，
解得：a=−1，
∴x=(2a−1)2=(−3)2=9；
(2)4x+9a=4×9+9×(−1)=27，
∴327=3．
【解析】(1)根据正数的两个平方根互为相反数求解．
(2)将(1)中结果代入求解．
本题考查了立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数．
16.【答案】解：AD与EF平行．理由如下：
∵∠1+∠B=180°，
∴BC//EF，
∵∠2=∠D，
∴BC//AD，
∴AD//EF．
【解析】根据∠1+∠B=180°，可得出BC//EF，根据∠2=∠D可得出BC//AD，进而可得出结论．
此题考查的是平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
17.【答案】解：(1)∵点A在y轴上，
∴3a−5=0，
解得：a=53，
a+1=83，
点A的坐标为：(0,83)；
(2)∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|3a−5|=|a+1|，
①3a−5=a+1，解得：a=3，则点A(4,4)；
②3a−5=−(a+1)，解得：a=1，则点A(−2,2)；
③−(3a−5)=a+1解得：a=1，则点A(−2,2)；
④−(3a−5)=−(a+1)，解得：a=3，则点A(4,4)
所以a=3，则点A(4,4)或a=1，则点A(−2,2)．
【解析】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记坐标轴上点的坐标特征．
(1)根据点在y轴上，横坐标为0，求出a的值，即可解答；
(2)根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，得到|3a−5|=|a+1|，即可解答．
18.【答案】解：(1)描点如图；
(2)依题意，得AB//x轴，且AB=3−(−2)=5，
点C到线段AB的距离为：3−1=2，
∴S△ABC=12×5×2=5；
(3)存在；
∵AB=5，S△ABP=10，
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为(0,5)或(0,−3)．
【解析】(1)根据点的坐标，直接描点；
(2)根据点的坐标可知，AB//x轴，且AB=3−(−2)=5，点C到线段AB的距离3−1=2，根据三角形面积公式求解；
(3)因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个．
本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积．
19.【答案】3 15−3
【解析】解：(1)∵3< 15<4，
∴ 15的整数部分是3，小数部分是 15−3，
故答案为：3； 15−3；
(2)已知2+ 6的小数部分为a，5− 6的小数部分为b，
∵2< 6<3，
∴4<2+ 6<5．
∴2+ 6的整数部分为4，小数部分为a=2+ 6−4= 6−2．
∵−3<− 6<−2，
∴2<5− 6<3．
∴5− 6的整数部分为2，小数部分b=5− 6−2=3− 6．
∴a+b= 6−2+3− 6=1．
(3)已知12+ 5=x+y(x是整数，且0又∵2< 5<3，
∴x=14，y=12+ 5−14= 5−2．
∵z= m−1+ 1−m+ 5，
∴m−1≥0，1−m≥0，
∴m只能为1．
∴z= 5．
∴x−y+z=14−( 5−2)+ 5=16．
∴ x−y+z的平方根为±2．
(1)估算出 15的范围，即可得出答案；
(2)先估算出 6的范围，再根据不等式的性质求出a、b的值，然后代入a+b，计算即可；
(3)首先依据x是整数，求得x，y，再推导出m只能为1，求得z= 5，进而得解．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的整数部分及小数部分的确定方法：设无理数为m，m的整数部分a为不大于m的最大整数，小数部分b为数m减去其整数部分，即b=m−a；理解概念是解答本题的关键，难度适中．
20.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMN=∠BNG=90°，
∴AE//FG，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠1，
∴AB//CD；
(2)解：∵AB//CD，
∴∠C=∠3，∠ABD+∠D=180°，
∵∠D−40°=∠3，∠CBD=80°，
∴∠3+∠CBD+∠3+40°=180°，
解得：∠3=30°，
∴∠C=30°．
【解析】(1)由垂直可得∠AMN=∠BNG=90°，可求得AE//FG，则有∠2=∠A，从而可求得∠A=∠1，即可判定AB//CD；
(2)由平行线的性质可得∠D+∠ABD=180°，结合已知条件即可求∠3的度数，从而求得∠C的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理及性质并灵活运用．
21.【答案】解：(1)∵|a−2b|+(b−4)2=0．
∴a−2b=0，且b−4=0，
∴a=8，b=4，
∴B(8,4)；
(2)当点D在AB边上时，如图，
设D(m,4)，则AD=m，BD=8−m，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴(4+m)：(8−m+8+4)=2：3，
解得m=5.6，
∴D(5.6,4)；
当点D在BC边上时，如图，
设D(8,n)，则CD=n，BD=4−n，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴(8+n)：(4−n+8+4)=2：3，
解得m=1.6，
