2023高考数学基础强化专题训练（九）及参考答案

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答案：D
2.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）
如图，已知点是椭圆的左顶点，过点作直线与椭圆交于点分别交直线于点，则（ ）
A. 为定值B. 为定值
C. 可能等于D. 可能等于2
【答案】B
【分析】直曲联立根据韦达定理即可进行判断.
【详解】设直线方程为：， ，，
，
， ，
，
直线方程为： ，令 ，得
故，同理可得，
所以，故B正确，D错误.
，当且仅当取等，故C错误，A错误.
故选：B
3.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）（多选题）
答案：ABD
4.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）
已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．
【答案】
【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.
【详解】首先我们证明椭圆的焦半径公式
左准线方程为，右准线方程为，，
，，同理可证，
因本题椭圆离心率:，设
由焦半径公式:得:,
即中点，，则垂直平分线斜率为
根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，
则线段的垂直平分线方程为,代入得:
,即,则.
故答案为：.
【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，，，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.
5.（湖南省湘潭市第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）
已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是___________.
【答案】##
【分析】由可得，结合抛物线方程可得点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率的方程，结合可解方程求得结果.
【详解】由题意知：是椭圆的焦点，；
轴，或，
代入椭圆方程得：，，
又椭圆的离心率，，
解得：，又，.
故答案为：.
6.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）
7.（浙江省宁波市2023届高三上学期第一次高考模拟考试数学试题）
已知点，在双曲线E：上．
（Ⅰ）求双曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点．
（Ⅰ）由题知，，得，
所以双曲线E的方程为．
（Ⅱ）由题意知，当l⊥x轴时，不符合题意，
故l的斜率存在，设l的方程为，
联立，消去y得，则
，即，且，
设，，，，
AB方程为，令，得，
AN方程为，令得，
由，得，即，
即，
即，
即，
所以，
得或，
当，此时由，得，符合题意；
当，此时直线l经过点A，与题意不符，
舍去所以l的方程为，即，
所以l过定点．
8.（湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(三)数学试题）
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析，定值为
【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程.
（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值.
【小问1详解】
由已知设椭圆方程为：，
代入，得，
故椭圆方程为.
【小问2详解】
设直线，
由得，
，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
9.（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三上学期期中联考数学试题）
（本题满分12分）设点P为圆上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点Q，动点M满足（点P、Q不重合）
（1）求动点M的轨迹方程E；
（2）若过点的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为，直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解析：（1）设点P为，动点M为，则Q点为
求得：又
即点M的轨迹方程为： 4分
（2）设直线AB方程为：则
消x得
或
设A点，B点则
求得： 8分
的值为定值，定值为． 12分
10.（吉林省长春市2023届高三上学期质量监测（一）数学试题）
已知抛物线的焦点为F，直线l过点F，与抛物线交于A，B两点，的最小值为4．
（1）求抛物线的方程：
（2）若点P的坐标为，设直线PA和PB的斜率分别为、，问是否为定值，若是，求出该定值，否则，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是，定值为
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合的最小值求得，从而求得抛物线的方程.
（2）结合的坐标以及根与系数关系化简，由此求得正确答案.
【小问1详解】
设直线l的方程为，l与抛物线交于，，
联立直线l与抛物线方程，
可得，即，，．
由抛物线的定义可知，
当时，取最小值为2p，则2p＝4．即抛物线方程为．
【小问2详解】
由题意可知：，
，
由，，
，
，
即为定值．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
函数与导数
1.(浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题)
一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（，结果精确到0.1）（ ）
A. 2.7B. 2.9C. 3.1D. 3.3
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的式子，根据对数的运算性质即可求解.
【详解】设注射个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则，
由得：
故的最大值为3.1,
故选：C
2.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）
答案：C
3.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）
实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知即，构造函数，确定其在上单调递减，可得，又设，其在上单调递增，所以得，即可判断的大小；再构造函数，可得恒成立，可判断，最值可得结果.
【详解】解：由已知得，
①设，当时，，
所以在上单调递减，因此，
即，所以，
又设，，当时，，
所以在上单调递增，因此，所以
则，所以；
②设，当时，，在上，单调递减，
当时，恒成立；取时，；
综上得
故选：C.
4.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）（多选题）
答案：AD
5.(湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)
函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.
【详解】，
当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
由，
当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
于是有，因此选项AB正确，
两个函数图象如下图所示：
由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，
不妨设，
且，
由，又，
又当时，单调递增，所以，
又，又，
又当时，单调递减，所以，
，
，于是有，所以选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题关键.
6.（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）
函数及其导函数定义域均为，且是偶函数，记，也是偶函数，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性得到，根据导函数的奇偶性得到，确定函数的周期为4，得到，计算得到答案.
【详解】是偶函数，，
两边求导得到，即，
即，取，，，
也是偶函数，故，即，
故，即，.
故，是函数的一个周期，.
故答案为：
7.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）
三角函数
1.（浙江省宁波市2023届高三上学期第一次高考模拟考试数学试题）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求．
（Ⅰ）由余弦定理，得
即，
所以．
（Ⅱ）由，
即，
即，又，
所以，，
所以．
2.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）若，求边上的中线长度的最大值；
（2）若，点分别在等边的边上（不含端点）.若面积的最大值为，求.
【答案】（1）
（2）
【分析】(1)根据正弦定理，三角恒等变换公式以及余弦定理再结合平面向量的数量积运算即可求解；
(2)利用正弦定理，三角恒等变换将表示为关于的函数关系式，利用三角函数性质讨论最值即可求解.
