2023-2024学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|x>1}，B={x|−2A. (−2,1)B. (−2,1]C. (−∞,2)D. (−∞,2]
2.已知幂函数f(x)=xa，且f(3)=27，则f(2)=( )
A. −8B. −9C. 8D. 9
3.“x>1”是“|x−1|>1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=csx⋅ex+1ex−1的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知角α的终边过点(1,2)，则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cs(−α)的值为( )
A. 55B. 2 55C. −2D. −2 55
6.已知函数f(x)=lg12(−x2+4x−3)，则f(x)的单调递减区间为( )
A. [2,3)B. (−∞,2]C. (1,2]D. [2,+∞)
7.化简sin140∘(tan10∘− 3)，得( )
A. − 32B. − 2C. −1D. −12
8.若关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不同的实数解，则k的取值范围为 ( )
A. (0,1)B. 14,1C. 14,+∞D. (1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知全集为U，则下图阴影部分表示正确的为( )
A. ∁A(A∩B)
B. (∁UA)∩(∁UB)
C. (∁UB)∩A
D. ∁U(A∩B)
10.若正实数x，y满足x+2y=1，则( )
A. xy的最大值为18B. 2x+1y的最小值为9
C. x2+4y2的最小值为1D. x+ 2y的最大值为 2
11.已知函数f(x)=12cs(2x−π3)，把y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，以下说法正确的是( )
A. x=π6是y=f(x)图象的一条对称轴
B. f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)
C. y=g(x)的图象关于原点对称
D. f(x)+g(x)的最大值为12
12.已知函数f(x)=|x|,x≤1,3−2x,x>1.则下列说法正确的是( )
A. 不等式f(x)>x+1的解集为(−∞,−12)
B. 当x∈(12,32)时，f(x)的取值范围为(12,1]
C. 若关于x的方程f(x)=t有三个不同实数根x1，x2，x3，则1D. 令g(x)=f2(x)−f(x)+c，不存在常数c，使得g(x)恰有5个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题“∃x∈R，x+2≤0”的否定是__________.
14.写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)=______.
①f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)，②当x>0时，f(x)>1
15.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20−79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过______小时，才能驾驶？(结果精确到0.1h)(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
16.已知f(x)=ax−1，g(x)=x2+bx−5(a>0,b∈R).当a=2时，f(x)=g(x)的两根为x1，x2，则|x1−x2|的最小值为______；当x>0时，f(x)⋅g(x)≥0恒成立，则b+3a的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A={x|−1(1)求A∪B；
(2)若A∩C=⌀，求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+bx−1(a,b∈R).
(1)若不等式f(x)>0的解集是{x|1(2)当b=3时，若不等式f(x)<0对一切实数x恒成立，求a的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sinxcsx+sin2x−12.
(1)当x∈(π4,7π12)时，求f(x)的取值范围；
(2)若x0∈(π4,7π12)且f(x0)=13，求cs2x0的值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R上的奇函数.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性；
(3)对任意t∈[1,e]，关于t的不等式f[(lnt)2−ln(et2)]+f(k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
21.(本小题12分)
如图，已知直线l1//l2，A是l1，l2之间的一个定点，过点A作直线l垂直于l1，l2且分别交于点E，D，AD=2，AE=1.B是直线l2上的一个动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C.设∠ABD=α，α∈[π6,π3].
(1)设△ABD的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1+S2的最小值；
(2)若△ABC的外接圆面积不超过5π2，求角α的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数y=f(x)，若对于其定义域D中任意给定的实数x，都有f(x)+f(1x)=0，就称函数y=f(x)满足性质P.
(1)已知f(x)=2x+1，判断y=f(x)是否满足性质P，并说明理由；
(2)若y=f(x)满足性质P，且定义域为(0,+∞).
①已知x∈(0,1)时，f(x)=lg3x−3x2，求函数f(x)的解析式并指出方程f(x)=255是否有正整数解？请说明理由；
②若f(x)在(0,1)上单调递增，证明：f(x)在(1,+∞)上单调递增.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A={x|x>1}，
所以∁RA={x|x≤1}，
因为B={x|−2则(∁RA)∩B={x|−2故选：B.
与已知结合集合的补集及交集运算即可求解．
本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：幂函数f(x)=xa，且f(3)=27，
则3a=27，解a=3，
故f(x)=x3，
f(2)=23=8.
故选：C.
先求出幂函数的解析式，再将x=2代入该解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为|x−1|>1，所以x>2或x<0，所以“x>1”是“|x−1|>1”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
先解出|x−1|>1的解集，然后即可判断结果．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=cs(−x)⋅e−x+1e−x−1=csx⋅1+ex1−ex=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除A，D，
当00，ex+1ex−1>0，则f(x)>0，排除C，
故选：B.
