数学八年级上册第一章 全等三角形1.3 探索三角形全等的条件课后作业题

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1．（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在和中，，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．E为BC中点
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若，则的理由是（ ）
A．SASB．AASC．ASAD．HL
4．（2022·全国·八年级）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是（ ）
A．AASB．SASC．HLD．SSS
5．（2022·山西晋中·八年级期中）如图，，，垂足分别为D，E，BD与CE交于点O，且，下列结论错误的是（ ）
0
A．B．C．D．OE垂直平分AB
6．（2022·全国·八年级）如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（ ）
A．A•A•SB．S•A•SC．A•S•AD．H•L
7．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为EBD，则下列说法错误的是（ ）
A．EBA≌EDCB．EBD是等腰三角形
C．折叠后的图形是轴对称图形D．∠ABE＝∠CBD
考点2：HL求角的度数
方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度和角的度数，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边（或对应角）间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度或角的度数。这类题目的答题思路是：由两个三角形全等找出对应角及对应边，再利用已知条件，结合对顶角、三角形内角和等的性质求解。
1．（2022·全国·八年级）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（ ）
A．40°B．50°C．70°D．71°
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，等边的顶点E，F分别在边BC和CD上，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180°B．200°C．210°D．240°
5．（2022·江苏扬州·二模）如图，，，，则______°．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在等边中，点D在边上，，点E在边上，连接，则相交所成的锐角的度数为__________．
考点3：HL求线段的长度
方法点拨：利用全等三角形性质求线段的长度，是利用全等三角形性质的一种考法。在求解时直接运用全等三角形的性质，得到对应边间的相等关系，再进行等量替换及和差运算，求线段的长度。
1．（2022·全国·八年级）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9B．5C．10D．不能确定
2．（2022·山东济南·一模）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A．2B．1C．6D．7
3．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若AB=7，AC=3，则BE=（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（ ）
A．B．2C．D．4
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC中，高AE交BC于点E，若，，△ABC的面积为10，则AB的长为___________．
7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，则线段的长是__________．
考点4：HL判定三角形全等的证明题
方法点拨：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)
1．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
2．（2022·山西阳泉·八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD为∠BAC的平分线，F为AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，DF＝DB．
(1)求证：DC＝DE；
(2)求证：△CDF≌△EDB；
3．（2022·福建福州·八年级期末）如图，在矩形中，E，F分别是上的点，连接，若，求证：．
4．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，点E、F是正方形中边上的点，．求证：．
5．（2022·全国·八年级）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
(1)求证△AMB≌△CNA；
(2)求证∠BAC＝90°．
6．（2022·四川泸州·模拟预测）如图，，，，、是垂足，，求证：≌．
考点5：HL判定三角形全等的探究题
方法点拨：证明两直角三角形全等的条件:两个直角三角形的一条斜边与一条直角边分别对应相等,则两个直角三角形全等,简称HL「记住:前提是一定要是直角三角形(Rt)」可以和SSS转化。”
1．（2022·四川成都·八年级期末）在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段，且长度为的边所对的角为 小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起（如图2），其中发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：

（1）当时（如图2），小明测得，请根据小明的测量结果，求的大小；
（2）当时，将沿翻折，得到（如图3），小明和小亮发现的大小与角度有关，请找出它们的关系，并说明理由；
（3）如图4，在（2）问的基础上，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使得，连接，请判断的形状，并说明理由．
2．（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）阅读下面材料，完成（1）-（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”
小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．”
老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”
（1）求证：BE＝CD；
（2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）；
（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．
3．（2022·江苏南京模拟）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．