2023-2024学年重庆市沙坪坝区青木关中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆市沙坪坝区青木关中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg5(x−1)}，集合B={y∈Z|0≤y≤3}，则(∁RA)∩B=( )
A. (0,1)B. [0,1]C. ⌀D. {0,1}
2.方程x2+lnx−5=0的解所在区间可以为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
3.若1lg3t+1lg4t=12，则t=( )
A. 2 3B. 12C. 48D. 144
4.已知sin(π6−x)= 55，则cs(π3+x)=( )
A. ± 55B. 55C. 2 55D. ±2 55
5.函数y=lg12(x2−2x−8)的单调递增区间为( )
A. (4,+∞)B. (−∞,−2)C. (1,+∞)D. (−∞,1)
6.1−2sin25∘2sin10∘−2cs10∘=( )
A. 32B. 2C. 3D. 2
7.函数f(x)= ax2−ax+2的定义域为R，则a的取值范围为( )
A. [8,+∞)B. (0,8]C. [0,8]D. {0}∪[8,+∞)
8.已知命题“对∀x∈[−12,12]，都有(m−1)x2−(m+1)x+m+1≥0恒成立”为真，则m的取值范围为( )
A. [−13,+∞)B. [−13,1)∪(1,+∞)
C. (−∞,−13]D. (−∞,1]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. “ab>1”是“a>1，b>1”的必要不充分条件
B. “幂函数f(x)=(3m2−11)xm在(0,+∞)上单调递减”的充要条件为“m=2”
C. 命题p：∀x∈R，x3+3x−1>0的否定¬p为：∀x∈R，x3+3x−1≤0
D. 已知一扇形的圆心角α=60∘，且其所在圆的半径r=5，则扇形的弧长为5π3
10.下列说法正确的是( )
A. 若x+2y=2(x>0,y>0)，则2x+1y的最小值为4
B. 若x<1，则x+1x−1的最小值为−1
C. 若0D. 若a>0，b>0，且a+4b−ab−3=0，则ab∈(0,1]∪[9,+∞)
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π2)的部分图象如下，则以下说法正确的是( )
A. f(x)=2sin(2x−π4)
B. f(x)的一个对称中心为(−9π8,0)，一条对称轴为x=9π8
C. f(x)向左平移π8个单位后为偶函数
D. f(x)向右平移π8个单位后为奇函数
12.下列关于函数f(x)=x2−ax+7,x≤1ax,x>1的说法正确的是( )
A. 当a∈[2,4]时，f(x)是单调函数
B. 当a∈[4,+∞)时，f(x)是单调函数
C. 当a∈[4,8]时，f(x)的值域为(0,+∞)
D. 当a∈[4,+∞)时，f(x)的值域为(0,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知2cs(α−π2)=sin(α+π2)，则sin2α=______.
14.函数f(x)=ax−3+1(a>0且a≠1)的定点为______.
15.若f(x+3)=3f(x)，当x∈[0,6]时，f(x)=2x+lg12(x+1)，则f(99)=______.
16.若f(x)满足以下条件：①x，y>0，f(x+y)=f(x)⋅f(y)；②f(x)的图象关于x=0对称；③对于不相等的两个正实数a，b，有[f(a)−f(b)](a−b)>0成立，则f(x)的解析式可能为f(x)=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简或计算下列各式：
(1)[(−3)2]32−(lnπ−10)0+lg 105+lg4−5lg25100；
(2)tan(3π−α)cs(α+π2)sin(3π2+α)sin(α−5π)cs(7π2−α).
18.(本小题12分)
若函数f(x)=ax2+bx+4，
(1)若不等式f(x)<0的解集为(12,4)，求a，b的值；
(2)当a=1时，求f(x)>0(b∈R)的解集.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(x+5π2)sin(π−x)+2 3cs2x− 3，求：
(1)函数f(x)的最小正周期及对称中心；
(2)先将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=h(x)的图象，求h(x)在(π12,7π6)上的值域.
20.(本小题12分)
如图所示，ABCD是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中R在DC边上，Q在BC边上，P是弧TN上一点.设∠TAP=θ，矩形PQCR的面积为S平方米.
