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湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市小渡船中学2023-2024学年七年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题：（每小题3份，共10小题，合计30分）
1. 如图，直线与直线相交于点O，若增大，则（ ）
A. 减少B. 增大C. 不变D. 增大
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的性质，即可求解．
【详解】解：直线与直线相交于点O，
，
若增大，则增大，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，熟练掌握和运用对顶角的性质是解决本题的关键．
2. 点在第四象限，它到轴、轴的距离分别为8和5，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在轴上点的纵坐标为0，在轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∵点到轴、轴的距离分别为8和5，
∴点的横坐标为5，纵坐标为，即．
故选：B．
3. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的平方根是B. 的算术平方根是
C. 负数没有立方根D. 是2的算术平方根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，以及立方根定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据平方根，算术平方根，以及立方根的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的平方根是，故不正确；
B．的算术平方根是，故不正确；
C．负数有一个负的立方根，故不正确；
D．是2的算术平方根，正确；
故选D．
4. 如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上.若.则三角形平移的距离是（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，然后列式其解即可．
【详解】∵是由通过平移得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
即三角形平移的距离是．
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到是解题的关键．
5. 如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，故B选项符合题意；
∵，∴，故C选项不符合题意；
∵，∴．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行
B. 直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定，平行公理、垂线的性质、点到直线的距离进行判断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故为假命题，不合题意；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，故为假命题，不合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为真命题，符合题意；
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7. 下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性．
【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确；
平方根等于本身的数有：0，故②错误；
两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故③错误；
实数与数轴上的点一一对应，故④正确；
是无理数，不是分数，故⑤错误；
从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确．
故选：A．
【点睛】本题考查平方根和立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．
8. 将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；
②如果，则有；
③如果，则有；
④如果，则有．
A. ①②③④B. ③④C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角板中的角度进行计算可得即可判断①，根据平行线的性质可得，进而可得，即可判断②，根据，可得，进而根据内错角相等即可判断③，根据题意可得，进而可得，则，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，即，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角板角度的计算，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
9. 若实数，满足，则（ ）
A. ，都是有理数B. 的结果必定为无理数
C. ，都是无理数D. 的结果可能为有理数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．
根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可．
【详解】解：A、当时，，是有理数，是无理数，故A错误；
B、当，那么，所以B错误；
C、当时，是有理数，故选项C错误；
D、当，那么，所以选项正确，D正确．
故选：D．
10. 如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
如图，依题意可画出直角坐标系，
∴点A位于第四象限，点B位于第二象限，
∴点C位于第三象限．
故选：C．
【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共5小题，合计15分．）
11. 如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：作
解得：
由垂线段最短可知：线段的最小值是6
故答案为：6
【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可．
12. 已知点、，的面积为5，点P在y轴上，则点P的坐标为_____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，写出平面直角坐标系中点的坐标，求出是解答本题的关键．先判断边上的高为1，再根据的面积为5求出，进而可求出点P的坐标．
【详解】解：∵、，点P在y轴上，
∴边上的高为1，
∵的面积为5，
∴，
∴，
而点P可能在点的上边或者下边，
∴或．
故答案为：或
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根、化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算能力，解题关键是能确定运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
14. 如图，，，平分，，则的度数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等得出，，再根据角平分线的定义得出的度数，结合，即可求出的度数，从而求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若，其中a，b均为整数，则__________．
【答案】4或2或0
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解决此题的关键是得出、可能的取值．先根据绝对值和算术平方根的非负性得：，，得，可能的取值，再代入进行计算即可求解．
【详解】解：，其中，均为整数，
又，，
可分以下三种情况：
，，
解得：，，
；
，，
解得：或2025，，
或2；
，，
解得：或2022，．
；
故答案为：4或2或0
三、解答题（共9小题，合计75分．）
16. 如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算，一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式．
