浙江省杭州市拱墅区杭州锦绣·育才中学附属学校2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考生须知：
1.本卷满分120分，考试时间100分钟；
2.本卷分试题卷和答题卷两部分，所有答案都做在答题卷指定的位置上，否则答题无效；
3.考试时不能使用计算器.
一、选择题：（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．据此解答即可．
【详解】解：A、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意；
C、，不是整式方程，故不合题意；
D、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意；
故选：B．
2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ）
A. 杯B. 立C. 比D. 曲
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到，
C是利用图形的平移得到．
故选：C．
3. 若是关于x和y的二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程．根据题意得，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵是关于x和y的二元一次方程的解，
∴，
解得，
故选：A．
4. 如图，下列各角与是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与是同旁内角，故A不符合题意；
B、与是内错角，故B不符合题意；
C、与不是同位角，故C不符合题意；
D、与是同位角，故D符合题意．
故选：D．
5. 可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方；根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则，逐项计算即可；
【详解】解：、，故本选项不符合题意；
、与不是同类项，无法进行合并同类项运算，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 将变形，用含的代数式表示，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把看作已知数求出即可．
【详解】解：由，
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
7. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可求解，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、，
，则A正确，故不符合题意；
B、，
，则不能判定，故符合题意；
C、，
，则C正确，故不符合题意；
D、，
，则D正确，故不符合题意；
故选B．
8. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ）
A. B. 2C. 0.5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组等知识．根据相反数的定义得到，代入方程组得，即可求出a的值．
【详解】解：∵，互为相反数，
∴，
∴，
把代入方程组得
得，
解得．
故选：B
9. 设非零实数，，满足，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组，分式化简等知识．先解得到，，再代入即可化简求解．
【详解】解： ，
得，
∴，
把代入②得，
∴．
当，时，
．
故选：C
10. 如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形是等边三角形，，当时针正对点时恰好是．若时针与三角形一边平行时，时针所指的时间不可能是（ ）
A. 1：00B. 3：00C. 5：00D. 8：00
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论．
【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：
当时，如图2（1），此时对应的时间为或；
当时，如图2（2），此时对应的时间为或；
当时，如图2（3），此时对应的时间为或；
故选：D．
【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键．
二、填空题：（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 写出一个解是的二元一次方程组：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据，列出方程组即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了二元一次方程组解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
12. 计算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了逆用积的乘方进行计算，逆用积的乘方进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：1
13. 定义一种新运算：，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，根据，可以将所求式子变形，然后化简即可，解题的关键是明确题意，利用新定义解答．
详解】解：∵，
∴
，
，
故答案为：．
14. 如图，直线，现将一块三角尺的顶点A放在直线上，若，则的度数为______．

【答案】##63度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论等知识．作，证明，得到，进而得到，即可求出．
【详解】解：如图，作，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
15. 已知方程组的解为，则方程组的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的特点，理解整体思想是解题关键．先将方程变形为，根据方程组的解为得到，即可求出．
【详解】解：变形为，
∵方程组的解为，
∴，
∴．
故答案为：
16. 如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为______cm2．（用的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为______．
【答案】 ①. ②. 1或5
【解析】
【分析】（1）求出小长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可得到答案；
（2）先表示出长方体纸盒的底面积和表面积，再根据长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍得到，整理得，最后由为偶数，为正整数即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得，
小长方形的长为，宽为，
裁去的每个小长方形面积为：，
故答案为：；
（2）长方体纸盒的底面积为：，