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：角α的终边过点(1,2)，
则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cs(−α)=csα⋅(−sinα)−tanα⋅csα=csα=1 12+22= 55.
故选：A.
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，设t=−x2+4x−3，则y=lg12t，
有t=−x2+4x−3>0，解可得1在区间(1,2]上，t=−x2+4x−3为增函数，区间(2,3)上，t=−x2+4x−3为减函数，
y=lg12t在(0,+∞)上为减函数，
则f(x)的单调递减区间为(1,2].
故选：C.
根据题意，设t=−x2+4x−3，则y=lg12t，结合复合函数单调性的判断方法分析可得答案．
本题复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：sin140∘(tan10∘− 3)=sin40∘(sin10∘cs10∘− 3)
=sin40∘(sin10∘− 3cs10∘)cs10∘=2sin40∘(−sin50∘)cs10∘=−−2sin40∘cs40∘sin80∘=−sin80∘sin80∘=−1.
故选：C.
由已知结合同角基本关系及和差角公式，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式，辅助角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
欲使方程|x|x+4=kx2有四个不同的实数解，当x=0时，是方程的1个根，则只要方程|x|x+4=kx2有3个不同的实数解，1k=x(x+4),x>0−x(x+4),x<0，结合函数g(x)=x(x+4),x>0−x(x+4),x<0的图象可求．
本题考查了函数的图象的交点与方程根的关系，考查了数形结合解决方程根的个数问题，关键是准确构造函数，准确画出图象，经常考查，属于中档题．
【解答】
解：要使方程|x|x+4=kx2有四个不同的实数解，
当x=0时，是方程的1个根，
所以只要方程|x|x+4=kx2有3个不同的实数解，
变形得1k=x(x+4),x>0−x(x+4),x<0，设函数g(x)=x(x+4),x>0−x(x+4),x<0，
如图
所以只要0<1k<4即可，
所以k>14；
故选C.
9.【答案】AC
【解析】解：由韦恩图可知，图中阴影部分为A∩(∁UB)或∁A(A∩B).
故选：AC.
由已知结合韦恩图及集合的交并及补集运算即可求解．
本题主要考查了韦恩图的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为正实数x，y满足1=x+2y≥2 2xy，当且仅当x=2y，即x=12，y=14时取等号，
所以xy≤18，A正确；
2x+1y=2x+4yx+x+2yy=4+4yx+xy≥4+2 4yx⋅xy=8，当且仅当x=2y，即x=12，y=14时取等号，B错误；
因为x2+4y22≥(x+2y2)2=14，当且仅当x=2y，即x=12，y=14时取等号，
所以x2+4y2≥12，C错误；
因为 x+ 2y2≤ x+2y2= 22，当且仅当x=2y，即x=12，y=14时取等号，
所以 x+ 2y≤ 2，D正确．
故选：AD.
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=12cs(2x−π3)，把y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y=g(x)=12cs(2x−π)=−12cs2x的图象，
令x=π6，求得f(x)=12，是最大值，故直线x=π6是函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确．
令2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，
可得f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，故B正确．
由于g(x)=−cs2x是偶函数，故它的图象关于y轴对称，故C错误．
由于f(x)+g(x)=12cs(2x−π3)+(−12cs2x)=12[12cs2x+ 32sin2x]−12cs2x
= 34sin2x−14cs2x=12sin(2x−π6)≤12，
即f(x)+g(x)的最大值为12，故D正确．
故选：ABD.
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：作出函数f(x)=|x|,x≤1,3−2x,x>1.的图象如下．
对于A.在同一坐标系中画出f(x)和y=x+1的图象如下．
联立y=x+1y=−x，得x=−12,y=12，
所以不等式f(x)>x+1的解集为(−∞,−12)，故A正确；
对于B.由图可知，函数f(x)在(12,1)上单调递增，在(1,32)上单调递减，
又f(1)=1,f(12)=12,f(32)=3−2 2，
所以f(x)的取值范围为(3−2 2,1],故B错误；
对于C.若关于x的方程f(x)=t有三个不同实数根x1，x2，x3，
即函数f(x)与函数y=t有三个不同的交点，不妨设x1其中x1+x2=0，1对于D.g(x)=f2(x)−f(x)+c，g(x)恰有5个零点
令f(x)=t，则h(t)=t2−t+c，
当h(t)=t2−t+c只有1个零点时，设为t0，则方程f(x)=t0有5个根，不可能；
当h(t)=t2−t+c有2个零点时，设为t1，t2，且t1则f(x)=t1和f(x)=t2共有5个根，可得t1=00若h(t)=t2−t+c有一个零点是0，则另一个零点为1，不满足t1=00若h(t)=t2−t+c有一个零点是1，则另一个零点为0，不满足0故存在常数c，使得g(x)恰有5个零点，D正确．
故选：ACD.