（1）先求，再求即可求出答案；
（2）设，根据题意列出方程式，再根据补角的定义即可解决问题，
【小问1详解】
解：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
；
小问2详解】
解：设，则，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
17. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是、的对应点．
（1）请画出平移后的三角形；
（2）直接写出三角形的面积为_________；
（3）连接、，直接写出与的关系：________．
【答案】（1）见解析 （2）7
（3）平行且相等
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）由平移可知，，AD=BE，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，△DEF即为所求．
【小问2详解】
S△ABC=4×4-×4×1-×2×3-×2×4=7．
故答案为：7．
【小问3详解】
由平移可知，ADBE，AD=BE，
∴AD与BE的关系为平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【点睛】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
18. 已知点，解答下列各题：
（1）若点P在x轴上．求出点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的坐标，在第二象限；点P的坐标，在第一象限
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
（1）根据轴上的点的纵坐标为，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案．
（2）根据平行于轴的直线的横坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答案．
（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可．
【小问1详解】
解：∵点P在x轴上．
∴，解得
∴，
∴点P的坐标
【小问2详解】
解：∵点Q的坐标为，直线轴，
∴点P的纵坐标是5
∴，解得
∴
∴点P的坐标
【小问3详解】
解：∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴
解得：或7
当时，
∴点P的坐标，在第二象限
当时，
∴点P坐标，在第一象限
19. （1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根．
（2）已知、满足，求的立方根．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念确定a和b的值，然后代入求解；
（2）根据算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，然后代入求解．
【详解】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，
∴，，
解得，，
∴，
∴的平方根为；
（2）∵，且，，
∴，，
解得，，
∴，
∴的立方根为．
【点睛】本题考查平方根和立方根，理解算术平方根和绝对值的非负性，掌握平方根和立方根的概念是解题关键．
20. 如图，已知，，垂足分别为D、F，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：，（已知），
（__________），
（__________）．
__________（__________）
（已知）．
（__________）．
∴__________（__________）
（__________）．
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据，，推出，得出，进而得出，则，即可得出结论．
【详解】解：，（已知），
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）．
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
21. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 ．
（2）小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；；；
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是正方形的性质，正方形的面积公式，开平方运算，熟练掌握方程思想是解题的关键．
（1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案；
（2）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案．
【小问1详解】
，
即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
大正方形的边长为；
，
即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
拼成的大正方形的边长为；
，
即用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
拼成的大正方形的边长为；
故答案为：；；；
【小问2详解】
假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有：
，
解得，，
为长方形的长，
，
，
则长为，
要求长方形的四周至少留出的边框，
长方形的长应当为，
，
假设错误，不能．
22. 如图，已知线段，相交于点，平分，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据补角的性质得到，即可证明；
（2）根据已知得到，再根据三角形外角的性质计算可得结果．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
23. 在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”．
（1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点______ ；
（2）若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标；
（3）若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义，列出方程组，求出，，即可求出点坐标．
【小问1详解】
解：根据新定义可以得、与点互为“等差点”；
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点不是互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
故答案为：，；
【小问2详解】
①当点在轴上时，
设，由题意得，
解得，
．
②当点轴上时，
设，
由题意得，
解得，
．
综上所述：的“等差点”点的坐标为或．
【小问3详解】
由题意得，
．
、互为相反数，
，
解得，
，．
，．
【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，找到规律，解决问题．
24. 如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算
（1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可．
（2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得，
，根据．消去x即可得到与之间的数量关系．
（3）根据，，得到，，然后分解析中四种情况，根据平行线的判定，分类计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：与之间的数量关系为：．理由如下：
设，则，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
当时，，，
如图，当时，，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得，舍去；
综上所述，当或或时，射线和射线平行．
一、选择题：（每小题3份，共10小题，合计30分）
