2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2,3}，B={−1,0,1,2,3}，则A∪B=( )
A. {1,2}B. {−1,0,1,2,3}C. {0,1,2,3}D. {1,2,3}
2.函数f(x)=ln(x−1)+1x−2的定义域为( )
A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (1,2)∪(2,+∞)D. (1,2)
3.若角α的终边经过点P(m,2)(m≠0)，则( )
A. sinα>0B. sinα<0C. csα>0D. csα<0
4.关于x的不等式x2−ax−b≤0的解集是[−2,4]，那么lgab=( )
A. 1B. 3C. 2D. 13
5.设a>0且a≠1，“函数f(x)=(3−a)x+1在R上是减函数”是“函数g(x)=ax在R上是增函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.函数y=e2−x2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.为了得到函数y=3sin(2x+2π3)的图象，只要把函数y=3sin(2x+π6)图象上所有的点( )
A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π2个单位长度
C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度
8.已知函数f(x)=−x2+ax+1,x<0sin(ax+π3),0≤x≤π有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是( )
A. [23,53)B. [53,83)C. [83,113)D. [83,113]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列化简或者运算正确的是( )
A. lg5+lg2=1B. a23⋅a12=a76(a>0)
C. x−13=−3x(x>0)D. 2lg23=3
10.用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数y=f(x)描述正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期是π
B. 函数f(x)的图象关于点(5π6,0)对称
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π3对称
D. 函数f(x)与g(x)=−2cs(2x+π3)+1表示同一函数
11.定义在D上的函数f(x)，如果满足：存在常数M>0，对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有( )
A. y=2sin(2x+π3)
B. y=2x
C. y=x2+1x
D. y=x−[x]([x]表示不大于x的最大整数)
12.已知函数f(x)满足：∀x1，x2∈R，都有|f(x1)+f(x2)|≤|sinx1+sinx2|成立，则下列结论正确的是( )
A. f(0)=0
B. 函数y=f(x)是偶函数
C. 函数y=f(x)是周期函数
D. g(x)=f(x)−sinx，x∈(−1,1)，若−1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为__________.
14.函数f(x)=2x+2x−7的零点所在的区间为(k,k+1)，则正整数k的值为______.
15.若函数f(x)=lnx+a2−x+b是奇函数，则a+b=______.
16.已知正数x，y满足x+3y−1x−3y=6，则x+3y的最小值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|1−2a≤x≤a+2}.
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B=B，求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
已知sin(π2+α)cs(π2−α)=18，且0<α<π4.
(1)求csα+sinα的值；
(2)求1−tanα1+tanα的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=|lgx−1|.
(1)解关于x的不等式：f(x)<1；
(2)若f(a)=f(b)(a≠b)，求1a+4b的最小值.
20.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的函数，满足：f(−x)+f(x)=0，f(−x)=f(2+x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x.
(1)求f(52)的值；
(2)当x∈[−1,0]时，求f(x)的表达式；
(3)若函数f(x)在区间[a,b](a21.(本小题12分)
如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以P为起始点，在以O为圆心，半径为2(单位：10米)，按顺时针旋转且转速为π4rad/s(相对于O点转轴的速度)的圆周上，点O到地面的距离为a，且a>3(单位：10米)，点Q在以P为圆心，半径为1(单位：10米)的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系xOy.
(1)求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
(2)若t∈[0,8]时，圆周上存在4个不同点P，使得2OQ=PH成立，求实数a的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=mx+1+1，g(x)=x2+a(x+1).
(1)函数g(x)在[−2,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当m=0时，对任意x∈[1,+∞),关于x的不等式f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当m<0，a<0时，若点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)均为函数y=f(x)与函数y=g(x)图象的公共点，且x1≠x2，求证：−2答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为集合A={0,1,2,3}，B={−1,0,1,2,3}，
则A∪B={−1,0,1,2,3}.
故选：B.
由已知结合集合的并集运算即可求解．
本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：f(x)=ln(x−1)+1x−2，
则x−1>0x−2≠0，解得x>1且x≠2，
故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,+∞).
故选：C.
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
3.【答案】A
【解析】解：因为角α的终边经过点P(m,2)(m≠0)，
所以sinα=2 m2+22>0，故A正确，B错误；
又csα=m m2+22，
所以{cs⁡α>0,m>0时sin⁡α<0,m<0时，故CD错误．
故选：A.
由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为关于x的不等式x2−ax−b≤0的解集是[−2,4]，
所以x2−ax−b=0的解为x−2，x=4，
故−2+4=a−2×4=−b，解得a=2，b=8，
那么lgab=lg28=3.
故选：B.