长方体纸盒的表面积为：，
长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，
（为偶数），
整理得：，
为偶数，为正整数，
；或，
正整数的值为1或5，
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的乘除运算，长方体表面积的计算，解题的关键是学会利用参数解决问题．
三、解答题：（本题有8个小题，共66分）
解答应写出文字说明，说理过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据单项式乘单项式，积的乘方运算即可；
（2）根据平方差公式，单项式乘多项式的计算，化简即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【点睛】本题考查了整式的运算，涉及到单项式乘单项式，单项式乘多项式，积的乘方，平方差公式，掌握积的乘方，平方差公式的运算法则是解题的关键；
18. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点选择代入法或加减法进行求解即可．
（1）利用代入法解方程组即可；
（2）利用加减法解方程组即可．
【小问1详解】
把②代入①得，
解得
把代入②得，
∴
【小问2详解】
①＋②×3得，，
解得
把代入①得
解得
∴
19. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点.请按要求在图中画出格点三角形（顶点均在格点上）
（1）平移格点三角形，画出平移后的格点三角形（点，，的对应点分别为点，，）；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】此题考查了平移的作图和网格中求三角形的面积，准确作图是解题的关键．
（1）按照点A的平移规律找到点B和点C的对应点，顺次连接点，，即可；
（2）利用长方形的面积减去周围的三个三角形的面积即可得到答案．
【小问1详解】
如图，三角形即为所求，
【小问2详解】
三角形的面积为
20. 如图，在中，点D，E分别在上，且，．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）直接根据平行线的性质和判定进行求解；
（2）根据角平分线定义和平行线的性质进行求解．
【小问1详解】
证明：∵，
，
又，
，
∴；
【小问2详解】
解：平分，
，
中，，，，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
21. 疫情期间，某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发给本小区住户.若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱刚好用完．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的口罩.若需购买医用口罩和口罩共1500个，其中口罩不超过200个，钱恰好用完，则有几种购买方案，请列方程计算说明．
【答案】（1）医用口罩和洗手液的单价分别是2.5元/格和30元/个
（2）3种方案，说明见详解
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的正整数解的应用等知识．
（1）设医用口罩和洗手液的单价分别是x元/格和y元/个，根据题意列出方程组，解方程即可求解；
（2）设增加购买口罩a个，洗手液b瓶，则购买应用口罩个，根据题意列出二元一次方程，得到，根据a、b都为正整数，，即可得到3种方案．
【小问1详解】
解：设医用口罩和洗手液的单价分别是x元/格和y元/个，
由题意得，
解得，
答：医用口罩和洗手液的单价分别是2.5元/格和30元/个；
【小问2详解】
解：设增加购买口罩a个，洗手液b瓶，则购买应用口罩个，
由题意得，
化简得，
∴，
∵a、b都为正整数，
∴a为60的倍数，且，
∴，，，
∴共有3种购买方案．
22. 已知，.
（1）当时，求的值；
（2）当时，且，是整数，试说明的值能被5整除．
【答案】（1）0 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）先计算得到，再把代入即可求解；
（2）先根据得到， 再计算得到变形为，即可证明的值能被5整除．
【小问1详解】
解：
当时，
原式；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，且，是整数， 的值能被5整除．
【点睛】本题考查了整式的加减以及幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法等知识，熟知相关知识并根据题意灵活变形是解题关键．
23. 把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；
（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键．
（1）根据定义，得到，解方程即可；
（2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可；
（3）根据定义，得到，，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果；
【小问1详解】
根据定义，得到，
解得，
“雅系二元一次方程”的“完美值”为6．
【小问2详解】
根据定义，得到，
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得；
【小问3详解】
不存在，理由如下：
根据定义，得到，，
解得，
假设存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同，
则，无解，
不存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同；
24. 如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒.
（1）当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长；
（2）若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分；
（3）连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件.
【答案】（1）
（2）2秒或4秒 （3）或或
【解析】
【分析】（1）根据即可求出；
（2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解；
（3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解．
【小问1详解】
解：当点在边上运动时，，，
；
【小问2详解】
解：当点在边上运动时，，
即，
；
当点在边上运动时，，
即，
；
秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分．
【小问3详解】
解：当点在边上时，
，
整理得，
，故不成立；
当点在边上时，
由，
得；
当点在边上时，
由，
得；
当点在边上时，
由，
得；
综上，，之间的关系式为或或．
【点睛】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，注意分类讨论是解题关键．