(1)求S关于θ的函数解析式；
(2)求S的取值范围.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg21−xax−1为奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)若x∈(1,+∞)，判断并用定义证明函数f(x)的单调性；
(3)设F(x)=f(x)−(12)x+k，且F(x)在区间[3,4]上不存在零点，求实数k的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg4(4x+12x),g(x)=4x−t⋅2x,h(x)=lg4(a⋅2x−1−2a3).
(1)若对于∀x1∈R，∃x2∈[−1,1]，使得f(x1)+g(x2)≥0成立，求实数t的取值范围；
(2)若f(x)与h(x)的图象有且仅有一个交点，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A中，x−1>0，x>1，A={x|x>1}，
集合B={y∈Z|0≤y≤3}={0,1,2,3}，
则∁RA={x|x≤1}，(∁RA)∩B={0,1}.
故选：D.
根据集合的定义先判断集合A，再根据集合的运算即可得．
本题考查集合的定义，集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：构造函数f(x)=x2+lnx−5，函数f(x)在R上单调递增，
则f(2)=4+ln2−5<0，f(3)=9+ln3−5>0，f(2)f(3)<0，
故程x2+lnx−5=0的解所在区间是(2,3).
故选：C.
由函数零点判定定理求其零点所在区间，即可求解．
本题考查函数零点判定定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：若1lg3t+1lg4t=12，
则lgt3+lgt4=lgt12=12
则t=144.
故选：D.
由已知结合对数的换底公式及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数的换底公式的应用，还考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为sin(π6−x)= 55，
则cs(π3+x)=sin(π6−x)= 55.
故选：B.
由已知结合诱导公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由x2−2x−8>0，得x<−2或x>4，
令u=x2−2x−8，则该函数在(−∞,−2)上单调递减，
而f(u)=lg12u是定义域内的减函数，
根据复合函数的单调性，可得函数y=lg12(x2−2x−8)的单调递增区间为(−∞,−2).
故选：B.
由真数大于0求解x的范围，再求出内层函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：1−2sin25∘2sin10∘−2cs10∘=cs10∘2sin10∘−2cs10∘=cs10∘−2sin20∘2sin10∘=cs(30∘−20∘)−2sin20∘2sin10∘= 32cs20∘−32sin20∘2sin10∘= 3(12cs20∘− 32sin20∘)2sin10∘= 3cs(60∘+20∘)2sin10∘= 32.
故选：A.
利用三角函数的恒等变化及两角和与差的余弦化简求值即可．
本题考查利用三角函数的恒等变化及两角和与差的余弦化简求值，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得，ax2−ax+2≥0恒成立，
当a=0时，2≥0显然成立，
当a≠0时，a>0Δ=a2−8a≤0，解得0故0≤a≤8.
故选：C.
由题意得，ax2−ax+2≥0恒成立，结合二次函数的性质对a进行分类讨论可求．
本题主要考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为(m−1)x2−(m+1)x+m+1≥0对∀x∈[−12,12]恒成立，
所以(x2−x+1)m−x2−x+1≥0对∀x∈[−12,12]恒成立，
即(x2−x+1)m≥x2+x−1对∀x∈[−12,12]恒成立，
因为x∈[−12,12]，
所以x2−x+1=(x−12)2+34>0，
所以m≥x2+x−1x2−x+1=1+2(x−1)(x−1)2+(x−1)+1对∀x∈[−12,12]恒成立，
令t=x−1∈[−32,−12]，
则m≥1+2tt2+t+1在t∈[−32,−12]上恒成立，
因为2tt2+t+1=2t+1t+1，
因为t∈[−32,−12]，
由对勾函数的性质可知，y=t+1t在[−32,−1]上单调递增，在[−1,−12]上单调递减，
所以y=t+1t∈[−52,−2]，t+1t+1∈[−32,−1]，
所以2t+1t+1∈[−2,−43]，1+2tt2+t+1∈[−1,−13]，
即(x2+x−1x2−x+1)max=−13，
所以m≥−13.
