新高考艺术生40天突破数学90分讲义第05讲函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第05讲函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性(原卷版+解析)，共53页。

一、函数奇偶性
定义
设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.
性质
函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
二、函数的单调性
定义
一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.
在上是减函数.
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
若为增函数，且或），则为减函数.
若为减函数，且或），则为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
三、函数的周期性
定义
设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数的的对称性与周期性的关系
若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；
若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是B．递减区间是
C．递增区间是D．递增区间是
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知为奇函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象关于对称
C．
D．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义法证明在上是增函数；
（3）解关于x的不等式．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(0，3)
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（ ）
A．是奇函数，单调递增B．是奇函数，单调递减
C．是偶函数，单调递减D．是偶函数，单调递增
4．（2022·全国·高三专题练习（理））函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知减函数，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则满足的x取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2]B．[-2，0)∪[2，+∞)
C．(-∞，-2]∪[2，+∞)D．[-2，0)∪(0，2]
10．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A．fB．fC．fD．f11．（2022·上海宝山·一模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数
D．是偶函数，且在上是减函数
12．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1B．2C．D．
13．（2022·全国·高三专题练习）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数，（a，）为奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．1D．4
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·全国·高三专题练习）若为奇函数，当时，，则（ ）
A．B．1C．3D．
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
18．（2022·全国·高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．﹣2xB．2﹣xC．﹣2﹣xD．2x
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
21．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．B．4C．D．8
22．（2022·全国·高三专题练习（文））若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－xB． (ex＋e－x)
C． (e－x－ex)D． (ex－e－x)
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2B．C．3D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
25．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范固是（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且当x∈（2，4）时，f（x）=x3-3x，则f（2021）等于（ ）
A．2B．-18C．18D．-2
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·全国·高三专题练习）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
30．（2022·全国·高三专题练习）已知是R上的偶函数，对任意R， 都有，且，则的值为（ ）
A．0B．C．2D．6
31．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在的函数，若为偶函数，且，则是（ ）
A．周期为2的奇函数B．周期为4的奇函数
C．周期为2的偶函数D．周期为4的偶函数
32．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则
A．是偶函数B．是奇函数
C．D．是奇函数
33．（2022·全国·高三专题练习）若是偶函数，则一定有（ ）
A．b=0B．ac=0
C．a=0且c=0D．a=0，c=0且b≠0
34．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
35．（2022·全国·高三专题练习（理））已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ）
A．5B．-2C．1D．2
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，且，当时，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
37．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，，恒有,且当时，,则
A．1B．2C．3D．4
39．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数对任意都有且成立，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．
其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②③④D．①③④
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图像关于原点对称B．的图像关于y轴对称
C．的值域为D．，且
43．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
44．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（ ）
A．B．周期为2
C．的图象关于直线对称D．是奇函数
三、填空题
45．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为__________.
46．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．
47．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是___________
48．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(是自然对数的底数)，则的解集为__________
49．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为__________
50．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为________
51．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则______.
52．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，则的值等于__________
53．（2022·全国·高三专题练习）已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则__________．
54．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则____
55．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为N，则________.
56．（2022·全国·高三专题练习）设函数的最大值为，最小值为，则_________.
57．（2022·全国·高三专题练习）函数（且），若，则______．
58．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
59．（2022·浙江·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______.
60．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上为偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为_____
61．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为__________
62．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
第05讲 函数的基本性质：单调性，奇偶性，周期性
【知识点总结】
一、函数奇偶性
定义
设为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.
性质
函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
二、函数的单调性
定义
一般地，设函数的定义域为D，区间，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间M上是单调递增（或单调递减）的，区间M为函数的一个增（减）区间.
熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：
设且，则在上是增函数过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零.
在上是减函数.
性质
对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.
若为增函数，且或），则为减函数.
若为减函数，且或），则为增函数.
复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
三、函数的周期性
定义
设函数，如存在非零常数T，使得对任何，且，则函数为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.
注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D中的任何一个，都满足；若是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.