作出函数f(x)图象，对于A.在同一坐标系中观察f(x)和y=x+1的图象判断；对于B.观察图象确定单调性，然后求出取值范围判断；对于C.通过观察函数f(x)与函数y=t的图象有3个交点的情况求解；对于D.研究h(t)=t2−t+c的零点情况，代入f(x)=t可得答案．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想和转化思想，属难题．
13.【答案】∀x∈R，x+2>0
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为存在量词命题，则命题的否定为∀x∈R，x+2>0，
故答案为：∀x∈R，x+2>0.
14.【答案】2x(答案不唯一)
【解析】解：由性质①联想到指数函数f(x)=ax，
f(x1+x2)=ax1+x2=ax1⋅ax2=f(x1)⋅f(x2)，
又当x>0时，f(x)>1，可得a>1，
可取a=2，则满足条件的函数为f(x)=2x.
故答案为：2x(答案不唯一).
由性质①联想到指数函数，再由性质②即可得解．
本题主要考查函数解析式的求法，指数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】解：假设经过x小时才能驾驶，则100(1−25%)x<20，
所以(34)x<15，
所以xlg34所以x>lg15lg34=lg2−1lg3−2lg2=0.3010−10.4771−2×0.3010≈5.6，
故x=6.
故答案为：6.
假设经过x小时才能驾驶，则100(1−25%)x<20，结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题．
16.【答案】42 10
【解析】解：当a=2时，方程f(x)=g(x)，即x2+(b−2)x−4=0，
则有x1+x2=2−b，x1x2=−4，
|x1−x2|= (x1−x2)2= (x1+x2)2−4x1x2= (2−b)2+16，
所以当b=2时，|x1−x2|的最小值为4，此时b=2满足Δ>0.
当x>0时，f(x)⋅g(x)=(ax−1)(x2+bx−5)≥0恒成立，
由a>0，当01a时，ax−1>0，x2+bx−5≥0，
x=1a是方程x2+bx−5=0的根，即有1a2+ba−5=0，得b=5a−1a，
b+3a=5a+2a≥2 5a⋅2a=2 10，
当且仅当5a=2a，即a= 105时等号成立，
所以b+3a的最小值为2 10.
故答案为：4；2 10.
根据方程，用韦达定理表示|x1−x2|，由算式确定最小值；当x>0时，f(x)⋅g(x)≥0恒成立，x=1a是方程x2+bx−5=0的根，得b=5a−1a，代入b+3a，利用基本不等式求最小值．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵集合A={x|−1(2)C={x|10−2a当10−2a≥3a时，即a≤2时，C=⌀，此时A∩C=⌀，满足题意；
当10−2a<3a时，即a>2时，C={x|10−2a若A∩C=⌀，则10−2a≥3或3a≤−1，
即a≤72或a≤−13，
∴2综上，实数a的取值范围为{a|a≤72}.
【解析】(1)根据并集的知识求得正确答案；
(2)根据C是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a的取值范围．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得1，3为方程ax2+bx−1=0的两实数根，且a<0，
则−1a=3−ba=4，解得a=−13b=43.
(2)当b=3时，f(x)=ax2+3x−1，即不等式ax2+3x−1<0对一切实数x恒成立，
当a=0时，即3x−1<0，显然对一切实数x并不是恒成立，则a≠0，
则有a<0Δ=9+4a<0，解得a<−94，
综上所述：a<−94，即a的取值范围是(−∞,−94).
【解析】(1)利用韦达定理即可求解；
(2)分a=0和a≠0讨论即可．
本题主要考查函数恒成立问题，一元二次不等式及其应用，一元二次函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)= 3sinxcsx+sin2x−12= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
当x∈(π4,7π12)时，π3<2x−π6<π，
所以0即f(x)的取值范围为(0,1]；
(2)若x0∈(π4,7π12)且f(x0)=13=sin(2x0−π6)，
则π3<2x0−π6<π，
因为sin(2x0−π6)< 32，
所以cs(2x0−π6)=−2 23，
故cs2x0=cs(2x0−π6+π6)= 32cs(2x0−π6)−12sin(2x0−π6)= 32×(−2 23)−12×13=−1−2 66.
