2023高考数学基础强化专题训练（六）及参考答案

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1.（深圳市6校联盟2022—2023学年⾼三10⽉质量检测）
2.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）
函数的大于0的零点为，函数的大于1的零点为，下列判断正确的是（提示：）（ ）
A. B. C. D.
3.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）
4.（深圳市宝安区202210月高三数学试卷）
高等数学背景下的导数压轴题
文/刘蒋巍
（根的存在性定理）：如果函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有一点，使
问题1：设函数，其中常数m为整数.
（1）当m为何值时，
（2）当时，方程在内有两个实数根.
分析：解答本题第（2）问的实质是应用根的存在性定理。
（凸函数的性质）：设函数在闭区间上连续，在内具有一阶和二阶导数，如果，那么在上的图像是严格下凸的；反之，如果，那么在上的图像是严格上凸的。
问题2：已知函数
（1）设，讨论的单调性；
（2）若对任意，恒有，求的取值范围.
分析：本题主要考察利用导数的方法判断函数的单调性、左端点求右极限的知识。在此基础上结合严格上凸函数图像的特性，根据求使不等式成立的条件，进而求出的取值范围。
（两个不等式）：（）
其对数形式：（），
又等价于：（）
引申：当时，，
则，即：，不难发现调和级数是发散的。
问题3：已知函数，其次，在函数的图像上取两定点，（），记直线AB的斜率为，证明：存在，使恒成立.
分析：,令,由不等式：（），可知：,因为，所以，，,考虑到函数的连续性，由零点存在定理，命题得证！
问题4：设函数，求的单调区间。
答案：（1）当时，函数在上递增；
（2）当时，函数在上递增，在上递减。
请读者自作。
☆关于（）类型函数的压轴题
设，（）是函数（）图像上任意两点，记直线AB的斜率为，则
；而函数在处的导数，则恒成立.
问题5：已知函数
（1）设，证明：当时，
（2）若函数的图像与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：
分析：（1）将，，代入到中，得：，即：，
所以
（2）将，，代入到中，得：
问题6：设函数，证明：当时，
分析： ，从而
引申：当时，
拓展：当然，本题还可以使用拉格朗日中值定理求解。
，其中
问题7：设函数，若的两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
分析：，，令，，因为的两个极值点和，所以方程在上有两个相异实根，则且，得：
易得：，
若，则，又因为，所以，矛盾！所以不存在符合条件的实数.
问题8：已知函数（），若，且，证明：
分析：，因为，所以
又因为，所以
☆常见的对数不等式：，（）；
，（）；
，（）；
，（）.
构造函数（），显然，
所以，即：，（）
不妨设，令，则，即：
问题9：已知函数（）
若函数有两个不同的零点，，求证：
分析：因为函数有两个不同的零点，，
所以 ，则，，
所以，，即
问题10：已知函数（）
记函数的图像为曲线C，设点，是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N。试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由。
答案：不平行。请读者自作。
问题11:若时，恒成立，求的最大值.
命题背景：的泰勒展开式为
当时，
则，，即：，
一类高考导数压轴题原创题（2023届）
（1稿）问题1：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足
，求证：
修正为：（2稿）问题1：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足
，求证：
（1稿）问题2：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足
，求证：
修正为：（2稿）问题2：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足
，求证：
问题3：已知定义在R上的函数，其导函数为,且满足
，
求证：
注：以上3个问题为我们研究中发现的“副产品”，有深刻的出题背景。供大家探究。
说明：问题1，问题2的1稿有误，已在2稿修正。主要问题是1稿的结论两边不能同除以；2稿的条件，两边不能同除以。
命题很难一步到位，难免会出错误。保留1稿，并说明修正的问题，也是科学的研究态度。
（刘蒋巍 提供）
三角函数
1.(深圳市6校联盟2022—2023学年⾼三10⽉质量检测)
2.(2022·江苏苏州期中)
(本题满分12分)
在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝4．
(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；
(2)若BD＝2AD，求△ABC的面积．
解析几何
1.（成都七中2022-2023高三上半学期文数试题）
2.（极点极线）已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，下顶点为A，直线AF1与椭圆的另一个交点为B，△ABF2的周长为8，直线AF1被圆O:x2+y2=b2截得的弦长为3.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若过点P(1,3)的动直线与圆相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足-λ，λ，λ≠0且λ≠±1.求证：点Q总在某定直线上。
分析：（1）
（2），所以、关于圆O：调和共轭。所以，点的轨迹是点的极线
变式：把条件"动直线与圆O相交于两个不同点C,D"改为"动直线与椭圆相交于两个不同点C,D"，其他条件不变，求证:点Q在某定直线上。
分析：，所以、关于椭圆C调和共轭。所以，点的轨迹是点的极线，
（变式题 由刘蒋巍提供）
排列组合
1．(2022·江苏连云港期中)(多选题)
已知数据x1，x2，…，x60的平均数为a，方差为b，中位数为c，极差为d．由这组数据得到新数据y1，y2，…，y60，其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，60)，则
A．新数据的平均数是2a＋1 B．新数据的方差是4b
C．新数据的中位数是2c D．新数据的极差是2d
2.(2022·江苏金陵中学期中)
移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到2×2列联表如下∶
（1）将上2×2列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望.
（参考公式：（其中n=a+b+c+d）
统计概率
1.(2022·江苏南通海安市期中)
已知某校高三女生的身高X(单位：cm)近似地服从正态分布N(163，52)．若随机选择一名该校的女生，则P(X≤168)＝ ．
注：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827
2.(2022·江苏南通如东县期中)
(本小题满分12分)已知eq (x\s\up6(2)＋\f(2,\r(,x)))\s\up6(m)的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为eq \f(1,2)．
(1)求m的值；
(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
(3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
立体几何
1.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）
正方体的棱长为4，点，分别为棱，上的动点，且满足，则以下命题正确的有（ ）
A. 三角形的面积始终保持不变B. 直线始终在平面内
C. 三棱锥体积始终不变D. 直线可能与平面垂直
2.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）
数列
1.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）
数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
2.（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）
3.（深圳市宝安区202210月高三数学试卷）
【二阶常系数线性齐次递推式】
递推式（,为常数，）是一种非常重要的递推关系，我们把这样的递推式称为：二阶常系数线性齐次递推式。
把对应于二阶常系数线性齐次递推关系的方程
称为其特征方程，方程的根称为数列的特征根。
【定理】二阶常系数线性齐次递推关系（,为常数，），其特征方程为
（1）若特征方程有两个不相等的根,，其通项为，其中，是待定系数，由初始值来确定。
（2）若特征方程有两个相等根,其通项为，其中，是待定系数，由初始值来确定。
【问题1】已知数列满足，，，求的通项
【问题2】已知数列满足，，，求的通项
【问题3】已知数列满足，， ，求的通项。
参考答案：问题1：
问题2：
问题3：
【递推数列与不动点】
利用不动点来求一类分式递推式的通项。
【定义】方程的根称为函数的不动点.
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列转化为等比数列或等差数列，这种方法称为：不动点法。
利用不动点我们可以解决（，）类型的递推式问题。
例题：函数，定义数列如下：，是过两点，的直线与轴交点的横坐标。求数列的通项公式。
分析：易得：，设，则特征方程为：，
化简得：，它的两根为：，，那么.
利用“不动点法”法，有：
数列是等比数列，且首项是，公比为，那么
解得：
35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
50
不使用移动支付
40
合计
100
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828