2024年中考数学【热点重点难点】专练热点05三角形的全等与相似(江苏专用)(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【热点重点难点】专练热点05三角形的全等与相似(江苏专用)(原卷版+解析)，共82页。试卷主要包含了 三角形的全等与相似，2米D．3，5a=3×1，，41等内容，欢迎下载使用。

【考纲解读】
1．了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰(边)三角形的概念；全等图形的概念；知道什么是比例式、比例中项；知道黄金分割的意义和生活中的应用；知道什么是相似三角形；了解相似多边形的性质；位似图形的概念
2．理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰(边)三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质；比例的基本性质及定理；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质
3．会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角和定理；.利用HL判定两个三角形全等；会判定两个三角形全等；会运用定理进行相似计算和证明；知道位似是相似的特殊情况．
4．掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；相似三角形； 平行线分线段成比例定理；相似三角形的判定和性质；相似多边形的性质。
5．能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算；证明一个三角形是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题；利用角平分线的判定解决有关的实际问题；能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算．能运用相似三角形的性质和判定方法证明简单问题；能利用位似放大和缩小一个图形
【命题形式】
1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题形式考查,属于中低档题,难度一般.少数以解答题的形式考查（以三角形或四边形为背景）,此类题型属于中高档题,难度比较大
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；相似三角形的定义、性质与判定；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质；相似三角形的性质及判定；相似多边形的性质；位似的性质；平行线分线段成比例定理、相似三角形与生活实际问题的应用
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
2． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB=10，则DE的长是（ ）
A．8B．6C．5D．4
3． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
4． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（ ）
A．2B．73C．625D．925
5． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
6． (2023·江苏无锡·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点
7． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是（ ）
A．3314B．9314C．337D．637
8． (2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ΔABC中，ABA．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题
9． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD=2，则AB=________．
10． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
11． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
12． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12．在Rt△DEF中，∠F=90°，DF=3，EF=4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是______．
13． (2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
14． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是______．
15． (2023·江苏苏州·统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
16． (2023·江苏无锡·统考中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
三、解答题
17． (2023·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．
18． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
19． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A'的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点B的位置用3,74°表示，连接A'A、A'B．求证：A'A=A'B．
20． (2023·江苏常州·统考中考真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．
21． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠B=60∘，AB=2，BC=3，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
22． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//DE,AB=DE,BF=CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A'BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A'BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A'D，则直线A'D与l的位置关系是__________．
23． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求CHCE的最大值．
24． (2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．
【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．
25． (2023·江苏扬州·统考中考真题）如图1，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠C=60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．
(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；
①点E在线段AB的延长线上且BE=BD；
②点E在线段AB上且EB=ED．
(2)若AB=6．
①当DEAD=32时，求AE的长；
②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．
26． (2023·江苏淮安·统考中考真题）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
一、单选题
1． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=30°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD=4，则PC为（ ）
A．6B．7C．8D．5
2． (2023·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图所示，在井口A 处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB=1米，AC=1．6米，AE=0．4米，则水面以上深度CD为（ ）
A．4米B．3米C．3.2米D．3.4米
3． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，△ABC中，DE是它的中位线，

下面三个结论：
(1)BC=3DE；(2)ADAE=ABAC；(3)若四边形BDEC的面积为6，则△ADE的面积为2；(4)△ADE与△ABC的周长之比为1:4．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2018·江苏淮安·校联考中考模拟）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互补
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
5．（2018·江苏南通·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．65°D．75°
6． (2023·江苏南通·统考二模）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=34．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，PQ交△ABC的边于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x=4时，y的值为（ ）
A．3B．2C．83D．32
7． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图，在△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD=CE=8，FD=2，则AB的值为（ ）
A．221B．62C．10D．47
8． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55∘，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（ ）
A．55∘B．62∘C．120∘D．130∘
二、填空题
9．（2018·江苏泰州·统考中考模拟）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为__________．
10． (2023·江苏·校考一模）一块直角三角形板ABC，∠ACB=90°，BC=12cm，AC=8cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则A1B1长为_____cm．
11． (2023·江苏镇江·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A<∠B，M是斜边AB的中点，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A＝_______°．
12． (2023·江苏无锡·校考模拟预测）如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=3，BE=2，则四边形DECF的面积是_____．
13． (2023·江苏宿迁·统考三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
14． (2023·江苏盐城·校考三模）在平面直角坐标系中，A(3,3)，B(6,0)，点D、E是OB的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE=a，则a需满足的条件是：____________．
15． (2023·江苏扬州·校考三模）如图，在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CG，如果BG⋅AC=24，则△AGC的面积的最大值是___________
16． (2023·江苏泰州·校联考三模）已知，△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，以BC为边作Rt△BCM，使得∠BMC=90°，连接AM，则线段AM长的最大值为______．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC,AC于F，M．
(1)求证∠B=∠C；
(2)若AB=5,AH=3,AE=2，求MF的长．
18． (2023·江苏连云港·校考三模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若EF=12，AE=10，求四边形AEDF的面积．
19． (2023·江苏常州·校考二模）已知ΔABC是等腰三角形，过ΔABC的一个顶点的一条直线，把ΔABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．
20． (2023·江苏无锡·校考一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中，PC：PB= ．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
21． (2023·江苏盐城·校考三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
(1)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．如图2，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