性质
若的周期为T，则也是函数的周期，并且有.
有关函数周期性的重要结论（如表所示）
函数的的对称性与周期性的关系
若函数有两条对称轴，则函数是周期函数，且；
若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
对于A，定义域为，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为，，所以为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为，，所以不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为，
因为，
所以是奇函数，
，
令为增函数，
也是增函数，
所以是增函数.
故D正确.
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．递增区间是B．递减区间是
C．递增区间是D．递增区间是
【答案】D
【详解】
因为函数，作出函数的图象，
如图所示：
由图可知，递增区间是，递减区间是和．
故选：D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意可知，在上为减函数，则，
函数在上为减函数，且有，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
当时，恒成立，
当时，，
即，
函数在上为单调增函数，
，
函数关于对称，
，
又函数在上为单调增函数，
（2）（3），
即（2）（3），
，，的大小关系为．
故选：．
例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数是奇函数，则a的值为（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
【答案】C
【详解】
因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即．
当时，，定义域为，且，故符合题意；
当时，，定义域为，且，故符合题意；
故选：C.
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知为奇函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的图象关于对称
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
因为为奇函数，所以
即，所以的图象关于对称．
故选项B正确，
由可得，
由可得，
所以，可得，
所以，所以周期为4，
所以的图象关于对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确.
故选: ABD．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义法证明在上是增函数；
（3）解关于x的不等式．
【解析】
（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，
可得，即，可得，即，
又由，可得，解得，所以，
经验证，此时满足，所以函数为奇函数.
所以函数的解析式为，
（2）解：设且，
则，
因为且，可得，
所以，即，
所以函数在区间上是增函数.
（3）因为函数是定义在上的奇函数，
则不等式可化为，
又因为函数在区间上是增函数，
可得，解得，即不等式的解集为
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(0，3)
【答案】A
【分析】
根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.
【详解】
因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，
则函数在上是减函数，有，
函数在上是减函数，有，即，
并且满足：，即，解和，
综上得，
所以a的取值范围为.
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（ ）
A．是奇函数，单调递增B．是奇函数，单调递减
C．是偶函数，单调递减D．是偶函数，单调递增
【答案】D
【分析】
利用奇偶性和单调性的定义判断即可
【详解】
解：定义域为，
因为，所以为偶函数，
任取，且，则
，
因为，，所以，所以，所以在单调递增，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（理））函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
5．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
∵，且，
∴函数为单调递增的奇函数．
于是，可以变为，
即，∴，而，可知实数，
故实数的取值范围为．
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】
因为函数是定义在上的增函数，则满足，
所以，，解得.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知减函数，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.
【详解】
易知为R上的奇函数，且在R上单调递减，
由，得，
于是得，解得.
故选:C.
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则满足的x取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，将原不等式化为，再根据的奇偶性和单调性可求出结果.
【详解】
设，则，
所以可化为，即，
也就是，
因为，
所以为奇函数，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以为单调递增函数，
所以，得.
所以满足的x取值范围是.
故选：A
9．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为（ ）
A．(-∞，-2]∪(0，2]B．[-2，0)∪[2，+∞)
C．(-∞，-2]∪[2，+∞)D．[-2，0)∪(0，2]
【答案】D
【分析】
由给定条件可得函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，利用奇函数的性质化简不等式，解出不等式即得.
【详解】
因函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，即函数f(x)在(0，2)上的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，
又f(x)是奇函数，于是得，
因此，当x>0时，，则有0综上，不等式≤0的解集为[-2，0)∪(0，2].
故选：D
10．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A．fB．fC．fD．f【答案】C
【分析】
首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项.
【详解】
因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，并且，所以函数关于对称，作出f(x)的草图(如图)，由图可知<<，
故选：C
11．（2022·上海宝山·一模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是增函数
C．是奇函数，且在上是减函数
D．是偶函数，且在上是减函数
【答案】A
【分析】
根据函数的单调性与奇偶性的定义判断.
【详解】
定义域为，且，
是上的奇函数，
又是上的增函数，是上的减函数，
所以函数是上的增函数，
故选：A.
