2024年中考数学复习训练---第5天 全等三角形与相似三角形

这是一份2024年中考数学复习训练---第5天 全等三角形与相似三角形，共81页。试卷主要包含了如图，内接于，是的直径，已知，，若，则，下列说法正确的是，如图，在中，，，若，则等内容，欢迎下载使用。
中考预测
满分技巧
eq \\ac(◇,以) eq \\ac(◇,练) eq \\ac(◇,带) eq \\ac(◇,学)
真题回顾
一．选择题
1．（2022•金华）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是
A．B．C．D．
2．（2022•陕西）如图，内接于，是的直径．若，，则的长为
A．5B．C．D．
3．（2022•成都）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是
A．B．C．D．
4．（2022•攀枝花）如图，在矩形中，，，点、分别为、的中点，、相交于点，过点作，交于点，则线段的长度是
A．B．1C．D．
5．（2022•兰州）已知，，若，则
A．4B．6C．8D．16
6．（2022•贵阳）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是
A．B．C．D．
7．（2022•广安）下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是矩形
B．相似三角形的面积的比等于相似比
C．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．（2022•临沂）如图，在中，，，若，则
A．B．C．D．
9．（2022•哈尔滨）如图，，，相交于点，，，，则的长为
A．B．4C．D．6
10．（2022•海南）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是
A．3B．4C．5D．
11．（2022•贺州）如图，在中，，，，则的值是
A．B．C．D．
12．（2022•台湾）的边上有、、三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？
A．B．C．D．
13．（2022•湘潭）在中（如图），点、分别为、的中点，则
A．B．C．D．
14．（2022•甘肃）若，，，则
A．B．C．D．
15．（2022•连云港）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是
A．54B．36C．27D．21
16．（2022•凉山州）如图，在中，点、分别在边、上，若，，，则的长为
A．B．C．D．
二．填空题
17．（2022•南通）如图，点，，，在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．
18．（2022•牡丹江）如图，，，请添加一个条件 ，使．
19．（2022•北京）如图，在中，平分，．若，，则 ．
20．（2022•黑龙江）在中，，平分，，， ．
21．（2022•淮安）如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则的值是 ．
22．（2022•襄阳）如图，在中，是的中点，的角平分线交于点，若，，则的周长为 ．
23．（2022•北京）如图，在矩形中，若，，，则的长为 ．
24．（2022•邵阳）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件 ，使．
三．解答题
25．（2022•陕西）如图，点，在的边上，且，，．求证：．
26．（2022•淮安）已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，．求证：．
27．（2022•衢州）已知：如图，，．求证：．
28．（2022•益阳）如图，在中，，，于点，且．求证：．
29．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足处．将甲绕点顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件按图②作出示意图，并连接，，如图③所示，交于，交于，通过证明，可得．
请你证明：．
【迁移应用】
延长分别交，所在直线于点，，如图④，猜想并证明与的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．
30．（2022•菏泽）如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：．
31．（2022•盐城）如图，在与△中，点、分别在边、上，且△，若 ，则△．
请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
32．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，．
求证：（1）；
（2）．
区域模拟
一．选择题
1．（2023•南充模拟）如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，
A．B．C．D．
2．（2023•文成县一模）如图，平分，，若，，，则点到边距离等于
A．1.5B．2C．D．
3．（2023•交城县一模）如图，是的平分线，，，分别是射线、射线、射线上的点，连接，．若添加一个条件使，则这个条件可以为
A．B．C．D．
4．（2023•播州区一模）将4个全等的小长方形按如图所示的方式摆放拼成一个大长方形，且．设小长方形的宽为，长为，依题意列二元一次方程组正确的是
A．B．C．D．
5．（2023•定西一模）如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为
A．7.5B．10C．12D．15
6．（2023•白塔区一模）如图，菱形中，，分别在边，上，，相交于点，若，则的值是
A．B．C．D．
7．（2023•大石桥市模拟）如图，在中，、分别是和的中点，，则
A．30B．25C．5D．20
8．（2023•徐汇区一模）如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是
A．B．C．D．
9．（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是
A．4B．8C．D．
10．（2023•昌江县一模）如图，已知，若，，则的度数为
A．B．90C．D．110
11．（2023•庐阳区模拟）如图，在平行四边形中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则等于
