2020年高考理科数学全国卷2含答案

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2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.

2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则  (　　)

A.  B.

C.  D.

2.若为第四象限角，则    (　　)

A.  B.

C.  D.

3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者                            (　　)

A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块    D.3 339块

4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)                            (　　)

A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块

5.若过点圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为  (　　)

A. B. C. D.

6.数列中，，，若，则                 (　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为  (　　)

A. B. C. D.

8.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为  (　　)

A.4 B.8 C.16 D.32

9.设函数，则   (　　)

A.是偶函数，且在单调递增 B.是奇函数，且在单调递减

C.偶函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减

10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为   (　　)

A. B. C.1 D.

11.若，则   (　　)

A.  B.

C.  D.

12.周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是                                          (　　)

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量的夹角为，与垂直，则________.

14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.

15.设复数，满足，，则________.

16.设有下列四个命题：

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

：若直线平面，直线平面，则.

则下述命题中所有真命题的序号是________.

①   ②   ③   ④

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

在中，.

（1）求A；

（2）若，求周长的最大值.

18.（12分）

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数，.

19.（12分）

已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且.

（1）求的离心率；

（2）设是与的公共点，若，求与的标准方程.

20.（12分）

如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M，N分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于.

（1）证明：，且平面；

（2）设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

21.（12分）

已知函数.

（1）讨论在区间的单调性；

（2）证明：；

（3）设，证明：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线参数方程分别为

（为参数），（为参数）.

（1）将的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程.

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围.

2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷

理科数学答案解析

一、选择题

1．【答案】A

【解析】由题意可得：，则．故选：A．

【考点】并集、补集的定义与应用

2．【答案】D

【解析】当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D．

【考点】三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值

3．【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为，故需要志愿者名．故选：B．

【考点】函数模型的简单应用

4．【答案】C

【解析】设第n环天心石块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以．故选：C．

【考点】等差数列前n项和有关的计算

5．【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线距离均为；所以，圆心到直线的距离为．故选：B．

【考点】圆心到直线距离的计算

6．【答案】C

【解析】在等式中，令，可得，．

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得．故选：C．

【考点】利用等比数列求和求参数的值

7．【答案】A

【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，

图中标出了根据三视图点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为，故选：A．

【考点】根据三视图判断点的位置

8．【答案】B

【解析】

双曲线的渐近线方程是

直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点

不妨设为在第一象限，在第四象限

联立，解得

故

联立，解得

故

面积为：

双曲线

其焦距为

当且仅当取等号

的焦距的最小值：．故选：B．

【考点】双曲线焦距的最值问题

9．【答案】D

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选：D．

【考点】函数奇偶性和单调性的判断

10．【答案】C

【解析】设球的半径为，则，解得：．设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离．故选：C．

【考点】球的相关问题的求解

11．【答案】A

【解析】由得：，令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定．故选：A．

【考点】数式的大小的判断问题

12．【答案】C

【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，

对于选项A，

，不满足；

对于选项B，

，不满足；

对于选项D，

，不满足；

故选：C

【考点】数列的新定义问题

二、填空题

13．【答案】

【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，

即：，解得：．故答案为：．

【考点】平面向量的数量积定义与运算法则

14．【答案】36

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，先取2名同学看作一组，选法有：．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：．

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种．故答案为：36．

【考点】计数原理的实际应用

15．【答案】

【解析】，可设，，

，

，两式平方作和得：，

化简得：

．

故答案为：．

【考点】复数模长的求解

16．【答案】①③④

【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题．综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故答案为：①③④．

【考点】复合命题的真假，空间中线面关系有关命题真假的判断

三、解答题

17．【答案】（1）；

（2）

【解析】（1）由正弦定理可得：，，，．

（2）由余弦定理得：，即．（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为．

【考点】解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题

18．【答案】（1）；

（2）；

（3）详见解析

【解析】（1）样区野生动物平均数为，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为

（2）样本的相关系数为

（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．

【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取

19．【答案】（1）；

（2），．

【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，

联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；

（2）由（1）知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得．因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为．

【考点】椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程

20．【答案】（1）证明见解析；

（2）．

【解析】（1）分别为，的中点，又．在中，为中点，则．又侧面为矩形，，，，由，平面，平面．又，且平面，平面，

平面．又平面，且平面平面

又平面，平面，平面，平面平面．

（2）连接

平面，平面平面，．根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面，．故：四边形是平行四边形．设边长是()，可得：，．为的中心，且边长为，，故：．，，．解得：．在截取，故，且，四边形是平行四边形，．由（1）平面，故为与平面所成角．在，根据勾股定理可得：，，直线与平面所成角的正弦值：．

【考点】证明线线平行和面面垂直，线面角

21．【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．

（2）证明见解析；

（3）证明见解析．

【解析】（1）由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．

（2）注意到，故函数是周期为的函数，结合（1）的结论，计算可得：，，，据此可得：，，即．

（3）结合（2）的结论有：

．

【考点】导数的应用

22．【答案】（1）；；

（2）．

【解析】（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：．

（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，则，解得：，所求圆的半径，所求圆的直角坐标方程为：，即，所求圆的极坐标方程为．

【考点】极坐标与参数方程的综合应用

23．【答案】（1）或；

（2）．

【解析】（1）当时，．当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或．

（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为．

【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值