12．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】
利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】
设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
13．（2022·全国·高三专题练习）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先设，得到，再代入，利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】
设，则，因为函数为奇函数，且当时，，
，即：.
故选：D
14．（2022·全国·高三专题练习）若函数，（a，）为奇函数，则的值为（ ）
A．B．C．1D．4
【答案】B
【分析】
因为函数是奇函数，通过带特殊值可以求出的值，从而得到答案
【详解】
利用和可得： 解得：，，所以，.
故选B.
15．（2022·全国·高三专题练习）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
通过是奇函数和是偶函数可以确定函数的解析式与周期，进而求出结果.
【详解】
因为是奇函数，所以①，且关于点对称，
因为是偶函数，所以②，且关于对称，
所以的周期为，
令，由①得，由②得
又，所以，，
令，由①得，
所以，，
所以.
故选：B
16．（2022·全国·高三专题练习）若为奇函数，当时，，则（ ）
A．B．1C．3D．
【答案】C
【分析】
先求出时，的解析式，再利用奇函数求
【详解】
因为为奇函数，当时，，
所以，解得：.
所以当时，.
所以.
故选：C
【点睛】
函数奇偶性的应用:
(1)一般用或;
(2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】
根据奇函数的性质求出的值，再根据奇偶性求出函数的周期，最后利用函数的周期进行代入求值即可.
【详解】
因为为奇函数，所以，
因此当时，，.
因为是偶函数，所以，而为奇函数，
所以，
因此有，
因此有，所以，
因此的周期为，
，
故选：A
18．（2022·全国·高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．﹣2xB．2﹣xC．﹣2﹣xD．2x
【答案】C
【分析】
当时，，由已知表达式可求得，由奇函数的性质可得与的关系，从而可求出．
【详解】
解：当时，，
当时，，
则．
又是上的奇函数，所以当时．
故选：C．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用函数奇偶性可得，代入时，，解得，进而可求得结果．
【详解】
为奇函数，，
，则，
当时，，
，即，解得：，
当时，，
.
故选：B.
20．（2022·全国·高三专题练习）函数是定义在上的奇函数．若，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】
由奇函数的定义域可得的值，再由解出，进而求出答案．
【详解】
函数是定义在上的奇函数，则，解得．又，则，所以．
故选：A
21．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】C
【分析】
用替换原式中的，可得，利用奇偶性可得，与相减即可求，进而可得的值.
【详解】
因为①，
所以，
因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以②，
②-①得：，所以，所以，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用函数的奇偶性结合已知条件可得
，即，与已知条件
，两式相减可得解析式，即可求函数值.
22．（2022·全国·高三专题练习（文））若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－xB． (ex＋e－x)
C． (e－x－ex)D． (ex－e－x)
【答案】D
【分析】
由已知中定义在R上的偶函数和奇函数满足，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于、的另一个方程：，解方程组即可得到的解析式．
【详解】
∵为定义在R上的偶函数，∴，
又∵为定义在R上的奇函数，，
由，
∴.
故选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是函数解析式的求法——方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于、的另一个方程：，是解答本题的关键．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其导函数记为，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】A
【分析】
函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.
【详解】
由已知得，
则，显然为偶函数.
令，显然为奇函数.
又为偶函数，所以，，
所以.
故选：A.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】C
【分析】
根据题意求得函数的周期，结合函数性质，得到，在代入解析式求值，即可求解.
【详解】
因为为上的偶函数，所以，
又因为对于，都有，
所以函数的周期，且当时，，
所以
故选：C.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范固是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.
【详解】
因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，
所以f（x）在区间上单调递减，
因为，
所以，
所以，
解得，
所以a的取值范固是，
故选：C
26．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x），且当x∈（2，4）时，f（x）=x3-3x，则f（2021）等于（ ）
A．2B．-18C．18D．-2
【答案】B
【分析】
先判断出的周期性，然后根据的周期性和奇偶性求得.
