江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷(解析版)

这是一份江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式，得或，于是，，
由，得，解得，则，
所以.故选：B
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】由，
则，的虚部为2.故选：D.
3. 双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，不妨设，则，
依题意，，因点在双曲线上，故有，
于是，.
故选：B.
4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
【答案】C
【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.故选：C.
5. 质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7……，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数有对组合，
在不超过20的正整数中有共个数，
所以，
所以任取两个素数共有个对组合，
其中是“孪生素数”有，，，共对，
所以这两个数不是孪生素数的共有对，
所以，所以.
故选：A
6. 在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A. 4B. C. 3D.
【答案】A
【解析】如图，设的外心为，则点是的中点，
由，
因，故,而，
故当且仅当与同向时取等号.故选：A.
7. 第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：
，
因为是10的倍数，
所以，换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，
由可得，末尾数字为5.
故选：C
8. 已知函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A. 有且只有一个极值点B. 在上单调递增
C. 存在实数，使得D. 有最小值
【答案】C
【解析】由得，令，
则函数可以看作为函数与函数的复合函数，
因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，，
由得，
列表如下：
由表知，在上单调递减，在上单调递增，
在时，取得极小值（最小值），
所以在上单调递增，即B正确；
在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.
故选：C.
二、多项选择题
9. 下列说法中，正确是（ ）
A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12
B. 两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则
【答案】BC
【解析】A选项，，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即，A错误；
B选项，，，
因为，（），
故，
故，
，
故，B正确；
C选项，因为，，
关于对称，所以，C正确；
D选项，由题意得，整理得，D错误.
故选：BC
10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C.
D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A，因为为偶函数，可得：，
即，∴，即，故选项A正确；
对于选项B，因为为偶函数，所以为奇函数，且
，则的图象关于点对称，故选项B正确；
对于选项C，为偶函数，其导函数为奇函数，可得：，即，
得，
所以，即，
则，可知的周期为4，
故选项C错误；
对于选项D，因为为奇函数，
将代入，得，得，
因为为偶函数，可得：关于对称，
由且关于对称，知，
又的周期为4，可得（），
选项C中有等式，即，
则有（）成立，
∴，故选项D正确；故选：ABD.
11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）

A.
B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为3
C. 点到直线的距离是
D. 直线与平面所成角正弦值的最大值为
【答案】BD
【解析】对于A项，因为
，
所以，故A项错误；
对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，
设点，使，，
则，故，
则，
因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，
故B项正确；
对于C项，又，则，，
故得：，，
则点到直线的距离为：，故C项错误；
对于D项，设平面的一个法向量为，
所以，取，所以
由，则，
由，
又，当且仅当时，取等号
知，D项正确.
故选：BD
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题
12. 已知，且，则______.
【答案】
【解析】因为，所以，又，
所以，
所以
.
故答案为：
13. 设数列的前项和为，，，，则______.
【答案】（）
【解析】因为，当时，，
两式相减可得，即，
所以，又，所以，
所以，所以，且也符合上式，
所以，所以，.
故答案为：（）
14. 已知抛物线：，定点，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，，，是切点，则面积的最小值为______.
【答案】
【解析】设，的斜率分别为，且，过点M的切线方程为，联立，
解得，
所以，即，
所以，
设切点，由导数几何意义知，
所以，，
所以直线，即：且，
所以：，
直线恒过定点，其到的距离为1，联立，
得，∴，，
即，
∴，故答案为：.
四、解答题
15. 的内角的对边分别为，，，满足.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，
当且仅当时，等号成立，所以取最小值
16. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，，，底面为等边三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：取，的中点为，，连接，，，
由于侧面为矩形，所以，∵，∴，
由于底面为等边三角形，所以，，，平面，
所以平面，
由于，，故四边形为平行四边形，
故平面，故，
又是中点，所以，
由于，，所以，，
又，所以，
由于，，
故为的平面角，
由于，所以，
故平面平面；
（2）解：由于，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，
由于平面的法向量为，故
故平面与平面的夹角的余弦值为.
17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

单位：次
（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）附：，其中.
解：（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
计算可得，
依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，
易知的可能取值为，，，，，
，
，
，，
则的分布列为
修复费用的期望，
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.
18. 设椭圆：（）经过点，且离心率，直线：垂直轴交轴于，过的直线交椭圆于，两点，连接，，.

（1）求椭圆的方程：
（2）设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）如图：过作轴的垂线，过作的平行线分别交，于，，求的值.
解：（1）由题意知：，
即，，
所以椭圆的方程为；

（2）方法一：（ⅰ）易知，，，，
设直线的方程为，由直线过知，
联立方程，
得，
变形得：，即.
（ⅱ）设直线，的倾斜角分别为，，则，，
，，，
在中，
所以
由知，即，故.
方法二：（ⅰ）易知，，，，
设，，直线的方程为，
则……（*）
联立方程，得，
∴，……（1）
将（1）式代入（*）得：
（ⅱ）由（ⅰ）知，
：即……（2）
：即……（3）
联立（2），（3）得，即
∴
即为的中点，故
19. “让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.
（1）证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；
（2）已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：
（3）求证：.
（1）解：当时，，则，当时，，
当时，我们需证，
设，，
注意到，，
令得，即，
令，则，
所以在单调递增，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即恒成立，
.不等式对，成立，得证，
不等式取等号的条件是，或.
（2）证明：当时，原不等式即，显然成立，
当时，构造数列，
，
则，
若（），
由上式易得，即；
若（），
则，
所以，
故，
即此时也成立，
所以当时，，
由于，
所以（），
故原不等式成立.
（3）证明：要证，
只需证
由（2）知
又
∴，
得证.
－
0
＋
材料
材料
合计
试验成功
试验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3841
6.635
7.879
10.828
材料
材料
合计
试验成功
45
30
75
试验失败
5
20
25
合计
50
50
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8