(2)若DF⊥AB，AC=2，则DE的长度为____________．
22． (2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系 ；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长 ．
23． (2023·江苏镇江·统考一模）【探究发现】
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．如图1，若BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP=∠ACN，CP交BN于点Q，①证明：∠NAC=∠MBC；②探究CP与CN的数量关系，并写出探究过程；
【类比学习】
如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=n，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，若BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP=∠ACN，CP交BN于点Q，CPCN= （用含n的式子表示）；
【拓展应用】
在前面的发现和探究的经验下，当n=22时，M是AC的中点时，若AN⋅NQ=12，求CP的长．
24． (2023·江苏徐州·统考三模）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
25． (2023·江苏扬州·统考一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，解答题目
题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
26． (2023·江苏扬州·统考二模）如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，垂足为点E、F．如果DEDF=sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正平分线．
(1)如图2，AB=AC，∠CAB=45°，BD=2CD，试说明AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
(2)如图3，若AD为△ABC关于∠CAB的正平分线，过点D作DF⊥AB，DM∥AB,MN⊥AB．
①试说明：四边形MNFD为正方形；
②若AB=120，边AB上的高为80，tanB=43，求∠CAB的正平分线AD的长．
2024年中考数学【热点·重点·难点】专练 （江苏专用）
热点05. 三角形的全等与相似
【考纲解读】
1．了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰(边)三角形的概念；全等图形的概念；知道什么是比例式、比例中项；知道黄金分割的意义和生活中的应用；知道什么是相似三角形；了解相似多边形的性质；位似图形的概念
2．理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰(边)三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质；比例的基本性质及定理；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质
3．会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角和定理；.利用HL判定两个三角形全等；会判定两个三角形全等；会运用定理进行相似计算和证明；知道位似是相似的特殊情况．
4．掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；相似三角形； 平行线分线段成比例定理；相似三角形的判定和性质；相似多边形的性质。
5．能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算；证明一个三角形是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题；利用角平分线的判定解决有关的实际问题；能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算．能运用相似三角形的性质和判定方法证明简单问题；能利用位似放大和缩小一个图形
【命题形式】
1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题形式考查,属于中低档题,难度一般.少数以解答题的形式考查（以三角形或四边形为背景）,此类题型属于中高档题,难度比较大
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；相似三角形的定义、性质与判定；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质；相似三角形的性质及判定；相似多边形的性质；位似的性质；平行线分线段成比例定理、相似三角形与生活实际问题的应用
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6B．3，5，10C．4，6，9D．4，5，9
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】A.∵3+3=6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B.∵3+5<10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C.∵4+6>9，6−4<9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D.∵4+5=9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
2． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB=10，则DE的长是（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．
【详解】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵E为AC的中点，
∴DE=12AC=5，
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
3． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（ ）
A．2B．73C．625D．925
【答案】A
【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长．
【详解】解： AD=32+42=5，AB=2，CD=3，
∵AB∥DC，
∴△AOB∽△DOC，
∴AOOD=ABCD=23，
∴设AO=2x，则OD=3x，
∵AO+OD=AD，
∴2x+3x=5．
解得：x=1，
∴AO=2，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．
5． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
6． (2023·江苏无锡·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点
【答案】D
【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则PA2+PB2+PC2=3x−22+3y−832+2003，可得P(2，83)时，PA2+PB2+PC2最小，进而即可得到答案．
【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则PA2+PB2+PC2=x2+y2+x−62+y2+x2+y−82
=3x2+3y2−12x−16y+100=3x−22+3y−832+2003，
∴当x=2，y=83时，即：P(2，83)时，PA2+PB2+PC2最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：y=−83x+8，
AC边上中线所在直线表达式为：y=−23x+4，
又∵P(2，83)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是△ABC三条中线的交点，
故选D．
【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．
7． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD=47AC，AB=2，∠ABC=150°，则△DBC的面积是（ ）
A．3314B．9314C．337D．637
【答案】A
【分析】过点C作CE⊥AB的延长线于点E，由等高三角形的面积性质得到S△DBC:S△ABC=3:7，再证明△ADB∼△ACE，解得ABAE=47，分别求得AE、CE长，最后根据△ACE的面积公式解题．
【详解】解：过点C作CE⊥AB的延长线于点E，
∵△DBC与△ADB是等高三角形，
S△ADB:S△DBC=AD:DC=47AC:37AC=4:3
∴S△DBC:S△ABC=3:7
∵BD⊥AB
∴ △ADB∼△ACE
∴S△ADBS△ACE=(ADAC)2=(47ACAC)2=1649
∴ABAE=47
∵AB=2
∴AE=72
∴BE=72−2=32
∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=180°−150°=30°
∴CE=tan30°⋅BE=32
设S△ADB=4x,S△DBC=3x
∴S△ACE=494x
∴ ∴494x=12×72×32
∴x=314
∴3x=3314，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8． (2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在ΔABC中，ABA．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠E=∠C，
∵∠AFE=∠DFC，
∴ △AFE∼△DFC，故①正确；
∵ △ADE≌△ABC，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠ADB=∠ADE，
∴ DA平分∠BDE，故②正确；
∵ △ADE≌△ABC，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵ △AFE∼△DFC，
∴∠CAE=∠CDF，
∴∠CDF=∠BAD，
故③正确
故选D
【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
9． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD=2，则AB=________．
【答案】4
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；
【详解】解：如图，
∵△ABC是直角三角形，CD是斜边中线，
∴CD=12AB，
∵CD＝2，
∴AB＝4，
故答案为4．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是记住直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．
【答案】12
【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC'的长为10尺，则C'B=5尺，设芦苇长AC=AC'=x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长AC=AC'=x尺，
则水深AB=(x−1)尺，
∵C'E=10尺，
∴C'B=5尺，
在Rt△AC'B中，
52+(x−1)2=x2，
解得x=13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．
11． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
【答案】2或12##12或2
【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；
【详解】解：①如图，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，连接OB，则OD⊥AC，
∵DE//BC，
∴∠OBF=∠BOE
∵O为ΔABC的内心，
∴∠OBF=∠OBE，
∴∠BOE=∠OBE
∴BE=OE，
同理，CD=OD，
∴DE=CD+BE，
AB=BC2+AC2=62+82=10
∵O为ΔABC的内心，
∴OF=OD=OG=CD，
∴BF=BG，AD=AG
∴AB=BG+AG=BC−CD+AC−CD=6−CD+8−CD=10
∴CD=2
②如图，作DE⊥AB，
由①知，BE=4，AE=6，
∵∠ACB=∠AED，∠CAB=∠EAD
∴ΔABC∼ΔADE
∴ABAC=ADAE
∴AD=AB⋅AEAC=10×68=152
∴CD=AC−AD=8−152=12
∵DE=AD2−AE2=1522−62=92
∴DE=BE+CD=4+12=92
∴CD=12
故答案为：2或12．
【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．
12． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12．在Rt△DEF中，∠F=90°，DF=3，EF=4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是______．
【答案】21
【分析】过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M,N,F'如图，需要知道的是Rt△ABC的被染色的区域面积是S梯形MNF'F，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．
【详解】解：过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M,N,F'如下图：
∵∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴AB=AC2+BC2=15，
在Rt△DEF中，∠F=90°，DF=3，EF=4．
∴DE=DF2+FE2=5，