∴D(8,1.6)；
综上，点D的坐标为：(5.6,4)或(8,1.6)；
(3)四边形AQCP的面积在运动中不会发生变化．
如图，设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t(0≤t≤4)，
S四边形BPOQ=S矩形ABCO−S△ABQ−S△BCP
=8×4−12×8×(4−t)−12×4×2t
=16．
【解析】(1)根据非负数的性质列式求出得到|a−2b|+(b−4)2=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；
(2)分类讨论：当点D在AB上，设D(m,4)，则AD=m，BD=8−m，根据题意得(4+m)：(8−m++8+4)=2：3，然后解方程求出m即可得到D点坐标；当点D在BC上，设D(8,n)，则CD=n，BD=4−n，根据题意得(8+n)：(4−n+8+4)=2：3，然后解方程求出n即可得到D点坐标；
(3)设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t(0≤t≤4)，则可根据三角形面积公式和S四边形BPOQ=S矩形ABCO−S△ABQ−S△BCP计算得到S四边形AQCP=16，即四边形AQCP的面积在运动中不发生变化．
本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，非负数的性质，三角形的面积公式，第(2)题关键是分情况列出方程．
22.【答案】两直线平行，同旁内角互补 FE//CD 两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：(1)过点F作FE//AB，如图，
∴∠B+∠BFE=180°(两直线平行，同旁内角相等)，
∵AB//CD、FE//AB(已知)，
∴FE//CD(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠D+∠DFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；FE//CD；两直线平行，同旁内角互补；
(2)选图(2)，∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵AB//EF，DC//AB，
∴DC//EF，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC=∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图(3)，∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵AB//EF，DC//AB，
∴DC//EF，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC=∠F，
即∠BDF+∠B=∠F，
∠BDF+∠B=∠F；
(3)∠α+∠β−∠γ=90°．
如图(4)所示，过点C作MC//AB，过D作DN//EF，
∴∠α=∠BCM，∠γ=∠NDE，
∵AB//CM，EF//AB，DN//EF，
∴AB//EF//CM//DN，
∴∠CDN=∠MCD，
∵∠MCD+∠BCM=90°，∠β=∠CDN+∠NDE，
∴∠α+∠β−∠γ=90°．
(1)过点F作FE//AB，得到∠B+∠BFE=180°，再根据AB//CD、FE//AB得到FE//CD，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
(2)类比问题(1)的解题方法即可得解；
(3)类比问题(1)的解题方法即可得解．
本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
23.【答案】12
【解析】解：(1)由题意得，a−2≥02−a≥0，
∴a=2，
∴b= a−2+ 2−a−4=−4，
∵A(a,0)，B(0,b)，
∴A(2,0)，B(0,−4)；
(2)过B作BD⊥直线x=−2于点D，如图1，
由BD=2，AE=4，PE=−x，PD=x+4，
∵△PAB的面积为7，
∴12×(4+2)×4−12×4(−x)−12×2(x+4)=7，
解得，x=−1；
(3)设∠BQA=y，∠MBN=x.∠ABM=z，
∵BC//AQ，
∴∠CBQ=∠BQA=y，
∵∠ABM=∠QBM=z，
∴∠QBN=z−x，
∵∠CBN=∠ABN，
∴y+(z−x)=x+z，
∴y=2x，即∠BQA=2∠MBN，
∴∠MBN∠AQB=12，
故答案为：12．
(1)根据二次根式有意义的条件列出a的不等式组求得a，再由已知等式求得b，便可写出A、B的坐标；
(2)根据已知三角形的面积列出x的方程，便可求得x的值；
(3)根据平行线的性质、角平分线的定义，构建方程即可解决问题．
本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质、非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
1.下列各数中是无理数的是( )
A. 25B. 3−8C. π2D. 227
2.9的平方根是( )
A. −3B. 3C. ±3D. ±9
3.下列命题中，真命题的个数有( )
①无限小数是无理数；
②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；
③同位角相等；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
4.如图所示的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是( )