1. 如图，直线与直线相交于点O，若增大，则（ ）
A. 减少B. 增大C. 不变D. 增大
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的性质，即可求解．
【详解】解：直线与直线相交于点O，
，
若增大，则增大，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，熟练掌握和运用对顶角的性质是解决本题的关键．
2. 点在第四象限，它到轴、轴的距离分别为8和5，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在轴上点的纵坐标为0，在轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∵点到轴、轴的距离分别为8和5，
∴点的横坐标为5，纵坐标为，即．
故选：B．
3. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的平方根是B. 的算术平方根是
C. 负数没有立方根D. 是2的算术平方根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，以及立方根定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据平方根，算术平方根，以及立方根的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的平方根是，故不正确；
B．的算术平方根是，故不正确；
C．负数有一个负的立方根，故不正确；
D．是2的算术平方根，正确；
故选D．
4. 如图，是由通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上.若.则三角形平移的距离是（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，然后列式其解即可．
【详解】∵是由通过平移得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
即三角形平移的距离是．
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到是解题的关键．
5. 如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，故B选项符合题意；
∵，∴，故C选项不符合题意；
∵，∴．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行
B. 直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定，平行公理、垂线的性质、点到直线的距离进行判断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故为假命题，不合题意；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，故为假命题，不合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为真命题，符合题意；
D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7. 下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性．
【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确；
平方根等于本身的数有：0，故②错误；
两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故③错误；
实数与数轴上的点一一对应，故④正确；
是无理数，不是分数，故⑤错误；
从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确．
故选：A．
【点睛】本题考查平方根和立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．
8. 将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①；
②如果，则有；
③如果，则有；
④如果，则有．
A. ①②③④B. ③④C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角板中的角度进行计算可得即可判断①，根据平行线的性质可得，进而可得，即可判断②，根据，可得，进而根据内错角相等即可判断③，根据题意可得，进而可得，则，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，即，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角板角度的计算，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
9. 若实数，满足，则（ ）
A. ，都是有理数B. 的结果必定为无理数
C. ，都是无理数D. 的结果可能为有理数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．
根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可．
【详解】解：A、当时，，是有理数，是无理数，故A错误；
B、当，那么，所以B错误；
C、当时，是有理数，故选项C错误；
D、当，那么，所以选项正确，D正确．
故选：D．
10. 如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
如图，依题意可画出直角坐标系，
∴点A位于第四象限，点B位于第二象限，
∴点C位于第三象限．
故选：C．
【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共5小题，合计15分．）
11. 如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：作
解得：
由垂线段最短可知：线段的最小值是6
故答案为：6
【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可．
12. 已知点、，的面积为5，点P在y轴上，则点P的坐标为_____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，写出平面直角坐标系中点的坐标，求出是解答本题的关键．先判断边上的高为1，再根据的面积为5求出，进而可求出点P的坐标．
【详解】解：∵、，点P在y轴上，
∴边上的高为1，
∵的面积为5，
∴，
∴，
而点P可能在点的上边或者下边，
∴或．
故答案为：或
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根、化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算能力，解题关键是能确定运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
14. 如图，，，平分，，则的度数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等得出，，再根据角平分线的定义得出的度数，结合，即可求出的度数，从而求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 若，其中a，b均为整数，则__________．
【答案】4或2或0
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解决此题的关键是得出、可能的取值．先根据绝对值和算术平方根的非负性得：，，得，可能的取值，再代入进行计算即可求解．
【详解】解：，其中，均为整数，
又，，
可分以下三种情况：
，，
解得：，，
；
，，
解得：或2025，，
或2；
，，
解得：或2022，．
；
故答案为：4或2或0
三、解答题（共9小题，合计75分．）
16. 如图，直线与直线交于点，射线在 内部，是的平分线，且．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义以及角的计算，一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是熟练运用这些知识点建立等量关系式．
（1）先求，再求即可求出答案；
（2）设，根据题意列出方程式，再根据补角的定义即可解决问题，
【小问1详解】
解：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
；
小问2详解】