结合二次不等式与二次方程的关系可求a，b，然后结合对数的运算即可求解．
本题主要考查了二次方程与二次方程关系的转化，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设a>0且a≠1，“函数f(x)=(3−a)x+1在R上是减函数”⇒3−a<0⇒a>3⇒“函数g(x)=ax在R上是增函数”，即充分性成立；
反之，若函数g(x)=ax在R上是增函数，不妨令a=2，则函数f(x)=(3−2)x+1=x+1在R上是增函数，即必要性不成立．
故选：A.
利用充分条件与必要条件的概念判断即可．
本题考查函数单调性的性质与判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：函数y=e2−x2的定义域为R，
f(−x)=e2−(−x)2=e2−x2=f(x)，函数为偶函数，故排除A，C，
令t=2−x2≤2，y=et，
可得函数值域为(0,e2],排除B.
故选：D.
求得函数的定义域和函数的值域、函数的奇偶性，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，注意运用函数的值域和奇偶性，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：为了得到函数y=3sin(2x+2π3)的图象，只要把函数y=3sin(2x+π6)图象上所有的点向左平移π4个单位长度即可得到．
故选：C.
直接利用函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=−x2+ax+1,x<0sin(ax+π3),0≤x≤π，
当x<0时，f(x)=−x2+ax+1=−(x−a2)2+a24+1，开口向下，对称轴为x=a2>0，故在x<0时，函数有一个零点；
当x≥0时，f(x)=sin(ax+π3)，ax+π3≥π3，
故函数f(x)=−x2+ax+1,x<0sin(ax+π3),0≤x≤π有且仅有3个零点，
即当x≥0时，f(x)=sin(ax+π3)有两个零点，
故需：π≤aπ+π3<2π，解得23≤a<53.
故选：A.
根据已知条件分段求解零点个数，即可求解结论．
本题主要考查函数的零点和方程的根之间的关系，考查计算能力和转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据对数的运算性质可知，lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=1，A正确；
根据指数幂的运算性质可知，a23⋅a12=a(23+12)=a76，B正确；
根据分数指数幂的意义可知，x−13=13x，C错误；
根据对数恒等式可知，2lg23=3，D正确．
故选：ABD.
结合对数的运算性质检验选项AD，结合指数幂的运算检验选项B，C.
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由题意得，A+B=3B=1，即A=2，B=1，
由表格可知，T2=5π6−π3=π2，
因为2×π3+φ=π2，即φ=−π6，
所以T=π，ω=2，f(x)=2sin(2x−π6)+1，A正确；
当x=5π6时，2×5π6−π6=3π2，即(5π6,0)不是函数的对称中心，B错误；
当x=π3时，2×π3−π6=π2，此时f(x)取得最大值，即x=π3为函数的一条对称轴，C正确；
因为f(x)=2sin(2x−π6)+1=2sin(2x+π3−π2)+1=−2cs(2x+π3)+1，D符合题意．
故选：ACD.
结合五点作图法可分别求出A，B，ω，φ，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可．
本题主要考查了五点作图法在函数y=Asin(ωx+φ)的解析式求解中的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：因为|2sin(2x+π3)|≤2，故存在M=2使得|f(x)|≤2成立，A符合题意；
因为y=2x>0恒成立，且随着x的增大，y=2x→+∞，
故不存在M，使得对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，B不符合题意；
因为|y|=|x2+1x|=|x+1x|≥2，x→+∞时，|f(x)|→+∞，故不存在M，使得对任意x∈D，都有|f(x)|≤M成立，C不符合题意；
因为y=x−[x]=⋯⋯x+1,−1≤x<0x,0≤x<1x−1,1≤x<2⋯⋯，其图象如图所示，
故0≤f(x)<1，
故存在实数M=1，使得|f(x)|≤M成立，D正确．
故选：AD.
结合函数的性质，分析各选项中函数的值域，结合已知定义即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数值域的求解，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：令x1=x2=0，则|f(x1)+f(x2)|=|2f(0)|≤0，所以f(0)=0，故A正确；
令x2=−x1，则|f(x1)+f(x2)|=|f(x1)+f(−x1)|≤|sinx1+sin(−x1)|=0，
所以f(x1)+f(−x1)=0，
故y=f(x)是奇函数，即B错误；
令x2=x+2π，x1=−x，则|f(−x)+f(x+2π)|≤|sin(−x)+sin(x+2π)|=0，
所以f(−x)+f(x+2π)=0，f(x+2π)=−f(−x)，
由B可知y=f(x)是奇函数，
所以f(x+2π)=−f(−x)=f(x)，
所以y=f(x)是周期函数，故C正确；
当−1则|f(x1)+f(−x2)|≤|sinx1−sinx2|=sinx2−sinx1，
所以sinx1−sinx2≤f(x1)−f(x2)≤sinx2−sinx1，
即f(x1)−sinx1≥f(x2)−sinx2，故D正确．
故选：ACD.