A. B. C. D.
5.下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. ②③B. ①②③C. ①②④D. ①④
6.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD//BE，∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 90°
B. 100°
C. 105°
D. 110°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若分式1x−1有意义，则x的取值范围为_________．
8.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_____________________________。
9.若点M(a+5,a−2)在y轴上，则a= ______．
10.命题：“两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角”是______命题(填“真”或“假”)
11.已知35.28=1.741，3a=0.1741，则a的值是______．
12.如图，第四象限内有一正方形ABCD，且A(a,b+3)，C(a+2,b)，将正方形ABCD平移，使A，C两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点C的坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.计算： 25−364+|1− 2|.
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠DOF=70°，求∠AOC的度数．
15.(本小题6分)
一个正数x的两个不同的平方根分别是2a−1和−a+2．
(1)求a和x的值；
(2)求4x+9a的立方根．
16.(本小题6分)
如图，∠1+∠B=180°，∠2=∠D，AD与EF平行吗？为什么？
17.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3a−5,a+1)．
(1)若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标．
(2)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等；求a的值及点A的坐标．
18.(本小题8分)
已知在平面直角坐标系中有三点A(−2,1)、B(3,1)、C(2,3).请回答如下问题：
(1)在坐标系内描出点A、B、C的位置；
(2)求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19.(本小题8分)
阅读下列文字，解答问题：
大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 2−1来表示 2的小数部分，因为 2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：因为 4< 7< 9，即2< 7<3，所以 7的整数部分为2，小数部分为 7−2.请解答：
(1) 15的整数部分是______，小数部分是______；
(2)已知2+ 6的小数部分为a，5− 6的小数部分为b，计算a+b的值；
(3)已知12+ 5=x+y(x是整数，且0
如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D−40°=∠3，∠CBD=80°．
(1)求证：AB//CD；
(2)求∠C的度数．
21.(本小题9分)
将长方形OABC的顶点O放在直角坐标系中，点C，A分别在x轴，y轴上，点B(a,b)，且a，b满足|a−2b|+(b−4)2=0．
(1)求B点的坐标；
(2)若过O点的直线OD交长方形的边于点D，且直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，求点D的坐标；
(3)若点P从点C出发，以2单位/秒的速度向O点运动(不超过O点)，同时点Q从O点出发以1单位/秒的速度向A点运动(不超过A点)，试探究四边形BQOP的面积在运动中是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．
22.(本小题9分)
根据下列叙述填依据．
(1)已知如图1，AB//CD，求∠B+∠BFD+∠D的度数．
解：过点F作FE//AB
所以∠B+∠BFE=180°
因为AB//CD、FE//AB(已知)
所以
所以∠D+∠DFE=180°
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°
(2)根据以上解答进行探索.如图(2)(3)AB//EF、∠D与∠B、∠F有何数量关系(请选其中一个简要证明)
备用图：
(3)如图(4)AB//EF，∠C=90°，∠α与∠β、∠γ有何数量关系(直接写出结果，不需要说明理由)
23.(本小题12分)
已知点A(a,0)，B(0,b)，实数a、b满足b= a−2+ 2−a−4．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)若点P的坐标是P(−2,x)，且−4
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 25=5，5是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、3−8=−2，−2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、π2是无理数，故此选项符合题意；