解：设，则，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
17. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示，现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是、的对应点．
（1）请画出平移后的三角形；
（2）直接写出三角形的面积为_________；
（3）连接、，直接写出与的关系：________．
【答案】（1）见解析 （2）7
（3）平行且相等
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）由平移可知，，AD=BE，即可得出答案．
【小问1详解】
如图，△DEF即为所求．
【小问2详解】
S△ABC=4×4-×4×1-×2×3-×2×4=7．
故答案为：7．
【小问3详解】
由平移可知，ADBE，AD=BE，
∴AD与BE的关系为平行且相等．
故答案为：平行且相等．
【点睛】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
18. 已知点，解答下列各题：
（1）若点P在x轴上．求出点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标，并说出P点所在的象限．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的坐标，在第二象限；点P的坐标，在第一象限
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．
（1）根据轴上的点的纵坐标为，可得关于的方程，解得的值，再求得点的横坐标即可得出答案．
（2）根据平行于轴的直线的横坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答案．
（3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可．
【小问1详解】
解：∵点P在x轴上．
∴，解得
∴，
∴点P的坐标
【小问2详解】
解：∵点Q的坐标为，直线轴，
∴点P的纵坐标是5
∴，解得
∴
∴点P的坐标
【小问3详解】
解：∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴
解得：或7
当时，
∴点P的坐标，在第二象限
当时，
∴点P坐标，在第一象限
19. （1）一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，求的平方根．
（2）已知、满足，求的立方根．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念确定a和b的值，然后代入求解；
（2）根据算术平方根和绝对值的非负性确定a和b的值，然后代入求解．
【详解】解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根是与，的立方根是，
∴，，
解得，，
∴，
∴的平方根为；
（2）∵，且，，
∴，，
解得，，
∴，
∴的立方根为．
【点睛】本题考查平方根和立方根，理解算术平方根和绝对值的非负性，掌握平方根和立方根的概念是解题关键．
20. 如图，已知，，垂足分别为D、F，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：，（已知），
（__________），
（__________）．
__________（__________）
（已知）．
（__________）．
∴__________（__________）
（__________）．
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】根据，，推出，得出，进而得出，则，即可得出结论．
【详解】解：，（已知），
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）．
（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
21. 数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图2，当时，拼成的大正方形的边长为 ；如图3，当时，拼成的大正方形的边长为 ．
（2）小周想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；；；
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查的是正方形的性质，正方形的面积公式，开平方运算，熟练掌握方程思想是解题的关键．
（1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案；
（2）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案．
【小问1详解】
，
即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
大正方形的边长为；
，
即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
拼成的大正方形的边长为；
，
即用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
拼成的大正方形的边长为；
故答案为：；；；
【小问2详解】
假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有：
，
解得，，
为长方形的长，
，
，
则长为，
要求长方形的四周至少留出的边框，
长方形的长应当为，
，
假设错误，不能．
22. 如图，已知线段，相交于点，平分，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再根据补角的性质得到，即可证明；
（2）根据已知得到，再根据三角形外角的性质计算可得结果．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
23. 在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”．
（1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“等差点”为点______ ；
（2）若点的坐标是的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标；
（3）若点的坐标是与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；
（3）根据新定义，列出方程组，求出，，即可求出点坐标．
【小问1详解】
解：根据新定义可以得、与点互为“等差点”；
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点不是互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
因为点的坐标是，点，则有，所以点与点互为“等差点”．
故答案为：，；
【小问2详解】
①当点在轴上时，
设，由题意得，
解得，
．
②当点轴上时，
设，
由题意得，
解得，
．
综上所述：的“等差点”点的坐标为或．
【小问3详解】
由题意得，
．
、互为相反数，
，
解得，
，．
，．
【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，找到规律，解决问题．
24. 如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算
（1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可．
（2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得，
，根据．消去x即可得到与之间的数量关系．
（3）根据，，得到，，然后分解析中四种情况，根据平行线的判定，分类计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：与之间的数量关系为：．理由如下：
设，则，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
当时，，，
如图，当时，，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得；
如图，当时，，
∵，，
∴，
∴，
解得，舍去；
综上所述，当或或时，射线和射线平行．
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