浙江省杭州市上城区钱学森学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本科目试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用黑色水笔或签字笔填写学校、班级、姓名、座位号、考号．
3．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
4．考试结束后，上交试题卷和答题卷．
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列生活现象中，属于平移的是（ ）
A. 足球在草地上滚动B. 拉开抽屉
C. 投影片的文字经投影转换到屏幕上D. 钟摆的摆动
【答案】B
【解析】
【分析】根据基平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移
B．拉开抽屉符合平移的定义，属于平移；
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移；
D．钟摆摆动是旋转运动，不属于平移；
故选B．
2. 如图，下列说法错误的是（ ）
A. 与是内错角B. 与是同位角
C. 与是同旁内角D. 与不是同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了三线八角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、与是内错角，原说法正确，不符合题意；
B、与是同位角，原说法正确，不符合题意；
C、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
D、与是同旁内角，原说法错误，符合题意；
故选：D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的计算，积的乘方，同底数幂相乘，完全平方公式．根据题干逐一对选项进行求解即可得到本题答案．
【详解】解：∵不是同类项无法进行计算，故A选项不正确；
∵，故B选项不正确；
∵，故C选项正确；
∵，故D选项不正确，
故选：C．
4. 如图所示，下列条件中能判定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线的判定定理逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、由无法得到，故此选项不符合题意；
C、∵
∴（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∵，
∴（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
5. 若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A. 3B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把解代入方程，整体代入进行求解即可．
【详解】解：将代入方程得：，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的根，代数式求值，准确计算是解题的关键．
6. 下列说法正确的有（ ）
①同位角相等；②两点之间的所有连线中，线段最短；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤已知同一平面内，，则．
A. ②B. ②③C. ②③④D. ②③⑤
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，两点之间的距离，两点之间，线段最短，几何图形中角度的计算等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，原说法错误；
②两点之间的所有连线中，线段最短，原说法正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
④两点之间的距离是两点间的线段的长度，原说法错误；
⑤已知同一平面内，，则或，原说法错误．
故选A．
7. 已知，其中，为整数，则整数可能的取值有__________个．
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则得到，从而可得a、b的值，由此即可得到答案，正确得到是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a、b为整数，
∴或或或或或或或，
或或或或或或或，
∴或14或11或10或或或或，
∴m的取值有8个，
故选D．
8. 我国明代《算法统宗》书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设竿长x尺，绳索长y尺，根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则可得方程组．
【详解】解：由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．本题要注意前后两次绳和杆的数量关系．
9. 有4张边长为的正方形纸片，8张长为，宽为的矩形纸片，10张边长为的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙，无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，要使正方形的面积最大，要用边长为的正方形个数最多，且能组合成完全平方公式，由，即可求解．
【详解】解：4张边长为a的正方形纸片的面积是，
8张边长分别为a、的矩形纸片的面积是，
10张边长为b的正方形纸片的面积是，
∵要使正方形的面积最大，
∴要用边长为的正方形个数最多，且能组合成完全平方公式，
∵，
∴拼成的正方形的边长最长可以为，
故选：D．
10. 已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论取何值，的值始终不变；
④设，则的最大值为3．
A. ①②B. ②③C. ②④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，完全平方公式，先解方程组得到，当时，，再把代入方程中即可判断①；建立方程，解方程即可判断②；求出，即可判断③；求出即可判断④．
【详解】解：解方程组得，
当时，，把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，原说法错误；
②当时，，解得，原说法正确；
③，即的值始终不变，原说法正确；
④∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为3，原说法正确；
故选D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共18分）．
11. 若，，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法的逆运算，先根据幂的乘方计算法则求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：，
∴，即
又∵，
∴，
故答案为：．
12. 如果与互为相反数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相反数的性质可得 ，根据非负数的性质即可得到关于的方程组，观察方程组的与目标代数式的特点，利用加减消元法计算，进而可得的值．
【详解】与互为相反数，
，
，，
，
①+②得：，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的应用，非负数的性质，加减消元法解二元一次方程组，熟练运用以上知识是解题的关键．
13. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，位置，若，则的度数为___________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先由平行线的性质和折叠的性质得到，再由平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故答案为：．
14. 若关于x的多项式是完全平方式，则a的值是________．
【答案】5或##或5
【解析】
【分析】根据完全平方公式的变形进行求解即可．
【详解】∵，
∴，
解得或，
故答案为：5或．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟练掌握知识点是解题的关键．
15. 如图，为了美化校园，某校要在面积为20平方米长方形空地中划出长方形和长方形，若两者的重合部分恰好是一个边长为2米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地的长和宽分别为和，，花圃区域和总周长为12米，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据花圃区域和总周长为12米，重合部分恰好是一个边长为米的正方形，可得，再根据长方形面积公式可得，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：花圃区域和总周长为12米，重合部分恰好是一个边长为2米的正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 定义一种新的运算：，例如：，那么
（1）若，那么______；
（2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为_________．
【答案】 ①. 12 ②.