【解析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
(2)由已知结合同角平方关系及和差角公式即可求解．
本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=0，f(1)=−f(−1)，即−1+b3+a=0，−3+b9+a=−−13+b1+a，解得a=3，b=1，
此时f(x)=−3x+13x+1+3=13(23x+1−1)，
可得f(x)+f(−x)=13(23x+1−1)+13(23−x+1−1)=13(23x+1+2×3x3x+1−2)=0，
即a=3，b=1符合题意．
(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：
由(1)可得，f(x)=−3x−13x+1×13=−13(1−23x+1)=−13+23×13x+1，
设x1则f(x1)−f(x2)=23(11+3x1−11+3x2)=23⋅3x2−3x1(1+3x1)(1+3x2)>0，
∴f(x1)(3)对任意t∈[1,e]，关于t的不等式f[(lnt)2−ln(et2)]+f(k)<0恒成立，且f(x)为单调递减的奇函数，
∴f[(lnt)2−ln(et2)]<−f(k)=f(−k)，
∴(lnt)2−ln(et2)>−k，
可得(lnt)2−2lnt−1>−k对任意t∈[1,e]恒成立，
令u=lnt，由t∈[1,e]，可知u=lnt∈[0,1]，
可得g(u)=u2−2u−1且g(u)的图象开口向上，对称轴为u=1，
则g(u)在[0,1]内单调递减，可得g(u)在[0,1]内的最小值为g(1)=−2，
则−2>−k，解得k>2，∴实数k的取值范围为(2,+∞).
【解析】(1)由奇函数的性质可知，f(0)=0，f(1)=−f(−1)，代入可求a，b的值，验证即可得答案；
(2)由(1)可得，f(x)=−3x−13x+1×13，先设x1(3)根据函数的奇偶性，单调性可得(lnt)2−2lnt−1>−k对任意t∈[1,e]恒成立，换元令u=lt，根据二次函数性质结合恒成立问题分析求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性定义的应用及函数恒成立问题的求解，体现了转化思想的应用．
21.【答案】解：(1)根据题意，∠ABD=α，则∠EAC=α，α∈[π6,π3]，
∴|BD|=2tanα，|AB|=2sinα，|EC|=tanα，|AC|=1csα，
S1=12×|AD|×|BD|=2tanα，S2=12×|AE|×|EC|=tanα2，
∴S1+S2=2tanα+tanα2，α∈[π6,π3]，
令x=tanα∈[ 33, 3]，f(x)=2x+x2，
任取x1,x2∈[ 33, 3]，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1+x12−(2x2+x22)=(x1−x2)⋅x1x2−42x1x2，
∵ 33≤x10，x1x2−4<0，∴f(x1)−f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在[ 33, 3]上单调递减，
∴f(x)≥f( 3)=2 3+ 32=7 36，即S1+S2的最小值为7 36，
当且仅当α=π3时等号成立；
(2)设△ABC外接圆半径为r，则|BC|=2r，
又△ABC外接圆面积S=πr2≤5π2，即4r2≤10，即|BC|2≤10，
由题可得|BC|2=|AB|2+|AC|2=1cs2α+4sin2α，
∴1cs2α+4sin2α≤10，即1+3cs2α≤10sin2αcs2α，
化简整理得5cs22α+3cs2α≤0，解得−35≤cs2α≤0，
又α∈[π6,π3]，2α∈[π3,2π3]，
∴−12≤cs2α≤0，∴π2≤2α≤2π3，解得α∈[π4,π3].
【解析】(1)根据题意表示S1+S2，利用换元法，再根据函数单调性求出最小值；(2)根据题意设△ABC外接圆半径为r，则|BC|=2r，可得|BC|2≤10，利用三角恒等变换，结合α∈[π6,π3]，可得解．
本题考查三角函数的应用，三角函数的性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)+f(1x)=2x+1+2x+1=2x+2x+2=0不恒成立，
所以y=f(x)不满足性质P；
(2)①当x>1时，0<1x<1，
此时f(x)=−f(1x)=−(lg31x−3x2)=3x2+lg3x，
又当x=1时，f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，
所以f(x)=lg3x−3x2,01；
假设方程f(x)=255有正整数解n，
则3n2+lg3n=255，
要使上式能成立，则必有n=3k，k≥1，k∈N，
所以3×32k+lg33k=32k+1+k=255，
明显y=32k+1+k为单调递增函数，
又当k=2时，32k+1+k=35+2=245<255，
当k=3时，32k+1+k=37+3=2190>255，
故方程f(x)=255没有正整数解；
②证明：任取x1>x2>1，则0<1x1<1x2<1，
则f(x1)−f(x2)=−f(1x1)−[−f(1x2)]=f(1x2)−f(1x1)，
因为f(x)在(0,1)上单调递增，且0<1x1<1x2<1，
所以f(1x2)>f(1x1)，
所以f(x1)−f(x2)=f(1x2)−f(1x1)>0，
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增．
【解析】(1)直接根据性质P列式计算验证即可；
(2)①通过f(x)=−f(1x)可求得函数的解析式，先假设方程f(x)=255有正整数解，然后列方程找到矛盾即可；
②任取x1>x2>1，计算判断f(x1)−f(x2)的正负即可证明．
本题属于新概念题，考查了对数函数的性质，考查了函数的单调性，理解定义是关键，属于中档题．