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理得，因为，所以，
即,
所以，因为，所以，所以，因为，所以，由余弦定理得：.（当时取到等号），
且，
又因为所以
即，
所以，所以.故的最大值为
【小问2详解】
由（1）可知，由于面积的最大值为，
则，得，所以的最大值为，
因为，所以，因为，
所以，
设，则，
在中，由正弦定理得所以，得，
在中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，其中，
所以当时，取得最大值，所以，所以，所以，即，所以，
解得或（舍去）
排列组合、二项式定理
1.（山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试数学试题）
展开式中的系数为_______.
答案：40
2.（吉林省长春市2023届高三上学期质量监测（一）数学试题）
已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且项的系数为，则______．
【答案】
【分析】根据二项式系数的性质求出的值，再利用二项展开式的通项，结合已知条件求出的值，即可得出答案．
【详解】∵的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
∴二项展开式的通项，令，得
∴项的系数为，∴
则．
故答案为：．
3.（吉林省长春市2023届高三上学期质量监测（一）数学试题）
四名党员教师暑假去某社区做志愿者工作，现将他们随机分配到A，B，C三个岗位中，每人被分配到哪个岗位相互独立．
（1）设这四名教师被分配到A岗位的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）求上述三个岗位中恰有一个岗位未分配到任何志愿者的概率．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2）
【分析】（1）结合古典概型的概率计算公式、组合数的计算，求得的分布列并求得数学期望.
（2）结合古典概型的概率计算公式、组合数、排列数的计算求得正确答案.
【小问1详解】
的可能值为0，1，2，3，4．
；；；；．
X的分布列为
的数学期望为.
【小问2详解】
依题意，三个岗位中恰有一个岗位未分配到任何志愿者的概率为：
．
统计概率
1.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）
当下新能源汽车备受关注，某校“绿源”社团对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（ ）
附：
A. 68B. C. 70D. 71
【答案】CD
【分析】设男女生总人数为，根据题目得到列联表，计算，得到答案.
【详解】设男女生总人数为，则男生喜欢新能源汽车的人数，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的.则列出联表如下：
所以，即，所以，
故选：CD
2.（山东省潍坊市2023届高三上学期期中考试数学试题）
为了解新研制的抗病毒药物的疗效,某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药,然后对每只白鼠的血液进行抽样化验,若检测样本结果呈阳性,则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性,则白鼠末感染病毒.现随机抽取只白鼠的血液样本进行检验,有如下两种方案:
方案一:逐只检验,需要检验次;
方案二:混合检验,将只白鼠的血液样本混合在一起检验,若检验结果为阴性,则只白鼣末感染病毒;若检验结果为阳性,则对这只白鼠的血液样本逐个检验,此时共需要检验次.
(1)若,且只有两只白鼠感染病毒,采用方案一,求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿白业的概率;
(2)已知每只白鼠咸染病暃的概率为.
①采用方案二,记检验次数为,求检验次数的数学期望;
②若,每次检验的费用相同,判斨哪种方案检验的费用更少?并说明理由.
解：（1）根据题意恰好在第一、三次确定两只感染病毒白鼠的概率，
恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率，
所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率．
（2）①设检验次数为，可能取得值为1，．
则，，
所以．
②方案二的检验次数期望为，所以，
设，因为，所以单调递增，
由得，当时，，则，
当时，，则，
故当时，选择方案二检验费用少，当时，选择方案一检验费用少，当时，选择两种方案检验费用相同．
立体几何
1.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）
在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.
【详解】
图1
设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，， 根据边长关系，知该棱台的高为，则，
由，且四边形为直角梯形，，，可得，则，
当且仅当，即时等号成立，此时棱台的高为1.
上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上. 显然球心M在所在的直线上.
图2
当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然
则，有，即
解得，舍去.
图3
当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然
即，即
解得，，
此时，外接球的表面积为.
故选：D.
2.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）（多选题）
答案：BCD
（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）
在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为__________．
【答案】
【分析】根据面面平行的性质可得，进而得或其补角即为m，n所成的平面角，结合余弦定理即可求解余弦的最小值，即可求解正弦的最值.
【详解】过点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，由于平面平面，平面平面,，平面平面 所以,
所以或其补角即为m，n所成的平面角，
设正四棱锥ABCD的棱长为1，，则，
在中，由余弦定理得： ，
同理,
故在中，，
由于，则，进而，当时取等号，
故的最小值为，进而，
故的最大值为，
故答案为：
4.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）
数列
1.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）
答案：
2.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）
南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则__________．
【答案】
【分析】由累加法即可求得，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】由题可知：，
即有，
所以
，当n=1成立
所以，
所以
.
故答案为：
3.（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三上学期期中联考数学试题）
若项数为n的数列满足：我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中是公差为2的等差数列，数列的最大项等于8．记数列的前项和为，若，则___________．
答案：或
4.（2023 届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）
5.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）
已知数列的前项和为，且满足，当时，.
（1）证明为等差数列，并求数列通项公式；
（2）设，求数列的前2022项和.
【答案】（1）证明见解析，;
（2）.
【分析】（1）根据递推关系式及等差数列的定义可得为等差数列，求出其通项后由与的关系求即可；
（2）由两角差的正切公式变形，利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
令，得，又，所以；
令，得，又，；
因为当时，，
所以，
所以数列为等差数列，首项为，公差为，
所以，
所以，
于是，当时，，
当时，，满足上式，
故；
【小问2详解】
因为，则，
于是，
.
0
1
2
3
4
P
类别
喜欢新能源汽车
不喜欢新能源汽车
小计
男生
女生
小计
.
.
.