江西省鹰潭市贵溪市实验中学2023-2024学年高三下学期新高考模拟检测（六）（4月月考）数学试卷

这是一份江西省鹰潭市贵溪市实验中学2023-2024学年高三下学期新高考模拟检测（六）（4月月考）数学试卷，共15页。试卷主要包含了已知函数在点等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．5D．10
3．已知向量，则（ ）
A．4B．3C．1D．2
4．武汉市第二十三中学“艺术节”举办一场文艺汇演，有6个不同的节目要分配给高一年级的7班、8班、9班、12班4个班级做准备，其中两个班级各分配2个节目，另两个班级各分配1个节目，共有不同的分配方式（ ）
A．1080种B．960种C．180种D．144种
5．等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，构成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件
6．大雁塔是佛塔这种古印度佛教的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔（如图1所示）。2014年，它作为中国、哈萨克斯坦和吉尔吉斯斯坦三国联合申遗“丝绸之路”中的一处遗址点，被列入《世界遗产名录》．大雁塔由塔基、塔身、塔刹三部分组成（如图2所示），全塔通高64.7m．塔基为长方体，高约为4m，长约为48m，宽约为45.5m；塔身近似呈正四棱台，底层边长约为24m，侧面是底角约为81.95°的等腰梯形；塔刹高约4.7m．则大雁塔塔基与塔身的体积之比为（参考数据：）
图1 图2
A．4：7B．5：11C．7：13D．9：16
7．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
8．已知函数在点（位于第四象限）处的切线与轴正半轴，轴负半轴分别交于B、C点，当直线、曲线轴及轴所围成图形的面积取最小值时，（ ）
A．1B．C．2D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．2021年7月至2022年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则以下一定正确的序号为（ ）
备注：，．
A．2021年7月至2022年7月全国居民消费价格环比增长率的极差为1%
B．2021年7月至2022年7月全国居民消费价格同比增长率的中位数与众数相同
C．从同比增长率看，2022年1月与2022年2月全国居民消费价格一定相同
D．从环比增长率看，2022年6月全国居民消费价格与2022年5月全国居民消费价格相同
10．如图所示，已知正方体的棱长为1，点，分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界）．若平面BEF，则（ ）
A．点的轨迹为一条线段B．三棱锥的体积为定值
C．的取值范围是D．直线与所成角的余弦值的最小值为
11．若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，当时，，则（ ）
A．
B．函数的值域为［0，2]
C．直线与函数的图象在区间［0，8]上有4个交点
D．
12．为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为n的样本，定义，i=1，2，…，n，于是，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大。极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大。根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球。今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4：1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的
C．（或1，）
D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，若，则______．
14．双曲线的离心率为2，写出满足条件的一个双曲线的标准方程______．
15．已知顺次连接的三角形与圆总有公共点．则圆半径的取值范围是______．
16．已知函数，则的最大值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
已知的角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，求边．
18．（12分）
已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，为BC的中点．为上的一点，且EH与平面ABCD所成角的正弦值为．
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）试确定的值，并求出平面与平面PAB所成二面角的正弦值．
20．（12分）
第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办。某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛。已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和．其中．
（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望．
21．（12分）
已知F，A分别为椭圆的右焦点和左顶点，D，E分别在椭圆上运动，点分别在直线AD，AE上．
（1）若，求的值；
（2）记，若直线DE过点，求证：．
22．（12分）
已知函数．
（1）判断和的单调性；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
数学参考答案（六）
1．C 集合，联立解得或故．
2．B ，解得．
3．D ，解得．
4．A 首先将6个不同的节目按照2，2，1，1的分组，有，再分配到4个班级，有种方法，所以共有种方法．
5．C 等比数列的公比为，前项和为当时，对任意的，都有，又，，构成等比数列．反过来：对任意的构成等比数列，则必有“”是“对任意的构成等比数列”的充要条件．
6．D 假设塔身为正四棱台，如图，分别为正方形的中心；分别为的中点．在侧面内，过点作的垂线，垂足为，在平面内，过点作的垂线，垂足为．由题意得，，．设，则在中，．易知，所以．又易知，所以在中，，解得．所以，所以．故选D．
7．B 由题意可得抛物线，设，不妨设，设直线的方程为：，联立化为：，则，当且仅当时取等号，的最小值为．