∵AE=AB−DE=15−5=10，
∵EF//AF',EF=AF'，
∴四边形AEFF'为平行四边形，
∴AE=FF'=10，
∵S△DEF=12DF⋅EF=12DE⋅GF=6，
解得：GF=125，
∵DF//AC，
∴∠DFM=∠ACM,∠FDM=∠CAM，
∴△DFM∽△ACM，
∴DMAM=DFAC=13，
∴DM=13AM=14AB=154，
∵BC//AF'，
同理可证：△ANF'∽△DNC，
∴AF'BC=ANDN=13，
∴DN=3AN=34AB=454，
∴MN=DN−DM=454−154=152，
Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S梯形MNF'F=12×(152+10)×125=21，
故答案为：21．
【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．
13． (2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，
2.5a=3×1，
解得a=1.2，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
14． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是______．
【答案】2
【分析】根据ΔACE的面积=ΔDCE的面积，ΔABD的面积=ΔACD的面积计算出各部分三角形的面积．
【详解】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点，
根据等底同高可知，ΔACE的面积=ΔDCE的面积=1，
ΔABD的面积=ΔACD的面积=2ΔAEC的面积=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
15． (2023·江苏苏州·统考中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
16． (2023·江苏无锡·统考中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【答案】 80 4−3##−3+4
【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，CD=CE∠BCD=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，
∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD=52−32=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，
∴DG=GE=32，
∴FE=DF=DGcs30°=3，
∴AF=AE-FE=4-3，
故答案为：80；4-3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题
17． (2023·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．
【答案】见解析
【分析】根据SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出答案．
【详解】证明：∵AD=CF，
∴AD+CD=CF+CD，
∴AC=DF，
∵在△ABC和△DEF中AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠B=∠E．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
18． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30∘．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
【答案】(170+603)cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
则DF=12CD=90（cm），CF=CD•cs∠DCF=180×32=903（cm），
由题意得：DFEF=6090，即90EF=6090，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，
则AB255+903=6090，
解得：AB=170+603，
答：立柱AB的高度为(170+603)cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
19． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A'的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点B的位置用3,74°表示，连接A'A、A'B．求证：A'A=A'B．
【答案】(1)(3,37°)
(2)见解析
【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
（2）证明：如图，
∵A'3,37°，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20． (2023·江苏常州·统考中考真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．
【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)45
(3)1
【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
【详解】（1）不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴DO∥BC，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
（2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，
∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵CD=42，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=42，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM2=AB2−BM2=AO2−MO2，
∴AB2−BM2=AO2−MO2，即(42)2−(7−a)2=52−a2，
解得：a=3，即MO=3，
∴MC=MO+OC=3+5=8，AM=AO2−MO2=52−32=4
∴在Rt△AMC中，AC=AM2+MC2=42+82=45，
即AC的长为45；
（3）如图，
∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵EH∥FG，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴OFOG=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．
21． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠B=60∘，AB=2，BC=3，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】(1)见解析
(2)532
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作CD⊥AD，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，
∴点D为所求点．
（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵∠B=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°−60°=30°，
∵AB=2，
∴BE=12AB=1，CE=BC−BE=2，
∴AE=AB2−BE2=22−12=3，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，四边形ABCD是梯形，
∴∠D=∠ECD=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴CE=AD=2，
∴四边形ABCD的面积为12AD+BC⋅AE=12×2+3×3=532，
故答案为：532．
【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
22． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//DE,AB=DE,BF=CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A'BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A'BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A'D，则直线A'D与l的位置关系是__________．
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行
【分析】（1）根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEF；
（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于A'，连接A'B，A'C，即可；
②过点A'作A'M⊥l，过点D 作DN⊥l，则A'M∥DN，且A'M=DN，证明四边形A'MND是平行四边形，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF；
（2）①如图所示，△A'BC即为所求；
②A'D∥l，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，△A'BC与△ABC关于直线l对称，
∴△A'BC≌△DEF，
过点A'作A'M⊥l，过点D 作DN⊥l，则A'M∥DN，且A'M=DN，
∴四边形A'MND是平行四边形，
∴A'D∥l，
故答案是：平行．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
23． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求CHCE的最大值．
【答案】(1)45°
(2)9
(3)PE=DG，理由见解析
(4)2+12
【分析】（1）先说明∠B=45°，再说明DE是△CBP的中位线可得DE∥BP，然后由平行线的性质即可解答；
（2）先说明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=22DE 、GF=CF=22CG ；设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通过三角形中位线、勾股定理、线段的和差用x表示出AG，再根据三角形的面积公式列出表达式，最后运用二次函数求最值即可；
（3）先证明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，进而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，进而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可说明DG、PE的位置关系；
（4）先说明△CEF∽△CDH得到CECD=CFCH，进而得到CHCE=CF⋅CDCE2，然后将已经求得的量代入可得CHCE= =12x+12+288x+12−24，然后根据a+1a=a+1a2−2≥2求最值即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵，D、E分别为BC、PC的中点
∴DE∥BP，DE=12BP
∴∠EDC=∠B=45°．
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF=22DE ，GF=CF=22CG ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE=12−x2，EF=12−x22
∵Rt△APC，
∴PC=AP2+AC2=x2+144
∴CE=12x2+144
∵Rt△EFC
∴FC=FG=CE2−EF2=12x2+1442−12−x222=x+1282=12+x22
∴CG=2CF=12+x2
∴AG=12-CG=12-12+x2=12−x2
∴S△APG=12AP⋅AG=12x⋅12−x2=12x−x24=−x−62+364
所以当x=6时，S△APG有最大值9．
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴CECD=CFCH，即CE⋅CH=CF⋅CF
∴CHCE=CF⋅CDCE2
∵FC=12+x22 ，CE=12x2+144，CD=12BC=122+122=62
∴CHCE=12+x22⋅6212x2+1442 =12×x+12x2+144=12x+12+288x+12−24
≤122288−24=12242−24=122−2=22+24=2+12
∴CHCE的最大值为2+12．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线、平行线的性质、二次函数求最值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
24． (2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．
【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．
【答案】(1)23
(2)6±1
(3)536π
(4)734
【分析】（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点E在BC上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取BC的中点O，连接GO，从而求出OG=3，得出点G在以O为圆心，3为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；
（4）由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH.