利用赋值法及函数奇偶性、周期性的定义、单调性一一判断选项即可．
本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性及周期性，属于中档题．
13.【答案】36cm2
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
由题意直接利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由题意得，S=12αr2=12×2×36=36cm2，
故答案为：36cm2.
14.【答案】1
【解析】解：显然f(x)=2x+2x−7是增函数，
所以要使f(x)零点所在的区间为(k,k+1)，
只需f(k)<0f(k+1)>0即可，因为f(1)=−3<0，f(2)=1>0，
所以该函数零点所在区间为(1,2)，
即k=1.
故答案为：1.
利用该函数的单调性结合零点存在性定理求解．
本题考查函数零点的存在性定理，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：由x+a2−x>0可得(x+a)(x−2)<0，
因为f(x)=lnx+a2−x+b是奇函数，
则定义域关于原点对称，则a=2，f(x)=lnx+22−x+b，
所以f(−x)+f(x)=ln−x+22+x+lnx+22−x+2b=0，
即ln(2−x)(2+x)(2+x)(2−x)+2b=2b=0，
所以b=0，
所以a+b=2.
故答案为：2.
先根据奇函数的定义关于原点对称求出a，然后结合奇函数的定义可求b，进而可求a+b.
本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．
16.【答案】8
【解析】解：令t=x+3y，
因为正数x，y满足x+3y−1x−3y=6，
所以x+3y=6+1t(1x+3y)(x+3y)=6+1t(10+3yx+3xy)≥6+1t(10+2 3yx⋅3xy)=6+16t，
当且仅当x=y=2时取等号，
所以t≥6+16t，
解得t≥8(舍负)，
则x+3y的最小值为8.
故答案为：8.
由已知令t=x+3y，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为集合A={x|1≤x≤3}，B={x|1−2a≤x≤a+2}.
若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，
所以1−2a≤a+21−2a≤1a+2≥3，解得，a≥1，
故实数a的取值范围为{a|a≥1}；
(2)若A∩B=B，则B⊆A，
当B=⌀时，1−2a>a+2，即a<−13，
当B≠⌀时，1−2a≤2+a1−2a≥1a+2≤3，解得−13≤a≤0，
故实数a的取值范围为{a|a≤0}.
【解析】(1)若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，然后结合集合的包含关系即可求解；
(2)若A∩B=B，则B⊆A，然后结合集合的包含关系即可求解．
本题主要考查了集合的包含关系的应用，还考查了集合的交集运算，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为sin(π2+α)cs(π2−α)=18，
所以csαsinα=18，
(csα+sinα)2=cs2α+sin2α+2csαsinα=1+2×18=54，
又0<α<π4，
所以csα+sinα= 52.
(2)由(1)得csαsinα=18，
(csα−sinα)2=cs2α+sin2α−2csαsinα=1−2×18=34，
因为0<α<π4，
所以csα>sinα，csα−sinα= 32，
1−tanα1+tanα=1−sinαcsα1+sinαcsα=csα−sinαcsα+sinα= 32 52= 155.
【解析】(1)由(csα+sinα)2=cs2α+sin2α+2csαsinα可求解；
(2)利用tanα=sinαcsα，可得1−tanα1+tanα=csα−sinαcsα+sinα，进而可求解．
本题考查同角三角函数的关系、考查诱导公式，是基础题．
19.【答案】解：(1)由题意可得|lgx−1|<1，即−1可得0解得1所以不等式的解集为(1,100)；
(2)设a因为函数在(0,10)上单调递减，在(10,+∞)单调递增，
要使f(a)=f(b)，即|lga−1|=|lgb−1|，
即1−lga=lgb−1，即lga+lgb=2，可得ab=100，
且a>0，b>0，
所以1a+4b=b+4aab=1100(b+4a)≥1100⋅2 4ab=1100⋅2 4×100=25，当且仅当b=4a，即a=5，b=20时取等号，
即1a+4b的最小值为25.
【解析】(1)不等式整理可得−1(2)由函数的性质可得1−lga=lgb−1，进而可得ab=100，进而可得1a+4b的最小值．
本题考查对数函数的性质的应用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)是定义在R上的函数，且f(−x)+f(x)=0，
∴f(x)是奇函数，又−f(x)=f(−x)=f(2+x)，①
∴f(x+4)=−f(2+x)=f(x)，
∴f(x)是以4为周期的函数，又当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x，
∴f(52)=−f(12)=−34；
(2)当x∈[−1,0]时，−x∈[0,1]，
∴f(x)=−f(−x)=−[(−x)2−x]=x−x2；
(3)由①知，f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)是奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x在[0,1]上单调递增，
∴f(x)在[−1,1]上单调递增，又f(x)是以4为周期的函数，
∴f(x)的图象如下图：
若函数f(x)在区间[a,b](a[a,b]⊆[−1,1]，且f(x)在区间[a,b](a①若−1≤a则a−a2=2ab−b2=2b，解得a=−1，b=0，a+b=−1；
②若−1≤a<0≤b≤1，
则a−a2=2ab+b2=2b，解得a=−1，b=0或1，a+b=−1或0；
③若0≤a则a+a2=2ab+b2=2b，解得a=0，b=1，a+b=1；
a+b=0或±1.
