（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点5 函数的性质单调性、奇偶性与周期性 (含解析)

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这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点5 函数的性质单调性、奇偶性与周期性 (含解析)，共12页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的奇偶性，函数的周期性，指数函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。

考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识梳理
1．函数的单调性
(1) 单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．
从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：

（2）单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．
2．函数的奇偶性
(1) 奇函数、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
①考察定义域是否关于原点对称．
②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：
若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；
若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．
3．函数的周期性
(1) 周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．
(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)＝C（C为常数）就没有最小正周期．
典例剖析
题型一函数单调性的判断
例1　下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)
① y＝ ② y＝(x－1)2 ③ y＝2－x ④ y＝log0.5(x＋1)
答案 ①
解析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.
变式训练下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________. (填序号)
① f(x)＝x　　　② f(x)＝x3 ③ f(x)＝ ④ f(x)＝3x
答案 ④
解析　f(x)＝x，f(x＋y)＝(x＋y)≠x·y，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，①不满足题意．
f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不满足题意．
f(x)＝，f(x＋y)＝＝·，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝不是增函数，③不满足题意．
f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，④满足题意．
解题要点确定函数单调性的常用方法：
(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．
(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．
(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．
(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．
题型二函数单调性的应用
例2　如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________.
答案　－≤a≤0
解析当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综合上述得－≤a≤0.
变式训练函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
答案　6
解析易知f(x)在[a，b]上为减函数，
∴即∴∴a＋b＝6.
解题要点 1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．
2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
题型三求函数的单调区间
例3　求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．
解析令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.
∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．
而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
解题要点 1.求单调区间的常用方法：
(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．
2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：
(1)确定定义域；
(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．
题型四判断函数的奇偶性
例4　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3) f(x)＝＋.
解析 (1) 定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，
∴函数为奇函数．
(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数．
(3) 因为f(x)定义域为{－，}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．
解题要点判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；
2.判断f(－x)与f(x)关系. 若f(－x)＝－f(x) 则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．
或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；
若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．
题型五函数的周期性
例5　已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
答案　2.5
解析　由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
解题要点关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.
题型六函数性质的综合运用
例6　已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) 答案　　
解析　偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
有f(2x－1) 进而转化为不等式|2x－1|<，
解这个不等式即得x的取值范围是.
考点七指数与指数函数
知识梳理
1．根式
如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根(n>1且n∈N*)，当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，记为：；当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(1)两个重要公式
① ＝
② ()n＝a(注意a必须使有意义)．
(2)0的任何次方根都是0．
(3)负数没有偶次方根．
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的概念：
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ar s(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂ar(a>0，r是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0 图象

定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过点(0,1)，即x＝0时y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0 当x>0时，0 当x<0时，y>1
是R上的增函数
是R上的减函数
典例剖析
题型一指数幂的化简与求值
例1　的值是　　．
答案－3
解析　.
变式训练下列各式正确的是　　．(填序号)
① 　　 ② ④a0＝1
答案
解析　根据根式的性质可知正确．
，a＝1条件为(a≠0)，故①、②、④错．
例2 化简或求值
(1)
(2)
解析　(1)原式=
=
.
(2)原式＝＝a·b＝.
解题要点指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
题型二指数函数的图象和性质
例3　函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是　．(填序号)

① a>1，b<0 ② a>1，b>0 ③ 00 ④ 0 答案　④
解析由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0 变式训练指数函数y=恒过的定点为　　．
答案　(，2)
解析由函数y=ax恒过(0，1)点,
可得当3x－2=0，即时，y=2恒成立,
故函数恒过点(，2).
故答案为：(，2)．

题型三指数值的大小比较
例4　设，则y1、y2、y3 的大小关系是　　．
答案　y1＞y3＞y2
解析．
因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．
变式训练若，则x的取值范围是　　．
答案　(－∞，－3)
解析原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数,
所以x＜－3.
考点八对数与对数函数
知识梳理
1．对数的概念
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(1) 对数式与指数式的互化：ab＝N logaN＝b；
(2) 负数和零没有对数；
(3) loga1＝0，logaa＝1．
2. 两个重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：lg N，
常用的两个恒等式：lg10＝1，lg2＋lg5＝1．
(2)自然对数：以无理数e＝2.71828…为底的对数叫自然对数，记作：ln N，
常用的两个恒等式：ln e＝1 ，ln＝－1．
3．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R).
(2) 对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
＝N；logaaN＝N (a>0且a≠1)．
④logamMn＝logaM.
4．对数函数的图象与性质

a>1
0 图象

性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0
当0 当x>1时，y<0
当00
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
典例剖析
题型一对数的概念
例1　(1)方程log2(3x－1)=3的解是　　．
(2) 已知log3(log2x)=0，那么等于　　．
答案 (1)3 (2)
解析 (1)∵log2(3x－1)=3
∴3x－1=23=8，解得x=3
故答案为：x=3．
(2) ∵log3(log2x)=0，
∴log2x=1，
∴x=2，
∴．
故答案为：．
变式训练已知，则________.
答案
解析　由得，所以，解得，故答案为.
题型二对数化简与求值
例2　(1)= _____________.
(2) 2log32－log3＋log38－
答案　(1)3； (2) －1
解析　(1)原式=

(2) 原式＝log34－log3＋log38－3
＝log3(4××8)－3
＝log39－3
＝2－3
＝－1．
变式训练 (1)lg＋2lg 2－－1＝________.
(2) (log32＋log92)·(log43＋log83) ＝________.
答案　(1)－1； (2) .
解析　(1)lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2
＝lg －2＝1－2＝－1．
(2) 原式＝
＝
＝·＝.
解题要点对数运算中熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．另外要熟记常见的恒等式：lg 5＋lg 2＝1，logambn＝logab，logab＝.
题型三对数值的大小比较
例3　比较下列各组数的大小．
(1)log3与log5；
(2)log1.10.7与log1.20.7.
解析 (1)∵log3＜log31＝0，而log5＞log51＝0，∴log3＜log5.
(2)∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，∴＜，
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
变式训练已知a＝，b＝log2，c＝log，则a、b、c 的大小关系是______________．
答案　c>a>b
解析 0log＝1，
即01，所以c>a>b.
解题要点对数值比较大小，先看底数是否相同，若底数相同，则根据底数大于1还是小于1，借助对数函数的单调性比较大小；若底数不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.
题型四对数函数的图象和性质
例4　函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．

① ② ③ ④
答案　②
解析　由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项②正确．
变式训练函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．
答案 (－∞，－1)　(－1，＋∞)
解析作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
解题要点对数函数的图象一定要分底数大于1还是小于1，若底数大于1，则对数函数y＝logax图象是上升的，若底数小于1，则图象是下降的.在求解对数函数单调区间时，特别要注意的是，不可忽视定义域．