【详解】（1）解：由题意得，∠BEF=∠BED=90°，
∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cs∠ABC=BEBF．
∴BF=BEcs∠ABC=3cs30°=23．
（2）①当点E在BC上方时，
如图一，过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，
∴tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC=3tan30°=33．
∵在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，
BE=3，tan∠DBE=DEBE，
∴DE=BE⋅tan30°=3．
∵点C、E、D在同一直线上，且∠DEB=90°，
∴∠CEB=180°−∠DEB=90°．
又∵在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3，
∴CE=BC2−BE2=32，
∴CD=CE+DE=32+3．
∵在△BCD中，S△BCD=12CD⋅BE=12BC⋅DH，
∴DH=CD⋅BEBC=6+1．
②当点E在BC下方时，
如图二，
在△BCE中，∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33，
∴CE=BC2−BE2=32．
∴CD=CE−DE=32−3．
过点D作DM⊥BC，垂足为M．
在△BDC中，S△BDC=12BC⋅DM=12CD⋅BE，
∴DM=6−1．
综上，点D到直线BC的距离为6±1．
（3）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3．
∴点G在以O为圆心，3为半径的圆上．
当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，圆弧长为150360×2π×3=536π．
∴点G所经过的路径长为536π．
（4）解：由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
如图四，过O作OH⊥AB于H，
当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，BO=12BC=332，
∴OH=BO⋅sin∠OBH=332⋅sin30°=334，
∴GH=OG+OH=3+334=734，
即点G到直线AB的距离的最大值为734.
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.
25． (2023·江苏扬州·统考中考真题）如图1，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠C=60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．
(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；
①点E在线段AB的延长线上且BE=BD；
②点E在线段AB上且EB=ED．
(2)若AB=6．
①当DEAD=32时，求AE的长；
②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．
【答案】(1)①AE=2BE②AE=2BE
(2)①215②4
【分析】（1）①算出△ABD各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；
②算出△ADE各内角发现其是30°的直角三角形即可推出；
（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即△EGD∽△DHA，设DE=3a，AD=2a，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出ED，AD，EG，DH，列式求解a即可；
②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明△EHD∽△DGA可得AGDH=DGEH，然后利用完全平方公式变形得出AE≥3+EH，求出AE的取值范围即可．
【详解】（1）①∵在ΔABC中，∠BAC=90°，∠C=60°
∴∠ABC=30°
∵BE=BD
∴∠BDE=12∠ABC=15°，∠BDA=90°−∠BDE=90°−15°=75°
在△ABD中，∠BAD=180°−∠ABD−∠BDA=180°−30°−75°=75°
∴∠BAD=∠BDA=75°
∴AB=BD=BE
∴AE=2BE；
②如图：
∵BE=DE
∴∠EBD=∠EDB=30°，∠AED=60°
∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°
∴AE=2ED
∴AE=2BE；
（2）①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则∠EGD＝∠DHA＝90°，
∴∠GED＋∠GDE＝90°，
∵∠HDA＋∠GDE＝90°，
∴∠GED＝∠HDA，
∴△EGD∽△DHA，
设DE=3a，AD=2a，则AE=DE2+AD2=7a，BE=6−7a，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=6
则AC=AB3=23，BC=2AC=43
在Rt△BEG中，∠EBG=30°，BE=6−7a
则EG=BE2=3−72a
在Rt△AHC中，∠C=60°，AC=23
∴AH=3AC2=3
∴DH=AD2−AH2=4a2−9
由△EGD∽△DHA得EDAD=EGDH，
即32=3−72a4a2−9
解得：a1=357，a2=−37（舍）
故AE=7a=215；
②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，
∵∠EHD＝∠AGD＝90°，
∴△EHD∽△DGA，
∴AGDH=DGEH，
∴AG·EH=DH·DG，
∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，
∴∠B=30°，
∴AG=12AB=3，EH=12BE=12（6-AE)，
∴DH·DG=3EH，
∴AE2=AD2+DE2=AG2+DG2+DH2+EH2=9+DG2+DH2+EH2，
∵DG2+DH2≥2DG·DH
∴AE2≥9+2DG·DH+EH2，
∴AE2≥9+6EH+EH2≥(3+EH)2，
∵AE＞0,DH＞0，
∴AE≥3+EH，
∵EH=12（6-AE)，
∴AE≥3+12(6−AE)，
∴AE≥4，
故AE的最小值为4.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键．
26． (2023·江苏淮安·统考中考真题）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
【答案】【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC•cs（180°﹣α），理由见解析
【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cs（180°﹣α）＝m•cs（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cs（180°﹣α）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
一、单选题
1． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=30°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD=4，则PC为（ ）
A．6B．7C．8D．5
【答案】C
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据平行线的性质得出∠PCE=30°，根据直角三角形的性质可得PC=2PE,由角平分线的性质可得出答案
【详解】过点P作PE⊥OB于点E，且OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PE=PD=4，
∵PC∥OA，且∠AOB=30°，
∴∠PCB=30°，
∴在Rt△PBC中有：PC=2PE=8，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，辅助线的作出是解决本题的关键
2． (2023·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图所示，在井口A 处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB=1米，AC=1．6米，AE=0．4米，则水面以上深度CD为（ ）
A．4米B．3米C．3.2米D．3.4米
【答案】B
【分析】由题意可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形对应边成比例列式即可求得CD．
【详解】解：由题意可知：AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABCD=AECE，
∵AB=1米，AC=1．6米，AE=0．4米，
∴1CD=0.41.6−0.4，解得CD=3，
∴水面以上深度CD为3米．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．
3． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，△ABC中，DE是它的中位线，

下面三个结论：
