专题2.3 解题技巧专题：平行线中有关拐点问题之四大考点-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16691" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16691 \h 1
\l "_Tc28314" 【考点一 平行线中含一个拐点问题】 PAGEREF _Tc28314 \h 1
\l "_Tc31872" 【考点二 平行线中含两个拐点问题】 PAGEREF _Tc31872 \h 7
\l "_Tc31534" 【考点三 平行线中含多个拐点问题】 PAGEREF _Tc31534 \h 13
\l "_Tc1526" 【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】 PAGEREF _Tc1526 \h 18
【典型例题】
【考点一 平行线中含一个拐点问题】
例题：（2024下·全国·七年级假期作业）如图，．求的度数．
【答案】
【详解】解：如图，过点作．
因为，所以，
所以，
所以．
【变式训练】
1.（2024上·山西长治·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出．
【详解】解：过P作直线，如下图所示，
∵，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】（2）如图②，、、的数量关系为．（不需要证明）
【结论应用】（3）如图③，已知，，，则°．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）20
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
（1）过点作，根据平行线的性质可求解；
（2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点作，
则，
又∵，
∴，
，
，
即；
（2）解：．
证明：如图②，过作，
，
∵，
∴，
，
，
即：．
故答案为：；
（3）如图③，过作，
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：20．
3．（2023下·山西太原·七年级统考期中）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，．
(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并证明．
【答案】(1)
(2)理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行的线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）由可得，从而得出，最后再由两直线平行，同位角相等即可得出的度数；
（2）过点作，则，，由平行线的性质可得，结合可得，即可得解；
（3）过点作，则，，由角平分线的定义可得，从而得到，由平行线的性质可得，，计算出，即可得证．
【详解】（1）解：如图，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，则，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
理由如下：
如图，过点作，则，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
．
4．（2024下·全国·七年级假期作业）如图①，已知直线，且和分别交于两点，和分别交于两点，点在线段上，设．
(1)试找出之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，点在点的北偏东的方向上，在点的北偏西的方向上．应用（1）中的结论求的度数；
(3)如果点在直线上且在线段外侧运动（点和两点不重合），其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
【答案】(1)．理由见解析
(2)
(3)∠1，∠2，∠3之间的关系为或
【详解】（1）．理由如下：，
．
在三角形中，，．
（2）由（1）可知，．
（3）①当点在的延长线上时，如图①所示．过点作，交于点，则．
．
，；
②当点在的延长线上时，如图②所示．过点作，交于点，则．
，，．
，．
综上所述，∠1，∠2，∠3之间的关系为或
【考点二 平行线中含两个拐点问题】
例题：（2024上·重庆·七年级重庆八中校考期末）如图，直线，点E，F分别在直线和直线上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点作，过点作．根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴．
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023下·湖北咸宁·七年级统考期末）已知：，点分别为上一点．
(1)如图1，在之间有一点（点不在线段上），连接，试探究，，之间有怎样的数量关系．
①请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系；
②选其中一种数量关系进行证明．
(2)如图2，在之间有两点，连接，，，请直接写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)或
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平分线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）①根据题意画出图形即可；②过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论；
（2）根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图，
，
；
，
；
②证明：如图，过点作，
，
则，
，
，
，
，
；
如图，过点作，
，
则，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，过点作，
，
则，
，
，
，，
，，
；
如图，过点作，过点作，
则，
，
，
，，
，，
，
．
2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，，点为直线间一点，点E，F分别是直线上的点，连接.

(1)【证明推断】求证：，请完善下面的证明过程，并在（ ）内填写依据.
证明：过点P作直线，
（已作），
（______），
又，（已知）
______，（______）
，
______.
(2)如图2，若的平分线与的平分线交于点.
①【类比探究】试猜想与之间的关系，并说明理由；
②【结论运用】若，求的度数.
(3)【拓展认知】如图3，直线，点P，H为直线间的点，请直接写出，，，的数量关系：______.
【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两直线平行；
(2)①，理由见解析；②
(3)
【分析】（1）过点P作直线，根据平行线的性质即可得到答案；
（2）①分别过点P，Q作，，由平行线的性质和角平分线的定义得，进而即可求解；②结合平角的定义和即可得到答案；
（3）过点P、H作，可得，进而即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点作直线，
（已作），
（两直线平行，内错角相等）
又，（已知），
，（平行于同一直线的两直线平行），
，
；
（2）解：①.
理由：如图1，分别过点P，Q作，.
的平分线与的平分线交于点，
，.
.
同（1）可证得，
②，，
.
又，

（3）过点P、H作，
∵，
∴，
∴，
∴，即
故答案为：

【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．
【考点三 平行线中含多个拐点问题】
例题：（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，则、、之间满足的数量关系为．

【答案】
【分析】如图，过E作，过F作，过G作，再证明，再结合平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，过E作，过F作，过G作，
∵，
∴，

∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则．
【答案】/88度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
【详解】过点、、分别作，
∵
，
，
平分，平分 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
2．（2023上·七年级课时练习）观察图形：

已知，在图1中，可得_______________度，在图2中，可得_______________度……按照以上规律，则_______________度．
【答案】180，360，．
【分析】作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补解题即可．
【详解】解：如图1，
∵，
∴；
如图2，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴；

同理可得：；
故答案为：180，360，．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
3．（2024上·陕西榆林·八年级校考期末）综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．
已知直线，点在，之间，点，分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，，，求出与之间的数量关系．
(3)如图3，直接写出，，，，之间的数量关系：__________．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质和应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合条件中角度之间的倍数、平角等关系即可得出答案；
（3）分别过点E、F、G作平行，根据平行线的性质即可得到结论
【详解】（1）解：
理由：由，，则．
又
（2）由（1）得，同理可得
，
，
，
，
．
（3）
如图，分别过点作平行
，即：
【考点四 平行线中在生活上含拐点问题】
例题：（2024上·广东深圳·八年级统考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．由平行线的性质即可得出，求得，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：由题意知，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练】
1．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：如图，过点作工作篮底部，

，
工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部
支撑平台，
，
，，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为．
【答案】74
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点作，过点作，先由垂线的定义得到，则由两直线平行内错角相等得到，证明得到，再根据两直线平行同旁内角互补得到，则．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（2023下·福建宁德·七年级校联考期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有．

(1)如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角）
(3)如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底；
(3)存在，或
【分析】（1）计算的值即可求解；
（2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ；
（3）分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵
∴
∴当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底；
（3）解：时，如图：

若，则
解得：；
时，如图：

，不满足题意；
时，如图：

不满足题意；
时，如图：

若，则
解得：；
综上所述：当或时，使得与平行
【点睛】本题以物理知识为背景，考查了平行线的判定与性质．熟记相关定理内容，掌握分类讨论思想是解题关键．