2023-2024学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={0,2,3}，B={1,2}，则A∩B=( )
A. {0}B. {2}C. {0,1,3}D. {0,1,2,3}
2.命题“存在x∈R，x2≥1”的否定为( )
A. 存在x∉R，x2≥1B. 存在：x∈R，x2<1
C. 任意x∈R，x2≥1D. 任意：x∈R，x2<1
3.若角α终边经过点(−2,1)，则csα=( )
A. − 55B. −2 55C. 55D. 2 55
4.已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x3+x2，则f(2)=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.函数f(x)=ln(x2−4x+5)的减区间为( )
A. (−∞,−1)B. (−∞,2)C. (2,+∞)D. (5,+∞)
6.可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆O，在圆O内作互相垂直的直径AB和CD.取线段OB的中点E，以E为圆心，以EC为半径作弧，交OA于F.以C为圆心，以CF为半径在圆O上依次截取相等的圆弧，连接CM，CH，GN，GM，NH，得到如图所示的正五角星，则图中扇形OAN的面积为( )
A. π20B. π15C. π10D. 3π20
7.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)，若f(x0)=32，则cs(ωx0−π3)+cs2(ωx0−5π6)=( )
A. −516B. −316C. 1916D. 2116
8.已知m=5lg63，n=2lg65，则mn=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=3sin(2x−π3)，则( )
A. 函数y=f(x)的最小正周期为π
B. 函数y=f(x)的图象关于直线x=−π3对称
C. 函数y=f(x)的图象关于点(π6,0)中心对称
D. 将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y=−3sin2x的图象
10.已知正数a，b满足a+1b=2，则( )
A. b>12B. 011.已知函数f(x)=54x+1,x≤a2x,x>a，若f(x)的值域为R，则实数a的值可以是( )
A. −1B. 32C. 3D. ln4
12.已知函数f(x)满足：①对任意x，y∈R，f(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)⋅f(y)+2；②若x≠y，则f(x)≠f(y).则( )
A. f(0)的值为2B. f(x)+f(−x)≥4
C. 若f(1)=3，则f(3)=9D. 若f(4)=10，则f(−2)=4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,2 2)，则实数α= ______．
14.已知tanα=−3，则sinα−4csα5sinα+3csα= ______．
15.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下：
则关于x的不等式f(x)<6的解集为______．
16.设n是正整数，集合A={x|x=cs2kπn,k∈N}.当n=3，集合A有______个元素；若集合A有100个元素，则n= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值：
(1)(9−32×(181)−34÷823)12；
(2)(lg2)2+lg5×lg20+lg0.1．
18.(本小题12分)
设集合，A={x|x≥3}，B={x||1≤lg2(x−a)≤2}．
(1)当a=0时，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx−π3)，ω>0．
(1)当ω=2时，求f(x)在[0,π2]上的值域；
(2)若f(x)在[0,π]上单调递增，求实数ω的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2x，正数a，b满足a+b=4 5．
(1)求f(ab)的取值范围；
(2)求f(a+1a)+f(b+1b)的最小值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x+1x．
(1)判断f(x)在( 33,+∞)上的单调性，并证明；
(2)若x1,x2,x3∈(−∞,− 33)∪( 33,+∞)，且x1+x2，x2+x3，x3+x1都为正数，求证：f(x1)+f(x2)+f(x3)>2 3．
22.(本小题12分)
已知偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex，e为自然对数的底数．
(1)从“①D=(−5,1)；②D=(1,7)”两个条件中选一个合适的条件，使得函数f(x)与y=x3的图象在区间D上有公共点，并说明理由；
(2)若关于x的不等式(2a−1)f(x)≥|g(x)+f(0)+a|恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={0,2,3}，B={1,2}，
则A∩B={2}．
故选：B．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：命题“存在x∈R，x2≥1”的否定为：任意：x∈R，x2<1．