(1)BC=3DE；(2)ADAE=ABAC；(3)若四边形BDEC的面积为6，则△ADE的面积为2；(4)△ADE与△ABC的周长之比为1:4．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形中位线的性质和相似三角形的性质即可求解
【详解】∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，且DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ADAE=ABAC，
∴S△ADES△ABC=14，△ADE的周长△ABC的周长=12，
∴S△ABC=4S△ADE，
∵四边形BDEC的面积为6，
∴6+S△ADE=4S△ADE，
∴S△ADE=2，
即(2)(3)正确，(1)(4)错误；
故选：B
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形的中位线的应用，掌握相似比的特征是解题的关键
4．（2018·江苏淮安·校联考中考模拟）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互补
B．三角形内角和等于180°
C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【分析】根据勾股定理逆定理解题．
【详解】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵3m2+4m2=5m2
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．（2018·江苏南通·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．65°D．75°
【答案】C
【分析】由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，进而根据∠CAB=50°，求得∠CAD，根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵AG是∠CAB的角平分线，∠CAB=50°，
∴∠CAD=∠CAB=25°，
∵∠C=90°，
∴∠CDA=90°−25°=65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
6． (2023·江苏南通·统考二模）如图1，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=34．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，PQ交△ABC的边于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x=4时，y的值为（ ）
A．3B．2C．83D．32
【答案】C
【分析】根据图像可知AB=5，在Rt△ABC中，由三角函数及勾股定理可计算BC=3，AC=4，当Q与点C重合时，借助S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅PQ以及tanA=34可计算出此时PQ=125，AP=165．当点Q在AC段时，借助三角函数可知PQ=34x，由三角形面积公式可知S△APQ=12AP⋅PQ=38x2，即y=38x2（0≤x<165）；当点Q在BC段时，借助三角函数计算PQ=43(5−x)，故S△APQ=12AP⋅PQ=23x(5−x)，即y=23x(5−x)(165≤x≤5)．由两段函数解析式的自变量取值范围可知，当x=4时，点Q在BC段，借助函数解析式可解得y=83．
【详解】解：由图像可知，AB=5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴tanA=BCAC=34，可设BC=3x，AC=4x，
根据勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即(4x)2+(3x)2=52，
解得x=1或x=−1（不合题意，舍去），
∴BC=3，AC=4．
当点Q与点C重合时，可有S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅PQ，
即12×3×4=12×5×PQ，解得PQ=125，
此时由tanA=PQAP=34，可解得AP=165，
当点Q在AC段时，由tanA=PQAP=34，可知PQ=34AP=34x，
∴S△APQ=12AP⋅PQ=12x⋅34x=38x2，即有y=38x2（0≤x<165），
当点Q在BC段时，如下图所示，
PB=AB−AP=5−x，
∵∠B+∠PQB=∠B+∠BAC=90°，
∴∠PQB=∠BAC，
∴tan∠PQB=PBPQ=tan∠BAC=34，即5−xPQ=34，
∴PQ=43(5−x)，
∴S△APQ=12AP⋅PQ=12x×43(5−x)=23x(5−x)，
即y=23x(5−x)(165≤x≤5)，
∴当x=4时，可知y=23×4×(5−4)=83．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形、勾股定理、二次函数的综合问题等知识，解题关键是弄清图形中各线段的关系，分段求出函数解析式及自变量的取值范围．
7． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图，在△ABC中，高AD与中线CE相交于点F，AD=CE=8，FD=2，则AB的值为（ ）
A．221B．62C．10D．47
【答案】D
【分析】过点E作EG⊥AD，先根据中位线定理得出点G是AD的中点，从而可求出GF的长，再根据相似三角形的判定定理与性质可得EFCF=GFFD，从而可得EF的长，然后在Rt△EFG中，利用勾股定理可得EG的长，从而可得BD的长，最后在Rt△ABD中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，过点E作EG⊥AD
∵AD⊥BC
∴EG∥BD
∴AGGD=AEEB
∵CE为AB边上的中线
∴点E为AB的中点
∴点G是AD的中点
∴EG=12BD
∵AD=8,FD=2
∴DG=12AD=4,GF=DG−FD=2
在△EFG和△CFD中，
∠EFG=∠CFD∠EGF=∠CDF=90°
∴△EFG∼△CFD
∴EFCF=GFFD
设EF=x，则CF=CE−EF=8−x
∴x8−x=1
解得x=4，即EF=4
在Rt△EFG中，EG=EF2−GF2=42−22=23
∴BD=2EG=43
在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=82+(43)2=47
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定定理与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
8． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55∘，P是AB上的一个动点，则∠APC的度数可能是（ ）
A．55∘B．62∘C．120∘D．130∘
【答案】C
【分析】由题意利用等腰三角形性质求出∠B=∠C以及角的度数，从而得知∠APC的取值范围即可进行判断
【详解】∵AB=AC，∠A=55°，
∴∠B=∠C=62.5∘，
∵∠A+∠APC+∠PCA=180∘，
∴62.5∘≤∠APC＜125∘，在这个范围的角度只有120∘
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
二、填空题
9．（2018·江苏泰州·统考中考模拟）如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为__________．
【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式解答即可．
【详解】∵a∥b∥c，
∴ABBC=DEEF，
∵AB：BC=1：2，DE=3，则
∴12=3EF，
解得EF=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键．
10． (2023·江苏·校考一模）一块直角三角形板ABC，∠ACB=90°，BC=12cm，AC=8cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24cm，则A1B1长为_____cm．
【答案】813
【分析】由题意易得△ABC∽△A1B1C1，根据相似比求解即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=12cm，AC=8cm， B1C1=24cm，
∴AB=AC2+BC2=82+122=413，
∵△ABC∽△A1B1C1，
∴A1B1:AB=B1C1:BC=2:1，
即A1B1=813cm，
故答案为：813．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题的关键是利用中心投影的特点可知这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
11． (2023·江苏镇江·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A<∠B，M是斜边AB的中点，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A＝_______°．
【答案】30
【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A， ∠MCD=∠MCA，从而求得答案．