【解析】(1)依题意，可得f(52)=−f(12)，结合当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x可求得答案；
(2)当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x，利用奇函数的性质即可求得当x∈[−1,0]时，求f(x)的表达式；
(3)由题意，知[a,b]⊆[−1,1]，且f(x)在区间[a,b](a本题考查分段函数解析式的求法，考查二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键，属于难题．
21.【答案】解：(1)由题意及三角函数的定义可知yP=2sin(π2−π4t)，
所以PH=yP+a=a+2cs(π4t)(单位：10 米)；
(2)根据题意可知Q(2cs(π2−π4t),2cs(π4t)+1)，
即Q(2sin(π4t),2cs(π4t)+1)，
则OQ= (2cs(π4t)+1)2+4sin2(π4t)= 5+4cs(π4t)，
因为2OQ=PH，所以2 5+4cs(π4t)=a+2cs(π4t)，
即4cs2(π4t)+(4a−16)cs(π4t)+a2−20=0，令cs(π4t)=m，
因为t∈[0,8]，所以π4t∈[0,2π]，则m∈[−1,1]，
上式可化为4m2+(4a−16)m+a2−20=0，
设f(m)=4m2+(4a−16)m+a2−20，m∈[−1,1]，
因为t∈[0,8]时，圆周上存在4个不同点P，使得2OQ=PH成立，
则f(m)=0在(−1,1)上有两个相异实数根，
即{Δ=(4a−16)2−16(a2−20)>0−1<16−4a8<1f(−1)>0f(1)>0a>3∴{a<9224或a<0a>4或a<−8a>3，解之得a∈(4,92).
【解析】(1)利用三角函数的定义与性质计算即可；(2)利用两点的距离公式计算OQ，由2OQ=PH，根据三角函数的有界性换元转化为二次函数根的分布计算即可．
本题考查三角函数的应用，考查函数与方程的关系，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由函数g(x)=x2+a(x+1)，
可得y=g(x)的图象开口向上，且对称轴为x=−a2，
因为函数g(x)在[−2,+∞)上单调递增，所以−a2≤−2，解得a≥4，
所以实数a的取值范围[4,+∞).
(2)当m=0时，可得f(x)=1，g(x)=x2+a(x+1)，
因为任意x∈[1,+∞),关于x的不等式f(x)≤g(x)恒成立，
即x2+a(x+1)≥1在x∈[1,+∞)恒成立，即a≥1−x2x+1=1−x在x∈[1,+∞)恒成立，
当x∈[1,+∞)时，1−x的最大值为0，所以a≥0，
所以实数a的取值范围[0,+∞).
(3)证明：由f(x)=g(x)，可得mx+1+1=x2+a(x+1)，
则x3+(a+1)x2+(2a−1)x+a−m−1=0(x≠−1)，
因为点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)均为函数y=f(x)与y=g(x)图象的公共点，且x1≠x2，
所以x13+(a+1)x12+(2a−1)x1+a−m−1=0,x23+(a+1)x22+(2a−1)x2+a−m−1=0，
两式相减，得x23−x13+(a+1)(x22−x12)+(2a−1)(x2−x1)=0，
因为x1≠x2，所以x22+x1x2+x12+(a+1)(x2+x1)+2a−1=0，
所以(x1+x2)2+(a+1)(x2+x1)+2a−1=x1x2<(x1+x2)24，
令t=x1+x2，则t2+(a+1)t+2a−1所以34t2+(a+1)t+2a−1<0，解得−2所以−2【解析】(1)根据条件，结合二次函数的性质，得到不等式−a2≤−2，再求出a的取值范围即可；
(2)将问题转化为a≥1−x2x+1=1−x在x∈[1,+∞)恒成立，求得1−x的最大值，再求出a的取值范围；
(3)由f(x)=g(x)，得到方程x3+(a+1)x2+(2a−1)x+a−m−1=0(x≠−1)，根据题意，得到(x1+x2)2+(a+1)(x2+x1)+2a−1=x1x2<(x1+x2)24，令t=x1+x2，再证明不等式成立即可．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，利用函数的单调性求参数的取值范围，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
a
π3
b
5π6
c
f(x)
1
3
1
d
1