江西省贵溪市实验中学2024届高三双向达标月考调研数学试题（三）

这是一份江西省贵溪市实验中学2024届高三双向达标月考调研数学试题（三），共18页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试范围：三角函数、解三角形、平面向量（月考一和月考二占30%，月考三占70%）.
2．全卷满分150分.考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集和补集运算求解.
【详解】解：，且，
则，，又，
当时，，当时，，
当时，当时，，当时，，
则
又 ，
所以，
故选：D
2. 中，，，为线段上任一点，则（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由，为线段上任一点，可知，则可由向量的数量积公式直接计算出结果.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由得到，用换底公式把写出以18为底的对数，即可分解.
【详解】由，，
所以，，
所以.
故选：C.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点即可排除选项求解.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，故排除C,D,
又，所以排除B,
故选：A
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦的和差角公式可得，平方可得，进而化切为弦即可求解.
【详解】由，则，即，
所以，则，
故.
故选：A.
6. 已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量数量积与模长的关系结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可.
【详解】设向量的夹角为θ，因为，所以，
则，即恒成立.
所以，解得，
故的夹角的取值范围是.
故选：A.
7. 已知锐角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的定义求，然后利用倍角公式及诱导公式化简得，代入即可.
【详解】由已知得，
由为锐角可得，
.
故选：B.
8. 如图，某同学到野外进行实践，测量鱼塘两侧的两棵大榕树A，B之间的距离．从B处沿直线走了到达C处，测得，，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合正弦定理即可得到结果.
【详解】由题意可得，，且，，则，
所以，，
在中，由正弦定理可得，
即，解得.
故选:A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A将两边平方即可；对于B举反例即可；对于C作差通分即可；对于D用基本不等式即可.
【详解】由可知，所以A项正确；
当时，不成立，B项错误；
由0得，所以，所以，C项正确；
1)，
当且仅当，即当时取得等号，D项正确．
故选：ACD．
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数最小正周期为
B. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称
C. 函数的一个对称中心为
D. 函数在区间上单调递减
【答案】AD
【解析】
分析】由辅助角公式得，由正弦型函数性质求最小正周期、代入判断对称中心、整体法判断区间单调性，根据图象平移写出解析式判断奇偶性，即可知各项正误.
【详解】，最小正周期，A对；
，显然不关于轴对称，B错；
，故的一个对称中心为，C错；
由上，，根据正弦型函数性质知：递减，
所以在区间上单调递减，D对.
故选：AD
11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上单调递增D. 在上有且仅有四个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图象求得，然后根据三角函数的最值、单调性、零点等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，，
所以，
，所以，
，
由于，所以，A选项错误.
所以，
当时，，所以，B选项正确.
当时，，
所以在上单调递减，C选项错误.
当时，，
所以当时，，
即在上有且仅有四个零点，D选项正确.
故选：BD
12. 已知向量，是单位向量，且，则以下结论正确的是（ ）．
A. 若，则B.
C. 向量，的夹角为D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】举出特例可判断A；根据向量的模的计算可判断B；根据向量的夹角的计算可判断C；根据投影向量的含义求得向量在向量上的投影向量判断D.
【详解】对于A，若，则时，也有，故A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，而，故，C错误；
对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确，
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，若，则实数a＝___.
【答案】
【解析】
【详解】，由，得，解得.
14. 在中，角所对边分别为 ，，且的面积为，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积可得，利用余弦定理，即可得出答案．
【详解】，，故，解得，
又，则．
故答案为：．
15. 已知函数，若，，，则的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据辅助角公式得到，求出，从而得到，，结合诱导公式，同角三角函数关系及正切二倍角公式求出答案.
【详解】根据题意，.
因为，，，所以，
所以，.
所以，，
所以.
故.
故答案为：
16. 已知、为单位向量，当与夹角最大时，=______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】方法一：利用向量夹角公式，结合换元法及求二次函数最值分析求解即可得；
方法二：画图分析即可.
【详解】方法一：设的夹角为，
则
，
令，则，
当取最小值时，两向量与夹角最大，
所以当，即时，两向量与夹角最大，
此时.
故答案为：.
方法二：由图所示：
可知与夹角最大为，所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.
（1）用表示向量；
（2）若点F在AC上，且，求AF∶CF.
【答案】（1）.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；
（2）设＝λ(0＜λ＜1)，由向量线性运算用表示出，再与已知比较求得后即可得．
【小问1详解】
因为＝－＝，点D是AC的中点，
所以＝＝()，
因为点E是BD的中点，
所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.
【小问2详解】
设＝λ(0＜λ＜1)，
所以＝＋＝＋λ＝，.
又＝，所以λ＝，
所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.
18. 记△的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换和正、余弦定理得，整理化简得到，即证；
（2）先利用余弦定理求出，即可求△的面积．
【小问1详解】
由题意得，
即，
由正、余弦定理得：，
整理得：，即.
又，所以，所以．
【小问2详解】
由（1）得，由得，
由余弦定理得，
即，所以，
所以△的面积．
19. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的单调递减区间为.
(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知有唯一解，的值域为,故.
【小问1详解】


，
函数的单调递减区间满足：，
解得的单调递减区间为.
【小问2详解】
，所以，
在上有唯一解，
，或，
所以有唯一解,的值域为.
所以，即.
20. 已知函数为偶函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数零点的个数．
【答案】（1）
（2）一个零点
【解析】
【分析】（1）由求得的值.
（2）先求得解析式，由进行整理，利用换元法以及二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
因为函数为偶函数，
所以即，
整理得，
则，解得.
【小问2详解】
由（1）知，
所以
，
则函数的零点的个数等价于方程根的个数，
即方程根的个数，
令，则转化为方程根的个数，
而方程的根为，，
所以函数有一个零点．
【点睛】利用函数的奇偶性求参数，关键点在于利用好函数的奇偶性，即函数是奇函数时，有，函数是偶函数时，有.
21. 如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
（1）当时，求OP的长；
（2）当面积最大时，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长；
（2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值.
【小问1详解】
由题意，
在中，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
在中，，，
由正弦定理，
，
解得：
【小问2详解】
由题意及（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，
，
即，
即，
∴，当且仅当时，等号成立，
又，
∴当且仅当时，的面积最大，此时，
∴．
22. 已知函数的图象在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值．（参考数据：）
【答案】（1），；
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，利用导数的几何意义求解作答.
（2）利用导数求出函数在区间上的最小值取值范围，再结合恒成立的不等式即可作答.
【小问1详解】
函数，求导得：，
因为函数的图象在处的切线方程为，则，解得，
当时，，则，解得，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，，令，，
在上单调递增，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
于是存在，使得，
当或时，，当时，，
即有函数在上单调递增，在上单调递减，而，，
显然函数在上的最小值为与中最小的，由得，
因此，函数图象对称轴，显然，以下比较到的距离大小：
若，则有，，，
若，则，
从而函数在上，
当时，有，即，显然，
综上，函数在上的最小值在区间内，对于任意恒成立，则有，
所以整数的最大值为3.
【点睛】结论点睛：恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.