【详解】解：如图，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A<∠B，
∵CM是斜边AB上的中线，
∴CM=AM，
∴∠A=∠ACM，
将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，
设∠A=∠ACM=x度，
∵∠A+∠ACM=∠CMB，
∴∠CMB=2x，
如果CD恰好与AB垂直，
在Rt△CMG中，∠MCG+∠CMB=90°，
即3x=90°，
解得，x=30° ，
∴∠MCD=∠BCD=∠ACM=30°，
∵CM=MD，
∴∠D=∠MCD=30°=∠A，
即∠A=30°
故答案为：30
【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
12． (2023·江苏无锡·校考模拟预测）如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=3，BE=2，则四边形DECF的面积是_____．
【答案】6
【分析】易知四边形DECF是矩形，通过证△ADF∽△DBE，可求得DE⋅DF的值，也就得到了四边形DECF的面积．
【详解】解：∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DEC=∠C=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF∥BC，则∠ADF=∠B，
又∵∠AFD=∠DEB，
∴△ADF∽△DBE，
∴DFBE=AFDE，即DE⋅DF=AF⋅BE=6，
∴S矩形DFCE=DE⋅DF=6，
即四边形DECF的面积为6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质．解本题的关键是判断三角形相似．
13． (2023·江苏宿迁·统考三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
【答案】22
【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°
∴∠ACD＝∠E1CE
∵CDCE=ACCE1，
∴△ACD∽△E1CE，
∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D为AB上的动点，
∴E在直线E1E上运动，
当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
在△AGC与△E1GF中，
∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°
∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，
∴BF＝1，
∵BF＝2BE2，
∴BE2＝22，
故答案为：22．
【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键．
14． (2023·江苏盐城·校考三模）在平面直角坐标系中，A(3,3)，B(6,0)，点D、E是OB的三等分点，点P是线段AB上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得PD+PE=a，则a需满足的条件是：____________．
【答案】a=25
【分析】根据题意若只存在唯一一个点P使得PD+PE=a，则PD+PE取得最小值，作点E关于AB的对称点E'，连接DE'交AB于点P，则PD+PE=PD+PE'=DE'=a即可．
【详解】解：若只存在唯一一个点P使得PD+PE=a，
则PD+PE取得最小值，
作点E关于AB的对称点E'，连接DE'交AB于点P，
则PD+PE=PD+PE'=DE'，
∵A(3,3)，B(6,0)，
∴OA=OB=32+32=23，
∵(23)2+(23)2=62，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵点D、E是OB的三等分点，
∴OD=DE=EB=2，
根据轴对称的性质可得，∠ABE=∠ABE'=45°，EB=E'B=2，
∴∠EBE'=90°，
∴PD+PE=PD+PE'=DE'=42+22=25，
即a=25时，只存在唯一一个点P使得PD+PE=a，
故答案为：a=25．
【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理等知识点，读懂题意得出若只存在唯一一个点P使得PD+PE=a，则PD+PE取得最小值是解本题的关键．
15． (2023·江苏扬州·校考三模）如图，在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CG，如果BG⋅AC=24，则△AGC的面积的最大值是___________
【答案】6
【分析】延长BG交AC于点D，根据三角形重心的性质可得BG=2GD，D是AC的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出AC=2GD，从而得出BG=AC，然后根据BG⋅AC=24得出AC,DD的长度，则当GD⊥AC时，△AGC的面积最大，求其最大值即可．
【详解】解：延长BG交AC于点D，
∵G是△ABC的重心，
∴BG=2GD，D是AC的中点，
∵AG⊥CG，
∴GD=12AC，即AC=2GD，
∴BG=AC，
∵BG⋅AC=24，
∴BG=AC=26（负值舍去），
∴GD=6，
当GD⊥AC时，△AGC的面积最大，最大值为12AC⋅GD=12×26×6=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．
16． (2023·江苏泰州·校联考三模）已知，△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，以BC为边作Rt△BCM，使得∠BMC=90°，连接AM，则线段AM长的最大值为______．
【答案】2+102
【分析】以BC为直径的圆作⊙O，由题意可得，点M在圆⊙O上（除去B、C两点），连接AO并延长，交⊙O于点M，此时AM最大．
【详解】解：以BC为直径的圆作⊙O，
∵∠BMC=90°
∴点M在圆⊙O上（除去B、C两点），
连接AO、AM、OM，如下图：
在△AOM中，由三角形三边关系可得：AM当A、O、M三点共线时，AM=AO+OM，此时AM最大，
延长AO交⊙O于点M，过点A作AE⊥BC，如下图：
由题意可得：OM=OB=2，
设BE=x，则CE=4−x，
由勾股定理可得：AE2=AB2−BE2=AC2−CE2，即22−x2=32−4−x2
解得x=118，
AE2=22−1182=13564，OE=2−118=58，
AO=AE2+OE2=13564+582=102，
AM=OM+AO=2+102，
故答案为：2+102．
【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理等知识，解题的关键是确定点M的运动轨迹为以BC为直径的圆（除去B、C两点）．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC,AC于F，M．
(1)求证∠B=∠C；
(2)若AB=5,AH=3,AE=2，求MF的长．
【答案】(1)见解析
(2)95
【分析】（1）证明直线AH是BC的垂直平分线即可．
（2）先证明EF∥AH，再判定AE=AM，证明△CMF∽△CAH即可．
【详解】（1）∵AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，
∴ AH是BC的垂直平分线．
∴ AB=AC．
∴∠B=∠C．
（2）∵ AH⊥BC，AB=AC=5，
∴ ∠BAH=∠CAH．
∵ AH⊥BC，EF⊥BC，
∴ EF∥AH．
∴ ∠BAH=∠E,∠CAH=∠AME．
∴ ∠E=∠AME．
∴AE=AM=2．
∴CM=3．
∵EF∥AH，
∴△CMF∽△CAH．
∴ MFAH=CMCA．
∴ MF3=35．
∴ MF=95．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
18． (2023·江苏连云港·校考三模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若EF=12，AE=10，求四边形AEDF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AEDF的面积为75
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到DE=DF，则证明Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)得到AE=AF，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；
（2）利用勾股定理求得AG=8，证明△GAE∽△EAD，利用相似三角形的性质求得AD=252，根据面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴DE=DF，
在Rt△DEA和Rt△DFA中，DA=DADE=DF，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AD垂直平分EF，EF=12，AE=10，

∴EG=12EF=6，∠AGE=90°，
∴AG=AE2−EG2=8，
∵∠AGE=∠AED=90°，∠GAE=∠EAD，
∴△GAE∽△EAD，
∴AEAD=AGAE，即10AD=810，
∴AD=252，
∴S四边形AEDF=12EF⋅AD=12×12×252=75．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及角平分线的性质和线段垂直平分线的判断，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