【解析】
【分析】（1）根据新定义代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义可得b=2a，代入方程得到（a-1）x+2ay+5-2a=0，则（x+2y-2）a=x-5，根据当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：（1）∵（-2）☆b=-16，
∴2×（-2）-b=-16，
解得b=12；
（2）∵a☆b=0，
∴2a-b=0，
∴b=2a，
则方程（a-1）x+by+5-2a=0可以转化为（a-1）x+2ay+5-2a=0，
则（x+2y-2）a=x-5，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故这个公共解为．
【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程的解，关键是熟练掌握新定义运算．
三、解答题（共8小题）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂以及积的乘方，乘法公式．
（1）利用负整数指数幂，零指数幂以及积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可求解；
（2）利用乘法公式简便计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
解：
．
18. 解方程组：
（1）
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
小问1详解】
解： ，
由②得③，
把③代入①得：，
解得，
把代入③得：，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
整理得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解为．
19. （1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，单项式乘以单项式，积的乘方：
（1）直接根据单项式乘以单项式和积的乘方计算法则求解即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，进而根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当，时，原式．
20. 如图，在边长为的方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点．
（1）补全；
（2）这个平移过程可以看作先向__________平移__________个单位，再向__________平移__________个单位；
（3）求线段平移过程中扫过的面积．
【答案】（1）作图见解析；
（2）左，，下，；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了利用平移变换作图，平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（）根据点的坐标，确定出平移的方式，据此找到的位置即可画出；
（）根据点的坐标即可求解；
（）由图形可得，线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积，分割法求出四边形的面积即可求解；
本题考查了作平移后的图象，图形的平移，借助网格求面积，掌握平移的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：由点的坐标可得，这个平移过程可以看作先向左平移个单位，再向下平移个单位，
故答案为：左，，下，；
【小问3详解】
解：由图可知，线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积，
∴．
21. 如图，已知，．

（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）相等，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得，结合即可得出内错角相等，进而得出；
（2）由平行线的性质可得，根据题意求出的度数即可解答．
小问1详解】
解：与相等，理由如下：
∵，
，
，
同角的补角相等，
∴（内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
【小问2详解】
解：∵，
，
，，
，即，
，，
，
即．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键．
22. 定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“青宁数”．
（1）若，，求，的“青宁数”；
（2）若，，求、的“青宁数”；
（3）已知，且、的“青宁数”，则______．(用含的式子表示)
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将，代入，即可求解．
（2）根据完全平方公式求得，然后结合已知条件，得出的值，即可求解；
（3）根据题意将已知条件代入化简即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
∴
∴
或
【小问3详解】
解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，完全平方公式变形求值，等式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
23.
【答案】任务一：A，B两种型号客车每辆的租金分别是600元，1000元；任务二：有两种租车方案：租用A型客车4辆，B型客车7辆或租用A型客车15辆，B型客车2辆；
；任务三：不存在租车费用不超过预算的租车方案，最少要追加的预算金额为元．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
任务一：设A，B两种型号客车每辆的租金分别是x元，y元，根据表格中的数据列出方程组求解即可；
任务二：设租用A型客车m辆，B型客车n辆，根据题意可得方程，求出方程的非负整数解即可得到答案；
任务三：求出任务二中两种方案的费用即可得到答案．
【详解】解：任务一：设A，B两种型号客车每辆的租金分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：A，B两种型号客车每辆的租金分别是600元，1000元；
任务二：设租用A型客车m辆，B型客车n辆，
由题意得，，
∴，
∵m、n都是整数，
∴一定是5的倍数，即一定是5的倍数，
∴当时，；
当时，；
∴有两种租车方案：租用A型客车4辆，B型客车7辆或租用A型客车15辆，B型客车2辆；
任务三：租用A型客车4辆，B型客车7辆时的费用为，此时超出预算，
租用A型客车15辆，B型客车2辆时的费用为；
综上所述，不存在租车费用不超过预算的租车方案，最少要追加的预算金额为元．
24. 已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线之间且在直线左侧，连接；
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）根据对顶角线段和已知条件可证明，即可证明；
（2）①如图所示，过点M作，则，由平行线的性质得到，，则；②由（2）①可知，角平分的定义得到，则由平行线的性质可得；再由角平分线的定义和平角的定义得到，即可得到，即.
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解；①如图所示，过点M作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②由（2）①可知，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴.生活中的数学：确定最省钱的租车方案
素材一
平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息：
租用A型客车数量
租用B型客车数量
租金总费用
3
2
3800
1
3
3600
素材一
A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．
素材一
钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元．
任务一
根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元．
任务二
钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案．
任务三
是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额．