故选：A.
由题意可得m≥x2+x−1x2−x+1对∀x∈[−12,12]恒成立，利用分离常数法及基本不等式，求出(x2+x−1x2−x+1)max即可．
本题考查了转化思想及基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：A项，ab>1，则有可能a=100，b=110，则充分性不成立，
但若a>1，b>1，一定有ab>1，必要性成立，则A项正确；
B项，幂函数f(x)=(3m2−11)xm，则3m2−11=1，m=±2，
又f(x)=(3m2−11)xm在(0,+∞)上单调递减，
则m<0，则m=−2，B项错误；
C项，∀x∈R，x3+3x−1>0的否定¬p为：∃x∈R，x3+3x−1≤0，C项错误；
D项，扇形的圆心角α=60∘，即π3，且其所在圆的半径r=5，
则扇形的弧长为π3⋅5=5π3，D项正确．
故选：AD.
A，C项，按照简易逻辑的有关知识判断即可，B项，根据幂函数的性质判断，D项，根据弧长公式计算即可．
本题考查简易逻辑的有关性质，考查扇形弧长，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：若x+2y=2(x>0,y>0)，
则2x+1y=x+2yx+x+2y2y=2+2yx+x2y≥2+2 2yx⋅x2y=4，当且仅当x=2y，即y=12，x=1时取等号，A正确；
若x<1，则x+1x−1=x−1+1x−1+1=1−(1−x+11−x)≤1−2 (1−x)⋅11−x=−1，当且仅当1−x=11−x，即x=0时取等号，B错误；
若0若a>0，b>0，且a+4b−ab−3=0，则ab=a+4b−3≥2 4ab−3，当且仅当a=4b，即a=2，b=12或a=6，b=32时取等号，
解得，ab≥9或0故选：ACD.
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π2)的部分图象，可得A=2，T=7π8+π8=π=2πω，∴ω=2.
再根据五点法作图，可得2×3π8+φ=π，求得φ=π4，故f(x)=2sin(2x+π4)，故A错误．
令x=−9π8，求得f(x)=0；令x=9π8，求得f(x)=1，为最大值，
可得f(x)的一个对称中心为(−9π8,0)，一条对称轴为x=9π8，故B正确．
把f(x)向左平移π8个单位后，可得y=2sin(2x+π2)=2cs2x，显然所得函数为偶函数，故C正确．
把f(x)向右平移π8个单位后，可得y=2sin2x的图象，显然所得函数为奇函数，故D正确．
故选：BCD.
根据题意，由顶点坐标求出A，由周期求出ω，根据五点法作图求出φ值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π2)的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：若函数f(x)=x2−ax+7,x≤1ax,x>1是单调函数，
则函数为R上的减函数，
所以有a2≥1a>08−a≥a，解得2≤a≤4，故A正确，B错误；
若f(x)的值域为(0,+∞)，则a>0，
当x>1时，f(x)∈(0,a)，
所以当x≤1时，函数f(x)的最小值不大于a，
f(x)=x2−ax+7=(x−a2)2+7−a24，
当a2≥1，即a≥2时，函数f(x)在(−∞,1)上单调递减，
所以f(x)min=f(1)=8−a≤a，解得a≥4；
当0综上，f(x)的值域为(0,+∞)，a的取值范围为[4,+∞),
故C错误；D正确．
故选：AD.
函数f(x)是单调函数，可得a2≥1a>08−a≥a，解不等式组即可判断A，B；由函数的值域为(0,+∞)，当x>1时，f(x)∈(0,a)，可得当x≤1时，函数f(x)的最小值不大于a，分a≥2和0本题考查分段函数的单调性和最值，属中档题．
13.【答案】45
【解析】解：由于2cs(α−π2)=sin(α+π2)，即2sinα=csα，即tanα=12，
则sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=45.
故答案为：45.
由题意，利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求出tanα=12，可得要求式子的值．
本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．
14.【答案】(3,2)
【解析】解：f(x)=ax−3+1，
令x−3=0，解得x=3，
f(3)=1+1=2.