19． (2023·江苏常州·校考二模）已知ΔABC是等腰三角形，过ΔABC的一个顶点的一条直线，把ΔABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．
【答案】图见解析，顶角为90°或108°或36°或1807°
【分析】先根据题意做出等腰三角形，再根据直线过点A，B分四种情况，根据三角形内角和定理，三角形外角的性质等，分别求出内角的度数即可．
【详解】一共有4种情况：
△ABC是等腰三角形，AB=AC，直线AD是过定点A．
根据题意，由△ABD，△ACD是等腰三角形，且AD=BD，AD=CD，
那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C．
利用三角形内角和定理，可知∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°，
则∠BAC=90°；
△ABC是等腰三角形，AB=AC，直线AD是过定点A．
根据题意，由△ABD，△ACD是等腰三角形，且AB=BD，AD=CD，
那么∠B=∠C，∠DAC=∠C，∠BAD=∠BDA，
所以∠BDA=2∠C．
利用三角形内角和定理，可知∠B+∠BAC+∠C=180°，
可得2∠B+3∠B=180°，
解得∠B=36°，
则∠C=36°，∠BAC=108°；
如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，直线BD是过定点B．
根据题意，由△ABD，△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BD=BC，
那么∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠BDC=∠C．
利用三角形外角的性质，可知∠BDC=2∠A，根据利用三角形内角和定理，得5∠A=180°，
解得∠A=36°，
则∠ABC=∠C=72°；
④如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，直线BD是过定点B．
根据题意，由△ABD，△BCD是等腰三角形，且AD=BD，BC=CD，
那么∠ABC=∠C，∠ABD=∠A，∠DBC=∠CDB．
利用三角形外角的性质，可知∠BDC=2∠A，
则∠DBC=2∠A，∠ABC=∠C=3∠A．
根据利用三角形内角和定理，得7∠A=180°，
解得∠A=(1807)°，
则∠ABC=∠C=(5407)°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，注意多种情况讨论，不能丢解．
20． (2023·江苏无锡·校考一模）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中，PC：PB= ．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【答案】(1)13
(2)图见解析
【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P；
②作点A的对称点A'，连接A'C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【详解】（1）解：图1中，
∵AB∥CD，
∴PCPB=CDAB=13，
故答案为：13．
（2）解：①在网格图②中，AB=32+42=5，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵BC∥AD，
∴APBP=ADCB=32，AP5−AP=32，
解得：AP=3，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点．
【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形．
21． (2023·江苏盐城·校考三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
(1)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．如图2，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
(2)若DF⊥AB，AC=2，则DE的长度为____________．
【答案】(1)四边形ADFC为菱形，理由见解析；
(2)6+2．
【分析】（1）根据菱形的判定定理证明即可；
（2）证明∠FDE=∠BDE=45°，作EH⊥BD交于点H，设DH=EH=m，则BH=2−m，求出m=3+1，进一步可求出DE=6+2．
【详解】（1）解：四边形ADFC为菱形，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD，
由折叠的性质可得：DB=DF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠DGE=90°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∵AC=AD=DF，
∴四边形ADFC为菱形．
（2）解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD=2，
∵DF⊥AB，
∴∠FDE=∠BDE=45°，
作EH⊥BD交于点H，
设DH=EH=m，则BH=2−m，
∵tan30°=EHHB=EH2−m=33，
∴EH=332−m，
∵DH=EH=m，
∴m=332−m，解得：m=3−1，
∴DE=DH2+EH2=6−2．
故答案为：6−2
【点睛】本题考查菱形的判定定理，30°所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，正切值，勾股定理，折叠的性质．解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
22． (2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．
(1)如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系 ；
(2)如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长 ．
【答案】(1)EF＝BE；
(2)AF2+BE2=EF2，理由见解析；
(3)115或1．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，根据勾股定理可得结论；
（3）分两种情形：如图3−1中，当点E在线段BC上时，如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5−x，根据（2）中结论和勾股定理构建方程求解即可．
（1）
解：∵AD＝DB，DF⊥DE，点F与点A重合，
∴ED垂直平分FB，
∴EF＝BE，
故答案为：EF＝BE；
（2）
结论：AF2+BE2=EF2；
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJ∥BE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，∠AJD=∠DEB∠ADJ=∠BDEAD=BD，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴AF2+AJ2=FJ2，
∴AF2+BE2=EF2；
（3）
解：如图3−1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5−x，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵EF2=AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+22=5−x2+12，
解得：x＝115，即AF＝115；
如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5−x，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵EF2=AF2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+42=5−x2+12，
解得：x＝1，即AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为115或1，
故答案为：115或1．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23． (2023·江苏镇江·统考一模）【探究发现】
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．如图1，若BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP=∠ACN，CP交BN于点Q，①证明：∠NAC=∠MBC；②探究CP与CN的数量关系，并写出探究过程；
【类比学习】
如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=n，M是边AC上一点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，若BN与线段AC相交，连接AN、CN，在BM上取一点P，使∠BCP=∠ACN，CP交BN于点Q，CPCN= （用含n的式子表示）；
【拓展应用】
在前面的发现和探究的经验下，当n=22时，M是AC的中点时，若AN⋅NQ=12，求CP的长．