8．A 因为函数表示的抛物线与轴围成的面积为定值，所以直线、曲线轴及轴围成的图形的面积取得最小值，等价于三角形的面积取得最小值．设，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以，所以，所以，令，则，令，得．当时，；当时，．所以当时，取得最小值，此时，所以．故选A．
9．ABD 2021年7月至2022年7月全国居民消费价格环比增长率的极差为，所以A正确，2021年7月至2022年7月全国居民消费价格同比增长率的中位数与众数均为1.5%，所以B正确，从同比增长率看，2022年1月与2022年2月全国居民消费价格同比增长率均为0.9%，但2021年1月与2021年2月全国居民消费价格未知，即不一定相同，所以2022年1月与2022年2月全国居民消费价格不一定相同，所以C错误；从环比增长率看，2022年6月全国居民消费价格增长率为0，所以2022年6月全国居民消费价格与2022年5月全国居民消费价格相同，所以D正确。
10．AB 如图，分别取棱的中点M，N，连接．对于A，由M，N，E，F分别为其所在棱的中点，易证．因为平面平面，所以平面平面．由于是侧面内一点，且平面，故点必在线段上，故A正确．对于B，由于平面BEF，点在线段上，故点无论在线段的什么位置，它到平面的距离都相等．又因为为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确．对于C，易知，当点位于线段的端点或处时，取最大值，最大值为；当点位于线段的中点处时，取最小值，最小值为，所以的取值范围是，故C错误．对于D，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，即．易知当点位于点处时，的余弦值取得最小值．易知，．在中，由余弦定理得，故D错误．故选AB．
11．ABD 因为为偶函数，所以，所以，所以的图象的对称轴为．因为的图象关于点成中心对称，所以，所以，所以，所以的图象关于对称．因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以函数的周期为4，故．因为，所以，故A正确．当时，；当时，．结合对称轴为，可得当时，，结合周期性可知函数的值域为［0，2]，故B正确．根据函数的对称性大致作出函数的图象（图略），可知直线与函数的图象在区间［0，8]上有5个交点，故C错误．因为，，所以，所以，故D正确．
12．BCD 极大似然是一种估计方法，A错误；设鲤鱼和草鱼的比例为，则出现80条鲤鱼，20条草鱼的概率为，设，∴时，时，在上单调递增，在上单调递减，故当时，最大，故B正确；根据题意，（其中或1，），所以（或），可知C正确；．令，解得，且时，时，，故在上递增，在上递减，故达到极大值时，参数的极大似然估计值为，故D正确．
13．1 因为，所以．
14． 由双曲线的离心率为，可得，所以双曲线的一个方程为：．
15． 如图，由已知得三边所在的直线方程分别为：，
，进一步可求得圆心到三个顶点、三边的距离分别为，当
或时，三角形与圆没有公共点，故的取值范围为．
16． ，从而是函数的周期，当时，，则．设，且，则当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，又函数的最大值为．
17．解：（1）由及正弦定理可得：，
即．
（2）由的面积为，得．又，
，整理得．
18．解：（1）数列为等差数列，又
解得．
（2）由（1）可得。
．
19．（1）证明：如图，取的中点，连接．
因为，所以．
又因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以．
又因为分别为的中点，所以．
在中，，则，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面ABCD．
（2）解：如图，连接．
因为为等边三角形，为的中点，
所以．所以．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，则．
因为为上的一点，所以设，所以，
所以．
易知平面的一个法向量为，所以由EH与平面ABCD所成角的正弦值为，得．
整理得，解得或（舍去），所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
则即令，则，
所以平面的一个法向量为．
显然平面的一个法向量为．
设平面与平面所成的二面角为，
则，所以．
所以平面EAC与平面PAB所成二面角的正弦值为．
20．解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为；
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；
因为，所以，
所以，即甲进入决赛的可能性最大．
（2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则，
整理得，解得或，由，所以．
所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为，两轮中均获胜的概率为：．
进入决赛的人数的可能取值为：0，1，2，3，
所以．
．
．
．
所以的分布列为：
所以．
21．（1）解：因为，所以，所以，
设，而，则，解得，
将其代入，解得．
（2）证明：设，若，则为椭圆的右顶点，
由直线过点知，为椭圆的左顶点，不符合题意，所以，
同理，直线AM的方程为，
联立椭圆得消去，整理得，
成立，
由，解得，
所以，所以，同理．
当时，，即直线轴，
由椭圆的对称性可得，
又因为，所以．
当时，，直线FD的斜率，
同理，因为DE过点，所以，所以．
在和中，
，
所以，因为均为锐角，所以，
综上所述，若直线DE过点，则．
22．解：（1）因为，所以．
当a≤0时，恒成立，所以f（x）在R上单调递减；
当时，由得
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以．
令，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，所以在上单调递减．
（2）因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，
等价于对任意恒成立．
令，则．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
因为，
所以存在，使得．
当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．
所以存在两个极小值．
因为分别为的两根，所以的，所以，
所以．
同理可得，所以．
故实数的取值范围是．
0
1
2
3