故答案为：(3,2).
根据已知条件，结合指数函数的性质，即可求解．
本题主要考查指数函数的单调性，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】解：因为f(x+3)=3f(x)，
所以f(x+6)=3f(x+3)=33f(x)=f(x)，即周期为6，
因为x∈[0,6]时，f(x)=2x+lg12(x+1)，
则f(99)=f(3)=23+lg124=8−2=6.
故答案为：6.
由已知先求出函数的周期，结合周期及已知区间上的函数解析式即可求解．
本题主要考查了周期在函数值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】3|x|(答案不唯一)
【解析】解：由条件①可得函数为指数型函数，
由②可知函数为偶函数，
由③可知当x∈(0,+∞)时，f(x)为单调递增函数，
综上可知函数f(x)的解析式为f(x)=3|x|.
故答案为：3|x|(答案不唯一).
根据条件判断函数的奇偶性及单调性，结合常见函数的性质即可得解．
本题主要考查抽象函数及其应用，函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解(1)原式=27−1+lg25+lg4−10
=26+2−10=18；
(2)tan(3π−α)cs(α+π2)sin(3π2+α)sin(α−5π)cs(7π2−α)
=−tanα(−sinα)(−csα)−sinα(−sinα)=−1
【解析】(1)结合指数及对数的运算性质进行化简即可求解；
(2)结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据不等式f(x)<0的解集为(12,4)知，12和4是方程ax2+bx+4=0的解，
由韦达定理知，a>0且12+4=92=−ba12⋅4=2=4a，解得a=2，b=−9；
(2)因为a=1，所以f(x)=x2+bx+4，
因为Δ=b2−16，
当Δ<0，即−40的解集为R；
当Δ=0，即b=±4时，不等式f(x)>0的解集为{x|x≠b2}；
当Δ>0，即b<−4或b>4时，不等式f(x)>0的解集为{x|x<−b− b2−162或x>−b+ b2−162}.
【解析】(1)根据不等式的解集得出对应方程的解，由韦达定理列方程组求出a、b的值；
(2)利用判别式Δ即可求出对应不等式f(x)>0的解集．
本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=2csx⋅sinx+ 3cs2x=sin2x+ 3cs2x=2sin(2x+π3)，
∴T=2π2=π，令2x+π3=kπ,k∈Z,x=−π6+kπ2,k∈Z，
∴对称中心为(−π6+kπ2,0),k∈Z；
(2)经平移变换后，h(x)=2sin[2(x−π3)+π3]=2sin(x−π3)，
因为x∈(π12,7π6),x−π3∈(−π4,5π6)，
∴sin(x−π3)∈(− 22,1],∴h(x)∈(− 2,2].
【解析】(1)先将函数化简，根据正弦函数的性质即可求；(2)根据三角函数变换确定h(x)，再根据正弦函数性质确定值域．
本题考查两角和差公式，三角函数变换，三角函数性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)如图，延长RP交AB于点E，延长QP交AD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，
∴PE⊥AB，PF⊥AD，
∵∠TAP=θ，AP=6，∴EP=6sinθ，FP=6csθ，
∴PR=8−6sinθ，PQ=8−6csθ，
∴S=PR⋅PQ=(8−6sinθ)(8−6csθ)=64−48(sinθ+csθ)+36sinθcsθ(0≤θ≤π2)；
(2)令sinθ+csθ=t，由0≤θ≤π2，可得θ+π4∈[π4,3π4]，
∴ 22≤sin(θ+π4)≤1，
∴t=sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)∈[1, 2]，
∴t2=(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ，即sinθcsθ=t2−12，
∴S=18t2−48t+46,t∈[1, 2]，其对称轴为t=43,t∈[1, 2]，
∴当t=1时，S取最大值，最大值为16；当t=43时，S取最小值，最小值为14.
即S∈[14,16].