故选：D．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：点(−2,1)到坐标原点的距离r= 5．
由余弦函数的定义，得csα=−2 5=−2 55．
故选：B．
求出点(−2,1)到坐标原点的距离，再由余弦函数的定义得答案．
本题考查任意角的三角函数定义，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x3+x2，
∴当x>0时，f(x)=−f(−x)=x3−x2，
∴f(2)=23−22=4．
故选：C．
由奇函数性质得：当x>0时，f(x)=x3−x2，由此能求出f(2)的值．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
5.【答案】B
【解析】解：令t=x2−4x+5>0，可得x∈R，且函数f(x)=ln(x2−4x+5)=lnt，
函数f(x)=ln(x2−4x+5)的减区间，即函数t的减区间．
再根据二次函数的性质可得t=x2−4x+5的减区间为(−∞,2]．
故选：B．
由题意，根据复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：如图，连接OG，OM，OH，则∠CON=360°5=72°，
又∠AOC=90°，所以∠AON=90°−72°=18°，化为弧度为π10，所以扇形OAN的面积为12×π10×12=π20．
故选：A．
连接OG，OM，OH，则∠CON=360°5=72°，由∠AOC=90°，得∠AON=18°，结合扇形的面积公式计算即可求解．
本题考查扇形面积公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)，
又f(x0)=32，
则sin(ωx0+π6)=34，
则cs(ωx0−π3)+cs2(ωx0−5π6)=cs[(ωx0+π6)−π2]+cs2[(ωx0+π6)−π]=sin(ωx0+π6)+1−sin2(ωx0+π6)=34+1−916=1916．
故选：C．
结合同角三角函数的关系求解．
本题考查了同角三角函数的关系，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：m=5lg63，n=2lg65，
则lg6mn=lg6m+lg6n=lg63⋅lg65+lg65⋅lg63=lg65⋅(lg63+lg62)=lg65，
故mn=5．
故选：D．
根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于函数f(x)=3sin(2x−π3)，它的最小正周期为2π2=π，故A正确．
令x=−π3，求得f(x)=0，可得函数y=f(x)的图象关于点(−π3,0)对称，故B错误．
令x=π6，求得f(x)=0，可得函数y=f(x)的图象关于点(π6,0)对称，故C正确．
将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y=3sin(2x+π3)的图象，故D错误．
故选：AC．
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：因为a、b都是正数，且a+1b=2，所以a=2−1b>0，解得b>12，故A正确；
因为1b=2−a，所以ab=a(2−a)=1−(a−1)2∈(0,1]，当且仅当a=b=1时，ab取得最大值1，故B正确；
因为a、b都是正数，且a+1b=2，当a=b=1时，1a+b=2<3，故1a+b≥3不成立，故C不正确；
因为2(a2+1b2)≥(a+1b)2=4，所以a2+1b2≥2，当且仅当a=b=1时，等号成立，故D正确．
故选：ABD．
根据a、b都是正数，列式算出b的取值范围，判断出A项的正误；根据二次函数的性质，算出ab的取值范围，判断出B项的正误；通过取特征值，判断出C项的正误；利用基本不等式加以推导，判断出D项的正误．
本题主要考查二次函数的性质、不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：当x≤a时，f(x)=54x+1单调递增，f(x)≤54a+1，
当x>a时，f(x)=2x单调递增，f(x)>2a，
因为函数f(x)=54x+1,x≤a2x,x>a的值域为R，
所以(−∞,54a+1]∪(2a，+∞)=R，
所以54a+1≥2a，
令g(x)=1+54x，h(x)=2x，g(t)=h(t)(t>0)，
因为28>35，
所以285>3=54×85+1，232>512=23×82，
所以238=54×32+1>232，
所以32要使得54a+1≥2a，则0≤a≤t，
又因为3>6425=(85)2，e3>42，
所以 3>85>t，e32>4，即ln4<32则实数a的值可以是32，ln4．
故选：BD．
先利用了函数的单调性及分段函数的性质可得关系a的不等式，然后结合指数函数性质即可求解．
本题主要考查了函数的值域的求解，还考查了函数性质在函数零点范围确定中的应用，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，令x=y=0，得3f(0)=[f(0)]2+2，
解得f(0)=1或f(0)=2，
若f(0)=1，令y=0，得2f(x)+1=f(x)+2，即f(x)=1，但这与②若x≠y，则f(x)≠f(y)矛盾，所以只能f(0)=2，故A正确；
对于B，令y=−x，结合f(0)=2得，f(x)+f(−x)=f(x)⋅f(−x)≤12[f(x)+f(−x)]2，
解得f(x)+f(−x)≥4或f(x)+f(−x)≤0，