【详解】
因为f（x）满足f（x+4）=f（x），所以f（x）是周期为4的函数，所以f（2021）=f（505×4+1）=f（1）=f（-3），因为f（x）是奇函数，且当x∈（2，4）时，f（x）=x3-3x，所以f（-3）=-f（3）=-（33-3×3）=-18，故f（2021）=-18.
故选：B
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为定义在上的奇函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数为奇函数得出：定义域关于原点对称且，从而求的值；再根据函数的单调性结合定义域求不等式的解集.
【详解】
∵函数为定义在上的奇函数，
∴，得到，
因为函数为奇函数，所以满足，
则，所以，所以得到
所以，且函数的定义域为，
则等价于，
∴，
又因为，所以在上单调递增，
∴，解得，
∴原不等式的解集为，
故选：C．
28．（2022·全国·高三专题练习）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果.
【详解】
因为，
所以或，
因为在上单调递增，且，
所以，
因为在上为奇函数，
所以在上单调递增，且，
因此，
综上：不等式的解集为.
故选：C.
29．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的奇函数，且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】
根据是R上的奇函数，且即可得出的周期为2，从而可求出，并且可得出，这样即可得出答案.
【详解】
解：∵是R上的奇函数，且，
∴，
∴，
∴的周期为2，
∴，
且，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性周期性，题目中基本是奇偶性和对称性相结合推出函数的周期性，最后根据周期性求出对应的函数值，或者根据奇函数的性质求解，需要在备考过程中多总结.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知是R上的偶函数，对任意R， 都有，且，则的值为（ ）
A．0B．C．2D．6
【答案】C
【分析】
判断出的周期，结合的奇偶性求得的值.
【详解】
令，则，所以，
则，
故，所以是周期为的周期函数，
所以.
故选：C
31．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在的函数，若为偶函数，且，则是（ ）
A．周期为2的奇函数B．周期为4的奇函数
C．周期为2的偶函数D．周期为4的偶函数
【答案】B
【分析】
利用为偶函数，可得，结合可得周期，然后利用周期及可得奇偶性.
【详解】
因为为偶函数，所以，，
因为，所以，
所以，即周期为4；
由，得，即有，所以为奇函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查函数性质，综合了周期性和奇偶性，转化为周期的常见形式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
32．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则
A．是偶函数B．是奇函数
C．D．是奇函数
【答案】D
【详解】
与都是奇函数，，
所以函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数．
33．（2022·全国·高三专题练习）若是偶函数，则一定有（ ）
A．b=0B．ac=0
C．a=0且c=0D．a=0，c=0且b≠0
【答案】C
【分析】
利用偶函数的定义求得恒成立，即可求出a，c，再验证b=0时情况即可判断作答.
【详解】
显然函数定义域为R，
因是偶函数，即，亦即，
整理得，而ex-e-x不恒为0，因此，2ax2+2c恒为0，即a=0且c=0，
当b也等于0时，也是偶函数，D不正确，
所以一定正确的是C.
故选：C
34．（2022·全国·高三专题练习）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据的奇偶性求得，从而求得.
【详解】
由于是偶函数，所以，且.
故选：B
35．（2022·全国·高三专题练习（理））已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ）
A．5B．-2C．1D．2
【答案】D
【分析】
先根据对称性分析出的奇偶性，然后根据分析出为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出的值.
【详解】
由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，
又由，得，
所以是周期为的偶函数.
所以，
故选：D.
【点睛】
结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：
（1）若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；
（2）若函数的图象关于点成中心对称，则为奇函数.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，且，当时，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】
根据已知条件得函数是周期函数，周期为，进而根据周期性求解即可.
【详解】
解：因为，所以，
又因为，所以
所以，即函数是周期函数，周期为，
因为当时，，
所以
所以
故选：C
37．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合时，，可得答案．
【详解】
解：∵是定义在R上的周期为2的偶函数，时，，
∴时，
，，
此时，
时，
，，
此时，
综上可得：时，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，，恒有,且当时，,则
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据是定义在上的奇函数可推导出;用替换中的，可求出的周期；根据周期可得的值.