A．B．C．D．
12．（2023•琼海一模）如图，将边长的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为，则梯形纸片中较短的底边长为
A．B．C．D．
13．（2023•汶上县一模）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则
A．4B．3C．2D．1
14．（2023•宁波模拟）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法正确的个数为
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
15．（2023•昭阳区一模）如图，已知，，的面积为9，则的面积为
A．1B．2C．3D．9
16．（2023•曲靖一模）如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是
A．B．C．D．
17．（2023•连云港一模）如图，在中，是边上的点，，，则与的面积比是
A．B．C．D．
18．（2023•金安区模拟）如图，已知中，，是高和的交点，，，则线段的长度为
A．1B．2C．D．
二．填空题
19．（2023•桂阳县模拟）如图，在中，，，平分，则点到的距离等于 ．
20．（2023•文山州一模）如图，在中，点、分别是、边上的点，且，，则与的面积之比为 ．
21．（2023•南山区模拟）如图，在中，，点是边的中点，过点作于点，延长至点，且，连接交于点，若，，则的长为 ．
22．（2023•汉阳区模拟）如图，在四边形中，垂直，若，，，，则的长为 ．
23．（2023•海淀区模拟）如图，在中，平分，垂足为，，，，则的长是 ．
24．（2023•海安市一模）如图，在四边形中，，，，且，则的最大值为 ．
25．（2023•榆阳区一模）如图，在中，，平分交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为 ．
26．（2023•临安区一模）如图，在中，是上一点，，，，则 ．
三．解答题
27．（2023•乾县一模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
28．（2023•东莞市模拟）如图，由绕着点逆时针旋转得到，且点恰好落在所在直线上，，相交于点．
（1）若，，求的面积．
（2）求证：．
29．（2023•雁塔区模拟）如图，在四边形中，，，连接，点为线段上一点，连接，若，．求证：．
30．（2023•周村区一模）如图，在正方形中，是边上的一点，过点作的垂线交于点，交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）若，，求的面积．
31．（2023•长沙模拟）如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
32．（2023•张店区一模）如图，等边，点，分别在，边上，，连接，，相交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：．
33．（2023•碑林区模拟）如图，在中，过点作并连接，使，在上截取，连接，求证：．
34．（2023•长春一模）如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与、分别交于点、，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，则的长为 ．
35．（2023•雁塔区模拟）如图，为上一点，已知，．求证：．
36．（2023•雁塔区四模）如图，是的直径，点在上，平分，是的切线，与相交于点，与相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
考前押题
一．选择题
1．如图，在和中，，，添加下列条件，不能判定的是
A．B．C．D．
2．已知，是线段上的动点且于，，则的最小值为
A．B．C．D．
3．如图，在中，，且，，，则的长为
A．6B．8C．10D．12
二．填空题
4．如图，在四边形中，垂直，若，，，，则的长为 ．
三．解答题
5．如图，四边形中，对角线，相交于点，且，．
（1）若，求证：；
（2）求证：；
（3）若平分，，，求的长．
真题回顾
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：在和中，
，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：连接，如图：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：，
，
，
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，即，可根据“”判定．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：四边形是矩形，，，
，，，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，
，
，，
，
，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：，，
，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：．对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不合题意；
．相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故此选项不合题意；
．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故此选项符合题意；
．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：，
，
，即，
，
．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：过点作于点，如图，
四边形是菱形，
，．
，，
，
四边形为平行四边形，
，．
点是边的中点，
，
．
，
设，则，
，，
，
．
．
在中，
，
．
解得：（负数不合题意，舍去），
．
．
即菱形的边长是4，
故选：．
11．【答案】
【解答】解：，
，
，，
的值为，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同法可证，
，
，
，
，
故选：．
13．【答案】
【解答】解：在中，点、分别为、的中点，