D、227是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】C
【解析】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根为±3．
故选C
根据平方根的概念，推出9的平方根为±3．
本题主要考查平方根的定义，关键在于推出(±3)2=9．
3.【答案】A
【解析】解：无限不循环小数是无理数，所以①为假命题；
立方根等于它本身的数有三个，是0和±1，所以②为假命题；
两直线平行，同位角相等，所以③为假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④为假命题．
故选：A．
根据无理数的定义对①进行判断；利用−1的立方根为−1对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据平行公理可对④进行判断．
本题考查了命题于定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了利用平移设计图案，属于基础题．
根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【解答】
解：根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
【解答】
解：延长BC，如下图所示，
由题意得，AF//BE，AD//BC，
因为AF//BE，
所以∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)，
因为AD//BC，
所以∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)，
所以∠4=∠1=40°，
因为CD//BE，
所以∠6=∠4=40°(两直线平行，同位角相等)，
因为这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，
所以∠5=∠6=40°，
所以∠2=180°−∠5−∠6=180°−40°−40°=100°，
故选：B．
7.【答案】x≠1
【解析】解：依题意得x−1≠0，即x≠1时，分式1x−1有意义．
故答案是：x≠1．
分式有意义，分母不等于零．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
8.【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】【分析】
本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】
解：根据连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
9.【答案】−5
【解析】解：∵点M(a+5,a−2)在y轴上，
∴a+5=0，
解得a=−5．
故答案为：−5．
根据y轴上点的横坐标为0列出方程求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
10.【答案】假
【解析】解：根据补角的定义可知，只要两个角的度数和是180度，就称这两个角是互为补角，
∴如果两个角互为补角，那么这两个角是什么角并不确定，
故答案为：假．
根据补角的定义来分析互补的两个角的类型可以是任何类型，只要其和是个平角(或180°)即可．
本题主要考查了如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角，难度适中．
11.【答案】0.00528
【解析】解：∵35.28=1.741，3a=0.1741，
∴a=0.00528．
故答案为：0.00528．
根据开立方的规律：被开方数的小数点每向左(右)移动三位，开方后立方根的小数点向左(右)移动一位解题即可．
本题考查立方根，解题关键是掌握立方根的小数点的移动规律．
12.【答案】(2,0)或(0,−3)
【解析】解：当平移后点A的对应点在x轴上，点C的对应点在y轴上时，
∵A(a,b+3)，C(a+2,b)，
∴由点A的纵坐标(b+3)可知向上平移了(−b−3)个单位，由点C的横坐标(a+2)可知向左平移了(a+2)个单位，
∴平移后点C的对应点的纵坐标是b+(−b−3)=−3，
∴平移后点C的对应点的坐标是(0,−3)；
当平移后点A的对应点在y轴上，点C的对应点在x轴上时，
∵A(a,b+3)，C(a+2,b)，
∴由点A的横坐标a可知向左平移了a个单位，由点C的纵坐标b可知向上平移了−b个单位，
∴平移后点C的对应点的横坐标是a+2−a=2，
∴平移后点C的对应点的坐标是(2,0)；
综上，平移后点C的对应点的坐标是(2,0)或(0,−3)，
故答案为：(2,0)或(0,−3)．
分两种情况讨论：当平移后点A的对应点在x轴上，点C的对应点在y轴上时；当平移后点A的对应点在y轴上，点C的对应点在x轴上时；分别根据x轴、y轴上点的坐标特征解答即可．
本题主要考查图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，解题的关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】解：原式=5−4+ 2−1= 2．
【解析】原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE，
∵OE⊥OF，
∴∠FOE=90°，
∴∠DOE=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOC=40°．