【详解】
,,用替换中的得到，，
的最小正周期是4，
是定义在上的奇函数，,
时，，，
，，，
的最小正周期是4，
.
故选：C
39．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数对任意都有且成立，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由以及可推导是周期为的周期函数，由此，，代入可计算结果，又，代入计算即可.
【详解】
由
可知．又，
，，
，
函数是周期为的周期函数，
，，．
由可得，即，
.
故选：C．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．
其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②③④D．①③④
【答案】C
【分析】
推导出，可判断①②的正误；分析得出，可判断③的正误；利用函数的单调性与奇偶性、周期性的关系可判断④的正误.
【详解】
因为且是定义在上的奇函数，则，
故函数是周期为的周期函数，且，
所以，，故函数的图象关于对称，①错误，②正确；
由题意可知，，
因为，令，可得，即，
所以，，从而，故函数在内至少有个零点，③正确；
因为，，且函数在上单调递增，
则函数在上也为增函数，故函数在上也是单调递增，④正确.
故选：C.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，当时，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由奇函数对称性可得，代入已知解析式解得.
【详解】
函数为奇函数，.
又，则，解得.
故选：B.
【点睛】
图象具有对称性的函数求值题型关键在于区间转化，将未知区间的问题利用对称性转化到已知区间上求解.
二、多选题
42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图像关于原点对称B．的图像关于y轴对称
C．的值域为D．，且
【答案】ACD
【分析】
判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】
的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A正确，选项B不正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】
利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.
43．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】
根据函数奇偶性的定义分别判断函数的奇偶性，接着判断函数的单调性，最后得到正确选项即可.
【详解】
因为，定义域为，且，
所以函数是奇函数，
设，则，
所以时，，
又因为函数是奇函数，
所以函数在上单调递减，故选项A正确；
由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，
故选项B正确；
而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；
对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，
，所以函数是奇函数，
设，则
，
所以时，，所以函数在上单调递增，
又因为函数是奇函数，，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.
故选：AB.
44．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（ ）
A．B．周期为2
C．的图象关于直线对称D．是奇函数
【答案】ACD
【分析】
由已知条件可得关于和直线对称，从而的周期，，进而可判ABC，对于D，由于关于和直线对称，可得关于对称，再结合周期可得结论
【详解】
由是奇函数，是偶函数，可得关于和直线对称，从而的周期，所以选项错误，选项正确；
对选项：由对称性及奇函数的性质可知正确；
对选项：有已知关于和直线对称，从而关于对称，
又因为的周期，可得关于对称，所以是奇函数，D正确，
故选：ACD.
三、填空题
45．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为__________.
【答案】或
【分析】
先求出函数的定义域，由，然后换元，令，则，再利用复合函数求单调区间的方法求解即可
【详解】
解：由题意得，解得，
，（），
令（），则，
因为在上递增，在上递减，
因为在上递减，
所以在上递减，在上递增，
故答案为：或
【点睛】
此题考查求对数型复合函数的单调区间，利用了换元法，属于基础题
46．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】(－∞，0]
【分析】
作出函数y＝|4x－1|的图象，结合图象即可得到k的取值范围.
【详解】
函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．
故答案为：(－∞，0].
47．（2022·全国·高三专题练习）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是___________
【答案】
【分析】
根据已知作出函数的大致图象，解不等式组或，即得解.
【详解】
因为函数为奇函数，
所以，
所以，
因为函数在上是减函数，所以函数在上是减函数．
作出函数的大致图象如图所示，
而，等价于，即，
则或，
所以或，
解得或．
综上，的解集是．
故答案为：
48．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(是自然对数的底数)，则的解集为__________
【答案】
【分析】
证明在上单调递增，在上单调递减，解不等式即得解.
【详解】
当时，，此时，
则在上单调递增，又由是偶函数，
所以在上单调递减.
由，得，则，
两边平方整理得，
解得.