为的中位线，
，，
，
．
故选：．
14．【答案】
【解答】解：，
，
，，
，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：方法一：设2对应的边是，3对应的边是，
，
，
，，
的周长是27；
方式二：，
，
，
；
故选：．
16．【答案】
【解答】解：，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题
17．【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
18．【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：，
，
，
，，
，
故答案为：（答案不唯一）．
19．
【解答】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故答案为：1．
20．【答案】3．
【解答】解：如图，过点作于，
，，，
，
平分，
，
，
即，
解得．
故答案为：3．
21．【答案】．
【解答】解：在中，由勾股定理得，，
的面积是2，
点到的距离为，
在中，点到的距离为，
点到的距离为，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
22．【答案】．
【解答】解：如图，过点作于点，于点，过点作交于点．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
23．【答案】1．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：1．
24．【答案】或或（答案不唯一）．
【解答】解：，
当或或时，，
故答案为：或或（答案不唯一）．
三．解答题
25．【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
．
26．【答案】见解析．
【解答】证明：，
，
．
在和中，
，
，
．
27．【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
．
28．【答案】证明过程见解答部分．
【解答】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
．
29．【答案】【情境再现】证明见解答过程；
【迁移应用】猜想：；证明见解答过程；
【拓展延伸】猜想：，证明见解答过程．
【解答】【情境再现】
证明：由阅读材料知，
，，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
；
【迁移应用】
解：猜想：；证明如下：
由【情境再现】知：，
，
，
，
，
，
，
，
；
【拓展延伸】
解：猜想：，证明如下：
设交于，交于，如图：
由已知得：，是含角的直角三角形，，
，
，，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
．
30．【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：，
，
，
，
，
，
．
31．【答案】③（答案不唯一），证明过程见解答．
【解答】解：③．
理由如下：△，
，
，
又，
△．
同理，选①也可以．
故答案是：③（答案不唯一）．
32．【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2），
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
区域模拟
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：如图所示，连接，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：如图，过点作于点，于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即点到边距离等于1.5，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：平分，
，
又，
若，则根据可得，故选项符合题意，
而增加不能得到，故选项不符合题意，
增加不能得到，故选项不符合题意，
增加不能得到，故选项不符合题意，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：根据题意，得．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：延长交延长线于，
四边形是菱形，
，
，
，，
令，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：、分别是和的中点，
是的中位线，
，．
，
，
，
，
．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：过作交延长线于，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
令，则，，
，
，
，
故正确．
，
，
，
故正确．
，，
，
，
故正确．
，和不一定相等，
不一定等于．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：过点作于点，交于点，如图，
四边形为正方形，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
．
，
，
．
，的面积是32，
，
．
设，
，
．
这个正方形的边长是4．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：，，，
，
，
（全等三角形对应角相等）．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，
平行四边形，
，
，
．
故选：．
12．【答案】
【解答】解：如图，过点作于点，
四边形是正方形，边长为6，
，，
裁剪的两个梯形全等，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
根据题意有，
在中，，
，
，
即梯形中较短的底为．
故选：．
13．【答案】
【解答】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
故选：．
14．【答案】
【解答】解：①在中，，
，
平分，平分，
，，
，故①正确；
②当是的中线时，，
而平分，故②错误；
③，
为的中线，
为角平分线，
，
为等边三角形，
