2023高考数学基础强化专题训练（七）及参考答案

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基础知识
椭圆的基本量
1. 如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．
图(1)
图(2)
2. 如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．
3. 椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．
4. 设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之积为定值________．
1. eq \f(2b2,a) 2. b2·tan eq \f(θ,2) 3. a＋c a－c 4. － eq \f(b2,a2)
直线与椭圆
1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1) 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
①Δ>0直线与圆锥曲线________；
②Δ＝0直线与圆锥曲线________；
③Δb>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别与x轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，则OP·OQ＝a2.
2. 已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－ eq \f(b2,a2) .
3. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝ eq \f(p2,4) ，y1y2＝－p2.
4. 过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的直线交抛物线于A，B两点，则直线AB过定点(2p，0).
（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于A，B两点，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为M，∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q．若|AB|＝16，则|PQ|＝
A．2 B．4 C．6 D．8
（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）
（多选题）已知F1，F2分别为椭圆C：EQ \F(x\S(2),2)＋y2＝1的左、右焦，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有
A．椭圆C的离心率为eq \f(\r(,2),2) B．椭圆C的长轴长为2
C．若点M是线段PQ的中点，则MO的斜率为－eq \f(1,2) D．△OPQ的面积的最大值为eq \f(\r(,2),2)
（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）
已知F1，F2分别为双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，过点F2且斜率为1的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，若△F1PQ是等腰三角形，则双曲线C的离心率为 ．
（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）
（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）
已知抛物线Γ：y＝eq \f(1,4)x2的焦点为F．
(1)求抛物线Γ的准线方程：
(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A，B两点，线段AB的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C，请问是否存在直线l，使得tan∠ACB＝eq \f(4,3)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
函数与导数
1.（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）
答案：C
2.（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）
答案：A
3.（盐城市2023届高三年级第一学期期中考试）
（多选题）对于函数f(x)，若在区间I上存在x0，使得f(x0)＝x0，则称f(x)是区间I上的“Φ函数”．下列函数中，是区间I上的“Φ函数”的有
A．f(x)＝eeq \s\up6(x－1)，I＝(0，＋∞) B．f(x)＝ln(x＋1)，I＝(－1，＋∞)
C．f(x)＝sinx，I＝(0，＋∞) D．f(x)＝lg(sinx)，I＝(－2π，－π)
答案：ABD
4.（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）(多选题)
答案：AB
5.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）
（多选题）已知函数f(x)＝lnx－ax2，则下列结论正确的有
A．当a＜eq \f(1,2e)时，y＝f(x)有2个零点
B．当a＞eq \f(1,2e)时，f(x)≤0恒成立
C．当a＝eq \f(1,2)时，x＝1是y＝f(x)的极值点
D．若x1，x2是关于x的方程f(x)＝0的2不等实数根，则x1x2＞e
6.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）
已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(x)＝2x－1，且函数y＝f(x＋1)关于点T(－1，0)对称，则满足f(2x－3)＋f(x2)≤0的取值范围是 ．
7.（南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试）
设函数f(x)＝sinx－x＋eq \f(m,3)x3．
(1)若eq m＝\f(1,2)，求函数f′(x)在[0，＋∞)上的最小值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≥0，求m的取值范围
三角函数
(江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题)
答案：B
2.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)
点D为△ABC边AB上一点，满足AD＝2，DB＝8，记∠ABC＝α，∠BAC＝β．
(1)当CD⊥AB，且β＝2α时，求CD的值；
(2)若α＋β＝eq \f(π,4)，求△ACD的面积的最大值．
排列组合
1.（常州市教育学会学业水平检测2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）
若(1－ax＋x2)(1－x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝
A．－3 B．－2 C．－1 D．1
统计概率
1.（江苏省南京市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）
某收费站统计了2022年中秋节前后车辆通行数量，发现该站中秋节前后车辆通行数量，若，，则当时下列说法正确的是
A．B．C．D．
答案：C
2.(南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试)
史明理，学史增信，学史崇德，学史力行．近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表：
(1)求这1000份试卷成绩的平均数?(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
(2)假设此次测试的成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，已知s的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)?
(3)该市教育局准备从成绩在[90，100]内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记Y为抽取的3份试卷中测试成绩在[95，100]内的份数，求Y的分布列和数学期望．
参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，
p(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973．
立体几何
（2022-2023苏州市高三上学期期中调研试卷）（多选题）
答案：ABC
2.（江苏省南京市南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷）
如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，AD＝4，点E为线段AD的中点，将△CDE沿着CE折起到△CPE位置，M为EC的中点．
(1)求证：平面BPM⊥平面ABCE；
(2)当平面CPE⊥平面ABCE时，求二面角B－PC－E的余弦值．
3.（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）
数列
1.（盐城市2023届高三年级第一学期期中考试）
首项为4的等比数列{an}的前n项和记为Sn，其中S5、S4、S6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝eq \f(1,lg2|a\s\d(2n－1)|·lg2|a\s\d(2n＋1)|)，求．
解：（1）等比数列中，．
∵成等差数列，∴， 2分
∴，即公比， 4分
得． 6分
（2）由（1）可得，． 8分
∴=， 10分
得． 12分
2.（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学试题）
3.（盐城市2023届高三年级第一学期期中考试）
数列{an}中，a1＝2，an＋an＋1＝2n＋1，n∈N*．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝a2n－12eq \s\up6(a\s\d(2n))，n∈N*，求{bn}的前n项和．
解：数列中，，，．
∴，得． 1分
由，
得． 3分
∴当为正奇数时，；
当为正偶数时，．
综上， 6分
（2）由（1）可得，．
∴=． 8分
记的前项和为．
,
得．
两式相减，得
整理得． 12分
圆锥曲线
——2023高考数学复习专题
出题背景
高考真题训练
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
4．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
三、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
8．（2022·全国·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
9．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
10．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
11．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
12．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
13．（2022·全国·高考真题（文））设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
14．（2022·全国·高考真题（文））过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
四、解答题
15．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
16．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
17．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
18．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
成绩/分
[65，70)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，95)
[95，100)
频数
40
90
200
400
159
80
40