【答案】【探究发现】①见解析；②CP=CN，证明见解析；【类比学习】n；【拓展应用】CP=2．
【探究发现】①设∠ABM=α，利用折叠的性质和等腰三角形的性质求解即可；②通过证明△CPB≌△CNA即可求解；
【类比学习】通过证明△CPB∽△CNA，求解即可；
【拓展应用】延长BM交AN于点E，利用垂直平分线以及相似三角形的性质得到△CQN≌△PQB，设CP=x，求得NA、QN，即可求解．
【详解】解：【探究发现】①设∠ABM=α，
由折叠的性质可得：∠APM=∠NBM=α，AB=BM
∴∠ABN=2α，∠NAB=12(180°−∠ABN)=90°−α，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠NAC=∠NAB−∠CAB=45°−α，∠CBP=∠CBA−∠ABM=45°−α，
∴∠NAC=∠MBC；
②在△CBP和△CAN中
∠BCP=∠ACN∠NAC=∠PBCAC=BC
∴△CBP≌△CAN(AAS)
∴CP=CN；
解：【类比学习】设∠ABM=α，∠CAB=β
由折叠的性质可得：∠APM=∠NBM=α，AB=BM
∴∠ABN=2α，∠NAB=12(180°−∠ABN)=90°−α，
∴∠NAC=∠NAB−∠CAB=90°−α−β，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−β，
∴∠CBP=∠ABC−∠ABM=90°−α−β，
∴∠CBP=∠NAC，
又∵∠BCP=∠ACN
∴△CPB∽△CNA，
∴CPCN=BCBA；
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCBA=n；
∴CPCN=n；
解：【拓展应用】延长BM交AN于点E，
则BE垂直平分AN，
又∵M为AC的中点
∴ME∥CN，ME=12CN，
∴∠ANC=∠AEB=90°，∠BPC=∠NCP，∠CNQ=∠PBQ
∵△CPB∽△CNA，
∴∠CPB=∠CNA=90°，
BCCM=BC12AC=2n=2，CPBP=tan∠CBP=CMBC=22
设CP=x，则BP=2x
∵△CPB∽△CNA
∴BCAC=BPAN=22，即AN=2x，NE=x
∵CPCN=22
∴CN=2x，即CN=BP
∴△CQN≌△PQB(ASA)
∴NQ=BQ，BP=PE，即BE=22x
由勾股定理可得：BN=BE2+NE2=3x，NQ=32x
AN⋅NQ=2x⋅32x=12，解得x=2，负值舍去，
即CP=2．
【点睛】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，能够灵活利用相关性质进行求解．
24． (2023·江苏徐州·统考三模）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
【答案】(1)AB＝CD+AC；
(2)AB＝CD﹣AC，证明见解析
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD进而求解；
（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求解．
【详解】（1）解：AB＝CD+AC．
理由为：
在AB上截取AG＝AC，连接DG，如图②所示，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ADC中，
AG=AC∠GAD=CADAD=AD ，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴DG＝CD，∠AGD＝∠ACB．
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B．
又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG+AG＝CD+AC；
（2）解：AB＝CD-AC．
理由为：
在AF上截取AG＝AC，连接DG，如图③所示，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ACD中，
AG=AC∠GAD=CADAD=AD，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠FGD．
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FGD＝2∠B．
又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG-AG＝CD-AC．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25． (2023·江苏扬州·统考一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，解答题目
题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【答案】(1)＝
(2)＝，解答过程见解析
(3)CD＝1或3
【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线上时，由（2）求出CD＝3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝1．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，AE＝BE，
∵ED＝EC，
∴∠BDE＝∠BCE＝30°，
∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴AE＝DB．
故答案为：＝．
（2）过E作EF∥BC交AC于F，如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝DB，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分为两种情况：①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM=12BC=12，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
∠ABM=∠EBN∠AMB=∠ENBAB=BE，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM=12，
∴CN＝1+12=32，
∴CD＝2CN＝3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM=12BC=12，∠BAM＝30°，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AM∥EN，
∴∠BEN＝∠BAM＝30°，
∴BN＝12BE＝12（AB＋AE）＝32，
∴MN＝BN－BM＝1，
∴CN＝MN－CM＝1−12=12，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意不要漏解．
26． (2023·江苏扬州·统考二模）如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，垂足为点E、F．如果DEDF=sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正平分线．
(1)如图2，AB=AC，∠CAB=45°，BD=2CD，试说明AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
(2)如图3，若AD为△ABC关于∠CAB的正平分线，过点D作DF⊥AB，DM∥AB,MN⊥AB．
①试说明：四边形MNFD为正方形；
②若AB=120，边AB上的高为80，tanB=43，求∠CAB的正平分线AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②1265．
【分析】（1）证明△CDE∽△BDF推出DEDF=CDBD=CD2CD=22，即可得到结论；
（2）①先证明四边形DFNM是矩形，利用DM∥AB推出∠CMD=∠CAB，得到sin∠CAB=sin∠CMD，列得DEDF=DEDM，得到DF=DM，即可证得四边形MNFD为正方形；
②过点C作CH⊥AB于H，交MD于G，设DF=4x，则FB=3x，DM=4x，证明△CMD∽△CAB，求出CG=83x，列83x+4x=80得x=12，根据勾股定理求出AD．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠CED=∠BFD=90°，
∴△CDE∽△BDF，
∴DEDF=CDBD=CD2CD=22，
∵∠CAB=45°，
∴DEDF=sin∠CAB，
∴AD为△ABC关于∠CAB的正平分线；
（2）①∵DF⊥AB，DM∥AB，MN⊥AB．
∴DM⊥MN，
∴∠DMN=∠MNF=∠DFN=90°，
∴四边形DFNM是矩形，
∵DM∥AB，
∴∠CMD=∠CAB
∴sin∠CAB=sin∠CMD，
∴DEDF=DEDM，
∴DF=DM，
∴四边形MNFD为正方形；
②过点C作CH⊥AB于H，交MD于G，
∵tanB=DFFB=43，
∴设DF=4x，则FB=3x，DM=4x，
∵DM∥AB，
∴△CMD∽△CAB，
∴CGDM=CHAB=80120=23，
∴CG=83x，
∴83x+4x=80，解得x=12，
∴DF=48，AF=AB-FB=84，
∴AD=DF2+AF2=482+842=1265．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角函数的知识，正方形的判定定理，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．