又f(0)=2，所以2f(0)=4>0，所以只能f(x)+f(−x)≥4，故B正确；
对于C，若f(1)=3，令y=1得，f(x+1)+f(x)+3=3f(x)+2，
所以f(x+1)=2f(x)−1，所以f(2)=2f(1)−1=6−1=5，
所以f(3)=2f(2)−1=10−1=9，故C正确；
对于D，取f(x)=( 3)x+1，
则f(x)⋅f(y)+2=[1+( 3)x][1+( 3)y]+2=( 3)x+y+( 3)x+( 3)y+3=f(x+y)+f(x)+f(y)且f(x)单调递增，
满足f(4)=10，但f(−2)=43，故D错误．
故选：ABC．
对于A，令x=y=0，结合若x≠y，则f(x)≠f(y)即可判断；
对于B，由基本不等式相关推理结合2f(0)=4>0即可判断；
对于C，令y=1得，f(x+1)+f(x)+3=3f(x)+2，即可判断；
对于D，令f(x)=( 3)x+1，即可判断．
本题主要考查了赋值法的应用，还考查了基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】32
【解析】解：幂函数f(x)=xα的图象过点(2,2 2)，
则2α=2 2=232，解得α=32．
故答案为：32．
根据已知条件，将点代入幂函数，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
14.【答案】712
【解析】解：因为tanα=−3，
所以sinα−4csα5sinα+3csα=tanα−45tanα+3=−3−45×(−3)+3=712．
故答案为：712．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】(−4,3)
【解析】解：由表知f(−1)=a−b+c=−6f(1)=a+b+c=−4f(2)=4a+2b+c=0，解得a=b=1，c=−6，
所以f(x)=x2+x−6<6，
即x2+x−12<0，
解得−4所以不等式的解集为：(−4,3)．
故答案为：(−4,3)．
由表值函数过的点的坐标，将点的坐标代入可得a，b，c的值，进而求出不等式f(x)<6的解集．
本题考查二次函数的解析式的求法及二次不等式的解集的求法，属于基础题．
16.【答案】2 198或199
【解析】解：由题意可得：当n=3，集合A={x|x=cs2kπ3,k∈N}，
因为x(k)=cs2kπ3，k∈N，所以其周期为T=2π2π3=3，
所以x(0)=1，x(1)=cs2π3=x(2)=cs4π3=−12，
经过去重可得A={0,−12}，即此时集合A有2个元素．
原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，
由对称性可知，只需考虑上半圆盘以及(±1,0)，
所以如果集合A有100个元素，即相应横坐标的所有可能数为100，
则可能是(1,0)和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标(它们关于x轴对称)，即此时n=1+99+99=199．
还有一种可能：即(1,0)和(−1,0)，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标(它们关于x轴对称)，
即此时n=1+98+1+98=198，
综上所述，若集合A有100个元素，则n=198或n=199．
故答案为：2；198或199．
当n=3时，根据题意可得：集合A={0,−12}，由此可得出所求的答案；原问题等价于单位圆盘n等分后，相应横坐标的所有可能数与n的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及(±1,0)，即可得出所求的答案．
本题考查集合的元素个数与集合的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)原式=[(32)−32×(3−4)−34×(23)−23]12=(127×27×14)12=12；
(2)原式=(lg2)2+lg5×(lg2+1)+lg110
=(lg2)2+lg5×lg2+lg5−1
=lg2×(lg2+lg5)+lg5−1
=lg2+lg5−1
=lg10−1
=0．
【解析】分别按照指数，对数运算法则求解即可．
本题考查指数，对数的运算法则，属于中档题．
18.【答案】解：(1)A={x|x≥3}，B={x||1≤lg2(x−a)≤2}．
当a=0时，B={x||1≤lg2(x−a)≤2}={x|0A∪B={x|x≥2}．
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，可得B⫋A，
∴2+a≥3，求得a≥1．
故实数a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)由题意，解对数不等式求出B，从而求出A∪B．
(2)由题意，利用必要不充分条件的定义可得B⫋A，由此求出实数a的取值范围．
本题主要考查对数不等式的解法，必要不充分条件的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx−π3)，ω>0．
当ω=2时，f(x)=sin(2x−π3)，
x∈[0,π2]⇒2x−π3∈[−π3,2π3]⇒sin(2x−π3)∈[− 32,1]；
即f(x)在[0,π2]上的值域为[− 32,1]；
(2)当x=0时，ω⋅0−π3=−π3∈[−π2,π2]，
又f(x)在[0,π]上单调递增，
所以πω−π3≤π2，
解得ω≤56，又ω>0，
所以0<ω≤56，即ω∈(0,56].