，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
，
，
，
，，
，，
，，
，故④正确；
⑤过作，于点，，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
16．【答案】
【解答】解：、根据可判定，故本选项不符合题意；
、根据不能判定，故本选项符合题意；
、根据可判定，故本选项不符合题意；
、根据可判定，故本选项不符合题意；
故选：．
17．【答案】
【解答】解：，，
，
，
故选：．
18．【答案】
【解答】解：是高和的交点，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题
19．【答案】5．
【解答】解：如图，过点作，垂足为，
，，
，
平分，，，
，
点到的距离等于5，
故答案为：5．
20．【答案】．
【解答】解：，
，
，
，
与的面积之比为．
故答案为：．
21．【答案】．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，，，
，
，，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为：．
22．【答案】20．
【解答】解：如图，将沿翻折得到．
，，，
，
垂直，
，
，
、、共线，，
，
只有，
，
，
，
，设，
则有：，
或（舍，
，
在中，．
23．【答案】38．
【解答】解：过作，垂足为，
平分，，
，
，，，
，
解得．
故答案为：38．
24．【答案】．
【解答】解：如图，在直线的右侧作等腰直角三角形，使得，，．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的最大值为．
故答案为：．
25．【答案】36．
【解答】解：过作于，
，
，
平分，，
，
点为的中点，，
，
的面积．
故答案为：36．
26．【答案】．
【解答】解：，，
，
，
，，
，
，
（负值舍去），
．
故答案为：．
三．解答题
27．【答案】证明见解析部分．
【解答】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
28．【答案】（1）；
（2）见解析．
【解答】（1）解：由绕着点逆时针旋转得到，
，，
，，，
，
，，
，，
的面积为；
（2）证明：，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
29．【答案】见解答．
【解答】证明：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
．
30．【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）1或．
【解答】（1）证明：于，
．
在正方形中，，
，．
，．
；
（2）解：过点作交于，
．
．
，，
．
在和中，
，
，
．
，
．
，，
，．
，
．
，
，
，
；
（3）解：过点作交于，
，．
在和中，
，
，
．
又，，
，
．
设，则，，
，
解得，，
或3，
作于，
，，
点为的中点，
，
或．
，
或．
31．【答案】（1）见解答；（2）．
【解答】（1）证明：，
，
．
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，，
在中，，
．
．
32．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解答】（1）解：是等边三角形，
，．
在和中，
，
，
．
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
．
33．【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
．
34．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接，
点在上，
，
，
，
，
，
，
，即，
点在上，
是的切线；
（2）解：连接，
，设，则，，
是直径，
，
，
又，
，
，
，
．
35．【答案】证明见解析．
【解答】证明：，，
，
，，
，
．
36．【答案】（1）证明见解析；
（2）3．
【解答】（1）证明：平分，
，
是的直径，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
考前押题
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
当时，和只是两边和其中一边的对角分别相等，此时不能判定和全等，故符合题意；
当时，由能判定，故不符合题意；
当时，，由能判定，故不符合题意；
当时，由能判定，故不符合题意．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：取中点，连接，，如图：
，
是直角三角形，
是中点，
，
的轨迹是以为圆心，2为半径的弧，
，，
，
当，，构成三角形时，，即，
当，，共线时，取最小值，最小值即为．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：，
，
，即，
解得：．
故选：．
二．填空题
4．【答案】20．
【解答】解：如图，将沿翻折得到．
，，，
，
垂直，
，
，
、、共线，，
，
只有，
，
，
，
，设，
则有：，
或（舍，
，
在中，．
三．解答题
5．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【解答】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）证明：取的中点，连接，，
，
，同理，
，
点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，
，，
．
（3）解：由（2）点，，，在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
全等三角形与相似三角形在各地中考数学中不管是在选择题、填空题、解答题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。但是也有性质与判定的常规考查，全等三角形与相似三角形的考查难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。相似三角形的考查热点有:平行线分线段成比例的基本性质、全等三角形与相似三角形的性质、判定以及其综合应用。分值在15分左右，为避免丢分，应扎实掌握，灵活应用。
预测分值：15分左右
难度指数：★★
必考指数：★★★★★