【解析】由角平分线的性质得∠BOD=2∠DOE，由垂直的定义得，∠FOE=90°，易得∖∠DOE=20°，∠BOD=40°，由对顶角的定义得∠AOC=40°．
本题主要考查了对顶角、垂线以及角平分线的定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键．
15.【答案】解：(1)由题意可知：2a−1+(−a+2)=0，
解得：a=−1，
∴x=(2a−1)2=(−3)2=9；
(2)4x+9a=4×9+9×(−1)=27，
∴327=3．
【解析】(1)根据正数的两个平方根互为相反数求解．
(2)将(1)中结果代入求解．
本题考查了立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数．
16.【答案】解：AD与EF平行．理由如下：
∵∠1+∠B=180°，
∴BC//EF，
∵∠2=∠D，
∴BC//AD，
∴AD//EF．
【解析】根据∠1+∠B=180°，可得出BC//EF，根据∠2=∠D可得出BC//AD，进而可得出结论．
此题考查的是平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．
17.【答案】解：(1)∵点A在y轴上，
∴3a−5=0，
解得：a=53，
a+1=83，
点A的坐标为：(0,83)；
(2)∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴|3a−5|=|a+1|，
①3a−5=a+1，解得：a=3，则点A(4,4)；
②3a−5=−(a+1)，解得：a=1，则点A(−2,2)；
③−(3a−5)=a+1解得：a=1，则点A(−2,2)；
④−(3a−5)=−(a+1)，解得：a=3，则点A(4,4)
所以a=3，则点A(4,4)或a=1，则点A(−2,2)．
【解析】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记坐标轴上点的坐标特征．
(1)根据点在y轴上，横坐标为0，求出a的值，即可解答；
(2)根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，得到|3a−5|=|a+1|，即可解答．
18.【答案】解：(1)描点如图；
(2)依题意，得AB//x轴，且AB=3−(−2)=5，
点C到线段AB的距离为：3−1=2，
∴S△ABC=12×5×2=5；
(3)存在；
∵AB=5，S△ABP=10，
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为(0,5)或(0,−3)．
【解析】(1)根据点的坐标，直接描点；
(2)根据点的坐标可知，AB//x轴，且AB=3−(−2)=5，点C到线段AB的距离3−1=2，根据三角形面积公式求解；
(3)因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在y轴上，满足题意的P点有两个．
本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角形的面积．
19.【答案】3 15−3
【解析】解：(1)∵3< 15<4，
∴ 15的整数部分是3，小数部分是 15−3，
故答案为：3； 15−3；
(2)已知2+ 6的小数部分为a，5− 6的小数部分为b，
∵2< 6<3，
∴4<2+ 6<5．
∴2+ 6的整数部分为4，小数部分为a=2+ 6−4= 6−2．
∵−3<− 6<−2，
∴2<5− 6<3．
∴5− 6的整数部分为2，小数部分b=5− 6−2=3− 6．
∴a+b= 6−2+3− 6=1．
(3)已知12+ 5=x+y(x是整数，且0
∴x=14，y=12+ 5−14= 5−2．
∵z= m−1+ 1−m+ 5，
∴m−1≥0，1−m≥0，
∴m只能为1．
∴z= 5．
∴x−y+z=14−( 5−2)+ 5=16．
∴ x−y+z的平方根为±2．
(1)估算出 15的范围，即可得出答案；
(2)先估算出 6的范围，再根据不等式的性质求出a、b的值，然后代入a+b，计算即可；
(3)首先依据x是整数，求得x，y，再推导出m只能为1，求得z= 5，进而得解．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的整数部分及小数部分的确定方法：设无理数为m，m的整数部分a为不大于m的最大整数，小数部分b为数m减去其整数部分，即b=m−a；理解概念是解答本题的关键，难度适中．
20.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMN=∠BNG=90°，
∴AE//FG，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠1，
∴AB//CD；
(2)解：∵AB//CD，
∴∠C=∠3，∠ABD+∠D=180°，
∵∠D−40°=∠3，∠CBD=80°，
∴∠3+∠CBD+∠3+40°=180°，
解得：∠3=30°，
∴∠C=30°．
【解析】(1)由垂直可得∠AMN=∠BNG=90°，可求得AE//FG，则有∠2=∠A，从而可求得∠A=∠1，即可判定AB//CD；
(2)由平行线的性质可得∠D+∠ABD=180°，结合已知条件即可求∠3的度数，从而求得∠C的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理及性质并灵活运用．
21.【答案】解：(1)∵|a−2b|+(b−4)2=0．
∴a−2b=0，且b−4=0，
∴a=8，b=4，
∴B(8,4)；
(2)当点D在AB边上时，如图，