【解析】(1)当ω=2时，f(x)=sin(2x−π3)，利用正弦函数的性质可求得f(x)在[0,π2]上的值域；
(2)依题意，可得πω−π3≤π2，结合ω>0，可求得实数ω的取值范围．
本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=lg2x，正数a，b满足a+b=4 5，
所以ab≤(a+b2)2=20，当且仅当a=b=2 5时取等号，
故f(ab)=lg2ab≤lg220，
故f(ab)的取值范围为(−∞,lg220]；
(2)因为(a+1a)(b+1b)=ab+ba+ab+1ab=ab+1ab+a2+b2ab=ab+1ab+(a+b)2−2abab=ab+81ab−2≥2 ab⋅81ab−2=16，
当且仅当ab=81ab，即a=2 5− 11，b=2 5+ 11或b=2 5− 11，a=2 5+ 11时取等号，
则f(a+1a)+f(b+1b)=lg(a+1a)+lg(b+1b)=lg(a+1a)(b+1b)≥lg216=4，即最小值为4．
【解析】(1)由已知结合基本不等式即可求解；
(2)由已知结合对数的运算性质及基本不等式即可求解．
本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)在( 33,+∞)上单调递增，证明如下：
设x1，x2∈( 33,+∞)，且x1=3(x1−x2)+x2−x1x1x2=(x1−x2)⋅3x1x2−1x1x2，
由 3313，即3x1x2−1>0，
即有(x1−x2)⋅3x1x2−1x1x2<0，即f(x1)则f(x)在( 33,+∞)上单调递增；
(2)证明：由x1+x2，x2+x3，x3+x1都为正数，
可得x1，x2，x3全大于 33，或只有一个小于− 33，其余两个都大于 33．
若x1，x2，x3全大于 33，由(1)可得f(x1)+f(x2)+f(x3)>2 3+2 3+2 3=6 3>2 3；
若只有一个小于− 33，其余两个都大于 33，可设x1<− 33，x2> 33，x3> 33，则−x1> 33，
由x1+x2>0，可得x2>−x1，则f(x2)>f(−x1)，即f(x2)−f(−x1)>0，
又f(−x)=−3x−1x=−f(x)，即f(x)为奇函数，
则f(x1)+f(x2)+f(x3)=−f(−x1)+f(x2)+f(x3)>f(x3)>2 3．
所以，f(x1)+f(x2)+f(x3)>2 3．
【解析】(1)由函数的单调性的定义可得结论；
(2)由题意可得x1，x2，x3全大于 33，或只有一个小于− 33，其余两个都大于 33，运用函数的奇偶性和单调性，以及不等式的性质，可得证明．
本题考查函数的单调性和运用，以及函数的奇偶性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意f(x)+g(x)=ex，f(−x)+g(−x)=f(x)−g(x)=e−x，
解得f(x)=ex+e−x2，g(x)=ex−e−x2，
①令∀x∈D=(−5,1)，有f(x)=ex+e−x2≥2 ex⋅e−x2=1，当且仅当x=0时等号成立，而此时y=x3<1，
所以此时h(x)=ex+e−x2−x3>0恒成立，即函数f(x)与y=x3的图象在区间D上没有公共点，不满足题意；
②令∀x∈D=(1,7)，则h(1)=e+e−12−1=e+e−1−22>0，h(7)=e7+e−72−37=e7+e−7−2×372<0，即h(1)⋅h(7)<0，
且此时h(x)=ex+e−x2−x3的图象连续不断，
所以由零点存在定理可知此时h(x)=ex+e−x2−x3存在零点，即此时函数f(x)与y=x3的图象在区间D上有公共点，满足题意．
(2)由题意关于x的不等式(2a−1)f(x)≥|g(x)+f(0)+a|恒成立，首先显然有a>12，
其次有(2a−1)2(ex+e−x)2≥(ex−e−x+2+2a)2恒成立，
所以(2a−1)2[(ex−e−x)2+4]≥(ex−e−x+2+2a)2恒成立，
令t=ex−e−x，因为x∈R，所以t=ex−e−x∈R，
所以(2a−1)2(t2+4)≥[t+2(a+1)]2恒成立，即(2a−1)2(t2+4)≥t2+4(a+1)t+4(a+1)2恒成立，
所以[(2a−1)2−1]t2−4(a+1)t+4(2a−1)2−4(a+1)2≥0恒成立，即4a(a−1)t2−4(a+1)t+12a(a−2)≥0恒成立，
因为a>12，若(2a−1)2−1=4a(a−1)=0，则a=1，此时不等式变为−8−12≥0恒成立，这显然不可能成立，
所以Δ=16(a+1)2−16×12a2(a−1)(a−2)≤0(2a−1)2−1=4a(a−1)>0，即(a+1)2≤12a2(a−1)(a−2)，
所以[(a−12)+32]2≤12[(a−12)+12]2[(a−12)−12][(a−12)−32]，
所以(a−12)2(a2−2a−13)≥0，即a2−2a−13≥0a>1，解得a≥1+2 33，即数a的取值范围为[1+2 33,+∞)．
【解析】(1)首先得出f(x)=ex+e−x2，g(x)=ex−e−x2，结合基本不等式，以及零点存在定理即可进一步求解．
(2)由题意首先通过换元得出4a(a−1)t2−4(a+1)t+12a(a−2)≥0恒成立，分析得知Δ=16(a+1)2−16×12a2(a−1)(a−2)≤0(2a−1)2−1=4a(a−1)>0，进一步解不等式组即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于中档题．x
−4
−2
−1
1
2
4
f(x)
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