【解析】(1)延长RP交AB于点E，延长QP交AD于点F，则EP=6sinθ，FP=6csθ，所以PR=8−6sinθ，PQ=8−6csθ，再结合S=PR⋅PQ求解即可；
(2)令sinθ+csθ=t，由0≤θ≤π2，可得θ+π4∈[π4,3π4]，则S=18t2−48t+46,t∈[1, 2]，再利用二次函数的性质求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了换元法的应用，以及二次函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=lg21−xax−1为奇函数，
则f(x)=−f(−x)，
则有lg21−xax−1=−lg21+x−ax−1，变形可得：1−xax−1=−ax−11+x，
解可得：a=±1，
a=1时，f(x)无意义，不符合题意；
当a=−1时，f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数，符合题意，
故a=−1.
(2)f(x)在(1,+∞)上是单调递增的，
证明如下：
设1由10，
又x1x2−x1+x2−1=(x2−1)(x1+1)>0，有x1x2+x1−x2−1x1x2−x1+x2−1<1，
从而f(x1)−f(x2)=lg2x1x2+x1−x2−1x1x2−x1+x2−1<0，即f(x1)则f(x)在(1,+∞)上是单调递增函数．
(3)根据题意，令F(x)在[3,4]上有零点，则lg2x−1x+1=(12)x−k在[3,4]上有解，
令χ(x)=lg2x−1x+1,φ(x)=(12)x−k，
由χ(x)=lg2x−1x+1在[3,4]上单调递增，φ(x)=(12)x−k在[3,4]上单调递减，
则有χ(3)≤ϕ(3)χ(4)≥ϕ(4)，即−1≤18−klg235≥116−k，∴k∈[116+lg253,98]
那么F(x)在区间[3,4]上不存在零点时，k∈(−∞,116+lg253)∪(98,+∞).
【解析】(1)根据题意，由奇函数的定义可得关于a的方程，分析可得答案；
(2)利用作差法证明可得答案；
(3)令F(x)在[3,4]上有零点，则lg2x−1x+1=(12)x−k在[3,4]上有解，再设χ(x)=lg2x−1x+1,φ(x)=(12)x−k，则两个函数存在交点，分析可得关于k的不等式，解可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性、单调性的性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题知，f(x1)min≥−g(x2)，
因为f(x)=lg4(4x+12x)=lg4(2x+12x)，
令2x=m∈(0,+∞)，则2x+12x=m+1m∈[2,+∞),
所以f(x)min=lg42=12,−4x+t⋅2x≤12在[−1,1]上有解，
设n=2x∈[12,1]，则t≤12+n2n=n+12n在[−1,1]上有解，即t≤(n+12n)max，
因为n+12n=n+12n,y=n+12n在[12, 22]上单调递减，在[ 22,2]上单调递增，
n=12时，y=32;n=2时，y=94.
所以t≤94，即t的取值范围为(−∞,94].
(2)根据条件可知，4x+12x=a⋅2x−1−2a3只有一个解，
所以4x+1=a2⋅4x−2a3⋅2x只有一个解．
设t=2x>0,φ(t)=(a2−1)t2−2a3t−1，
则φ(t)=0在(0,+∞)上有且仅有一个根，
当a=2时，φ(t)=−4t3−1,φ(t)=0时，t=−34与t>0矛盾，故不符；
当a>2时，φ(t)的图象开口朝上，且Δ=29(2a−3)(a+6)>0,φ(0)=−1<0，
则φ(t)=0在(0,+∞)上有且仅有一个根恒成立．
当a<2时，φ(t)的对称轴为t=2a3(a−2),Δ=(−2a3)2−4(a2−1)(−1)=29(2a−3)(a+6)，
由φ(0)=−1知，2a3(a−2)>0Δ=0，求得a=−6；
综上，a的取值范围为{−6}∪(2,+∞).
【解析】(1)由题知，f(x1)min≥−g(x2)，设n=2x∈[12,1]，由t≤(n+12n)max，求出t的取值范围即可；
(2)根据条件可知，4x+12x=a⋅2x−1−2a3只有一个解，设t=2x>0,φ(t)=(a2−1)t2−2a3t−1，结合条件，求出a的取值范围．
本题考查了利用不等式能成立和恒成立求参数的取值范围，函数的零点与方程根的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．