设D(m,4)，则AD=m，BD=8−m，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴(4+m)：(8−m+8+4)=2：3，
解得m=5.6，
∴D(5.6,4)；
当点D在BC边上时，如图，
设D(8,n)，则CD=n，BD=4−n，
∵直线OD把长方形的周长分为2：3两部分，
∴(8+n)：(4−n+8+4)=2：3，
解得m=1.6，
∴D(8,1.6)；
综上，点D的坐标为：(5.6,4)或(8,1.6)；
(3)四边形AQCP的面积在运动中不会发生变化．
如图，设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t(0≤t≤4)，
S四边形BPOQ=S矩形ABCO−S△ABQ−S△BCP
=8×4−12×8×(4−t)−12×4×2t
=16．
【解析】(1)根据非负数的性质列式求出得到|a−2b|+(b−4)2=0，然后解方程求出a与b的值，再写出B点坐标；
(2)分类讨论：当点D在AB上，设D(m,4)，则AD=m，BD=8−m，根据题意得(4+m)：(8−m++8+4)=2：3，然后解方程求出m即可得到D点坐标；当点D在BC上，设D(8,n)，则CD=n，BD=4−n，根据题意得(8+n)：(4−n+8+4)=2：3，然后解方程求出n即可得到D点坐标；
(3)设运动的时间为t，则CP=2t，OQ=t(0≤t≤4)，则可根据三角形面积公式和S四边形BPOQ=S矩形ABCO−S△ABQ−S△BCP计算得到S四边形AQCP=16，即四边形AQCP的面积在运动中不发生变化．
本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，非负数的性质，三角形的面积公式，第(2)题关键是分情况列出方程．
22.【答案】两直线平行，同旁内角互补 FE//CD 两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：(1)过点F作FE//AB，如图，
∴∠B+∠BFE=180°(两直线平行，同旁内角相等)，
∵AB//CD、FE//AB(已知)，
∴FE//CD(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠D+∠DFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；FE//CD；两直线平行，同旁内角互补；
(2)选图(2)，∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵AB//EF，DC//AB，
∴DC//EF，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC=∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
选图(3)，∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F
过点D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵AB//EF，DC//AB，
∴DC//EF，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC=∠F，
即∠BDF+∠B=∠F，
∠BDF+∠B=∠F；
(3)∠α+∠β−∠γ=90°．
如图(4)所示，过点C作MC//AB，过D作DN//EF，
∴∠α=∠BCM，∠γ=∠NDE，
∵AB//CM，EF//AB，DN//EF，
∴AB//EF//CM//DN，
∴∠CDN=∠MCD，
∵∠MCD+∠BCM=90°，∠β=∠CDN+∠NDE，
∴∠α+∠β−∠γ=90°．
(1)过点F作FE//AB，得到∠B+∠BFE=180°，再根据AB//CD、FE//AB得到FE//CD，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
(2)类比问题(1)的解题方法即可得解；
(3)类比问题(1)的解题方法即可得解．
本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．
23.【答案】12
【解析】解：(1)由题意得，a−2≥02−a≥0，
∴a=2，
∴b= a−2+ 2−a−4=−4，
∵A(a,0)，B(0,b)，
∴A(2,0)，B(0,−4)；
(2)过B作BD⊥直线x=−2于点D，如图1，
由BD=2，AE=4，PE=−x，PD=x+4，
∵△PAB的面积为7，
∴12×(4+2)×4−12×4(−x)−12×2(x+4)=7，
解得，x=−1；
(3)设∠BQA=y，∠MBN=x.∠ABM=z，
∵BC//AQ，
∴∠CBQ=∠BQA=y，
∵∠ABM=∠QBM=z，
∴∠QBN=z−x，
∵∠CBN=∠ABN，
∴y+(z−x)=x+z，
∴y=2x，即∠BQA=2∠MBN，
∴∠MBN∠AQB=12，
故答案为：12．
(1)根据二次根式有意义的条件列出a的不等式组求得a，再由已知等式求得b，便可写出A、B的坐标；
(2)根据已知三角形的面积列出x的方程，便可求得x的值；
(3)根据平行线的性质、角平分线的定义，构建方程即可解决问题．
本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质、非负数的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
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