故答案为：
49．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为__________
【答案】
【分析】
由复合函数的单调性和函数单调性的加减法则，可得时，单调减，再结合为偶函数，转化原式为，又，结合单调性和奇偶性即得解
【详解】
，为偶函数.
，
由，可得，又
令，由于，单增，单增
故在单调递增；
又在单调递减，
由函数单调性的加减法则，可知时，单调减，
所以，
得，或，
解得或.
故答案为：
50．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为________
【答案】
【分析】
证明的图像关于直线对称，在上为减函数，在上为增函数，解不等式即得解.
【详解】
∵，
∴的图像关于直线对称，
∵和都在上是减函数，在上是增函数，
∴在上为减函数，在上为增函数．
又，
∴，
即或，
解得或．
故答案为：
51．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】
利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】
因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
52．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是奇函数，则的值等于__________
【答案】或
【分析】
利用奇函数定义可构造方程求得，代入解析式即可求得结果.
【详解】
为奇函数，，即，
，整理可得：，
，解得：；
当时，，；
当时，，；
综上所述：或.
故答案为：或.
53．（2022·全国·高三专题练习）已知为上的奇函数，且其图象关于点对称，若，则__________．
【答案】1
【分析】
根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而.
【详解】
函数关于点对称，则，
又为上的奇函数，则，
因此函数的周期为4，
因此.
故答案为：1.
54．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则____
【答案】2
【分析】
对函数进行化简可得，构造函数，可判断为奇函数，则，由奇函数的对称性即可求解.
【详解】
，
令，则，
即为奇函数，图象关于原点对称，
，
，，且，
，则．
故答案为：2．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值，解题的关键是构造函数并灵活利用奇函数的对称性，属于中档题．
55．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为N，则________.
【答案】6
【分析】
化简可得，令，可得为奇函数，所以，由此可得结果.
【详解】
因为，
令，则，所以为奇函数，所以，
所以，，
所以.
故答案为：6
【点睛】
关键点点睛：令，判断出为奇函数，利用求解是解题关键.
56．（2022·全国·高三专题练习）设函数的最大值为，最小值为，则_________.
【答案】2
【分析】
可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解.
【详解】
，
令，则定义域为R，且，
故是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，
所以函数的最大值与最小值的和为2，
故在函数中，.
57．（2022·全国·高三专题练习）函数（且），若，则______．
【答案】4
【分析】
令，由为奇函数，得关于对称，再由得，即可求出.
【详解】
令，定义域为R，
，
为奇函数，关于原点对称，
关于对称，
，
，
.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查奇函数对称性的应用，考查对数的运算，属于中档题.
58．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足：①；②在上是减函数；③.请写出一个满足以上条件的___________.
【答案】
【分析】
由可得关于对称，所以写一个开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数即可.
【详解】
由可得关于对称，
所以开口向下，对称轴为，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，
故答案为：
59．（2022·浙江·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】
可求出分段函数在时的解析式，分两种情况解不等式，求并集.
【详解】
当时，，，则
当时，，故，，则
，则，则，则此时
综上有
故答案为：
【点睛】
利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设定在哪个区间.
②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上.
③利用已知区间的解析式进行代入，解出
60．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上为偶函数，且在上恒有，则不等式的解集为_____
【答案】
【分析】
证明在上为减函数，在上为增函数，不等式可化为，解不等式即得解.
【详解】
由为偶函数，∴
∴的图象关于直线对称，
又在上恒有，
即时，由，
∴在上为减函数，
∵的图象关于直线对称，
∴在上为增函数，
∵，∴，
不等式可化为：，
解得：.
故答案为：
61．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为__________
【答案】
【分析】
通过分析得到函数的图象，解不等式组或即得解.
【详解】
因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称．
由在上单调递减，得在上单调递增，且，
所以当或时，，当时，．
函数的图象如图所示，
等价于或
即或,
解得或.
故答案为：
62．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
【答案】， ，
【分析】
作出函数y=|-x2+2x+1|的图象，结合函数图象写出增区间、减区间即可.
【详解】
作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，
观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，
所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，.
故答案为：，；，